2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（二十二）应用题
课时达标训练(二十二) 应用题
A组
1.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解：法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0，60)，C(170，0)，
直线BC的斜率kBC＝
－tan∠BCO＝－.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝.
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC＝＝－，①
kAB＝＝.②
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以BC＝＝150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝
eq f(680－3d,5).
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以即
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．
所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
法二：(1)如图(2)，延长OA，CB交于点F.因为tan∠FCO＝，所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝.
因为OA＝60，OC＝170，
所以OF＝OCtan∠FCO＝，CF＝
＝，从而AF＝OF－OA＝.
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝.
又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，
从而BC＝CF－BF＝150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.
故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，
所以r＝.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以即
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．
所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
2．(2019·苏锡常镇一模)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的垂直平分线OP恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．
(1)求出n关于m的函数关系式；
(2)当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．
解：(1)以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
则A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)．
∵曲线段APB为抛物线的一段弧，
∴可以设抛物线的解析式为y＝a(x－20)(x＋20)，
将P(0，40)代入得40＝－400a，解得a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝(400－x2)．
∵点C在抛物线上，∴n＝(400－m2)，0
0.
则S＝πrl＝πr＝π＝π ＝π ＝π ，
记f(h)＝＋h(h>0)，则f′(h)＝－＋1＝，令f′(h)＝0，得h＝6.
当h∈(0，6)时，f′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；
当h∈(6，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．
所以，当h＝6时，f(h)最小，此时S最小，最小值为18π.
答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．
4．(2019·南京四校联考)如图，某生态园区P的附近有两条相交成45°角的直路l1，l2，交点是O，P到直路l1的距离为1 km，到直路l2的距离为 km，现准备修建一条通过该生态园区的直路AB，分别与直路l1，l2
交于点A，B.
(1)当AB的中点为P时，求直路AB的长度；
(2)求△AOB面积的最小值．
解：以直路l1所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为直路l1，l2相交成45°角，所以直路l2所在直线的方程为x－y＝0.
因为P到直路l1的距离为1 km，到直路l2的距离为 km，所以可设P(x0，1)(x0>1)，
所以＝，解得x0＝3，所以P(3，1)．
(1)法一：设B(a，a)，因为P(3，1)是AB的中点，所以A(6－a，2－a)．
由于A在x轴上，所以2－a＝0，即a＝2.
所以A(4，0)，B(2，2)，AB＝＝2.
所以直路AB的长度为2 km.
法二：当直线AB的斜率不存在时，不满足题意，舍去．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，由题意知k>1或k<0，则直线AB的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，所以A.
联立，得可得B.
由P(3，1)是AB的中点，得＝2，解得k＝－1，
所以A(4，0)，B(2，2)，AB＝＝2.
所以直路AB的长度为2 km.
(2)设B(a，a)(a>1)，
当a＝3时，A(3，0)，所以△AOB的面积为 km2.
当a>1且a≠3时，设直线AB的方程为y－1＝(x－3)．令y＝0，得x＝，即A，
所以S△AOB＝××a＝(a－1)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当a－1＝
，即a＝2时取等号．
又>4，所以△AOB面积的最小值为4 km2.
B组
1．(2019·扬州期末) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD＝θ，θ∈.
(1)当cos θ＝－时，求小路AC的长度；
(2)当草坪ABCD的面积最大时，求小路BD的长度．
解：(1)在△ABD中，由BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos θ，得BD2＝14－6cos θ，
又cos θ＝－，∴BD＝2.
∵θ∈，∴sin θ＝＝＝.
在△ABD中，由＝，得＝，解得sin∠ADB＝.
∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠CDB＝且CD＝BD＝2，
∴cos∠ADC＝cos＝－sin∠ADB＝－.
在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝()2＋(2)2－2××2×＝37，
得AC＝，
所以当cos θ＝－时，小路AC的长度为 百米．
(2)由(1)得BD2＝14－6cos θ，
S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×3××sin θ＋×BD2＝7＋sin θ－3cos θ＝7＋(sin θ－2cos θ)＝7＋sin(θ－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，
且φ∈.
当θ－φ＝，即θ＝φ＋时，四边形ABCD的面积最大，此时sin θ＝，cos θ＝－，
∴BD2＝14－6cos θ＝14－6×＝26，
∴BD＝，
∴当草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为百米．
2．(2019·南京盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB(劣弧所对的扇形)所在的区域，其中点A，B均在圆O上，观众席为梯形ABQP以内、圆O以外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过60米(即要求PO≤60)．设∠OAB＝α，α∈.问：对于任意的α，上述设计方案是否均能符合要求？
解：过点O作OH垂直于AB，垂足为H.
