2017年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）解析版

2017年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）解析版

绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 课标 1 理科数学 【试卷点评】 2017 年全国 1 高考数学与 2016 全国 1 高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提 升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体 现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查， 如理科第 2、3、10、11、12、16、19 题，文科第 2、4、9、12、19 题. 1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第 2 题，文科 第 4 题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型. 2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托， 以能力考查为目的的命题要求. 3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精 神.如理科第 6、10、13、15 题 ，文科第 5、12、13、16 题对数形结合思想的考查；理科第 11，文科第 9 题对函数与方程思想的考查；理科第 12、16 题对数学的科学与人文价值的考查. 4.体现了创新性，如理科第 19 题，文科第 19 题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识 和创新能力. 命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第 5 题，； 以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第 11 题；对含参单调性以及零点问题的 考查，如理科 21 题，比较常规. （2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第 9 题；；对解三角形问题的 考查，如理科第 17 题.重视对基础知识与运算能力的考查. （3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第 4 题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问 题的能力，如理科第 12 题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点. （4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第 7 题，试题难度不大，比较常规；对简 单几何体的体积知识的考查，如理科第 16 题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几 何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查. （5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第 15 题，难度偏大；解答题考查较为常规， 考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查. 【试卷解析】 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形 的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：设正方形边长为 ，则圆的半径为 ，则正方形的面积为 ，圆的面积为 .由图形的对称 性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色 部分的概率是 ，选 B. 3 1x  { | 0}A B x x  A B  R { | 1}A B x x  A B   1 4 π 8 1 2 π 4 a 2 a 2a 2 4 a 2 2 1 2 4 8 a a    秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率 ，故选 B. 【考点】几何概型 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积 或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量，最后计算 . 3．设有下面四个命题 ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 . 其中的真命题为 A. B． C． D． 【答案】B 4．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】 试题分析：设公差为 ， ， ， 1 1 4 2p  ( )P A 1p z 1 z R z R 2p z 2z R z R 3p 1 2,z z 1 2z z R 1 2z z 4p z R z R 1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p nS { }na n 4 5 24a a  6 48S  { }na d 4 5 1 1 13 4 2 7 24a a a d a d a d        6 1 1 6 56 6 15 482S a d a d     联立 解得 ，故选 C. 秒杀解析：因为 ，即 ，则 ， 即 ，解得 ，故选 C. 【考点】等差数列的基本量求解 【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 为等差数列，若 ，则 . 5．函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值范围 是 A． B． C． D． 【答案】D 6． 展开式中 的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 ， 则 展 开 式 中 含 的 项 为 ， 展开式中含 的项为 ，故 前系数为 ，选 C. 【考点】二项式定理 【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好 的 项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式 1 1 2 7 24 ,6 15 48 a d a d      4d  1 6 6 3 4 6( ) 3( ) 482 a aS a a    3 4 16a a  4 5 3 4( ) ( ) 24 16 8a a a a      5 3 2 8a a d   4d  { }na m n p q   m n p qa a a a   ( )f x ( , )  ( 11)f   21 ( ) 1xf    x [ 2,2] [ 1,1] [0,4] [1,3] 6 2 1(1 )(1 )xx  2x 6 6 6 2 2 1 1(1 )(1 ) 1 (1 ) (1 )x x xx x        6(1 )x 2x 2 2 2 61 15C x x  6 2 1 (1 )xx   2x 4 4 2 62 1 15C x xx   2x 15 15 30  2x 展开式中的 不同. 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 8．右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000 和 n=n+1 B．A>1 000 和 n=n+2 C．A 1 000 和 n=n+1 D．A 1 000 和 n=n+2 r   【答案】D 9．已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度， 得到曲线 C2 【答案】D 【解析】 2π 3 π 6 π 12 1 2 π 6 1 2 π 12 试 题 分 析 ： 因 为 函 数 名 不 同 ， 所 以 先 将 利 用 诱 导 公 式 转 化 成 与 相 同 的 函 数 名 ， 则 ，则由 上各点的横坐标缩短到原来的 倍变为 ，再将曲线向左平移 个单位得到 ，故选 D. 【考点】三角函数图像变换. 【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重 点记住 ；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩 后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量 而言. 10．已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点， 直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 1 2,C C 2C 1C 2 2 2: sin(2 ) cos(2 ) cos(2 )3 3 2 6C y x x x          1C 1 2 sin 2y x 12  2C sin cos( ),cos sin( )2 2         x ，所以 11．设 x、y、z 为正数，且 ，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数 学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4， 1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20， 21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数 N：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件 的