在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，
所以AH＝20cos α，因此AB＝2AH＝40cos α，
所以AB＝AP＝BQ＝40cos α.
由题图可知，观众席内点P，Q处的观众离点O处最远．
连接OP，在△OAP中，由余弦定理可知，
OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos
＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·
＝400(6cos2α＋2sin αcos α＋1)
＝400(3cos 2α＋sin 2α＋4)
＝800sin＋1 600.
因为α∈，所以当2α＝，即α＝时，OP2取得最大值，(OP2)max＝800＋1 600，
即(OP)max＝20＋20.
同理，连接OQ，在△OBQ中，(OQ)max＝20＋20.
因为20＋20<60，所以观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过60米．
故对于任意的α，上述设计方案均能符合要求．
3．(2019·无锡期末)我国坚持精准扶贫，确保至2020年农村贫困人口实现脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植工作，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)
(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1.6万)，则至少应抽出多少户从事包装、销售工作？
(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售工作的户数；若不能，请说明理由．
解：(1)由题意得1×≥1.6，∵5x＜100－5x，
∴x∈Z，1≤x＜10.
函数y＝在x∈[1，9]上单调递增，
由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，
所以≥0.2，得x≥4，则5x≥20.
答：至少抽出20户从事包装、销售工作．
(2)假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式
eq blc[rc](avs4alco1(5xblc(rc)(avs4alco1(3－f(1,4)x))＋blc(rc)(avs4alco1(1＋f(x,20)))（100－5x）))≥1.35有正整数解，
化简整理得3x2－30x＋70≤0，
所以－≤x－5≤.
因为3<<4，且x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即4≤x≤6.
答：至2018年底，该村每户年均纯收入能达到1.35万元，此时从事包装、销售工作的农户数为20户，25户或30户．
4．(2019·苏州期末)如图，长途车站P与地铁站O的直线距离为 千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为，OP与l1的夹角θ满足tan θ＝.现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交于点A，B，并分别在A，B处设立公共自行车停放点．
(1)已知修建道路PA，PB的价格分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；
(2)考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修价格分别为n元/千米和2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置．
解：(1)以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，
因为0<θ<，tan θ＝，
所以直线OP的方程为y＝x，
设P(2t，t)，由OP＝，得t＝1，所以P(2，1)．
法一：由题意得2m·PA＝m·PB，所以PB＝2PA，所以B点的纵坐标为3，
又点B在直线y＝x上，所以B(3，3)，
所以AB＝PB＝.
法二：由题意得2m·PA＝m·PB，所以＝2.
设A(a，0)(a>0)，又点B在射线y＝x(x>0) 上，所以可设B(b，b)(b>0)，
由＝2，得所以
所以A，B(3，3)，AB＝＝.
答：A，B之间的距离为千米．
(2)法一：设两段道路的翻修总价为S，则S＝n·OA＋2n·OB＝(OA＋2OB)·n，
设y＝OA＋2OB，要使S最小，需y最小．
当AB⊥x轴时，A(2，0)，这时OA＝2，OB＝2，
所以y＝OA＋2OB＝2＋8＝10.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0且k≠1)．
令y＝0，得点A的横坐标为2－，所以OA＝2－，
令x＝y，得点B的横坐标为，
因为2－>0且>0，所以k<0或k>1，
此时y＝OA＋2OB＝2－＋，
y′＝＋＝，
当k<0时，y在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
所以ymin＝y|k＝－1＝9<10，此时A(3，0)，B；
当k>1时，y＝2－＋＝10＋－＝10＋>10.
综上所述，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处．
法二：如图，作PM∥OA交OB于点M，交y轴于点Q，作PN∥OB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ＝1，又∠BOQ＝，所以QM＝1，OM＝，所以PM＝1，PN＝OM＝，
由PM∥OA，PN∥OB，得＝，＝，
所以＋＝＋＝1，
设两段道路的翻修总价为S，则S＝n·OA＋2n·OB＝(OA＋2OB)·n，
设y＝OA＋2OB，要使S最小，需y最小．
y＝OA＋2OB＝(OA＋2OB)＝5＋≥9，
当且仅当OA＝OB时取等号，此时OA＝3，OB＝.
答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点 千米处．
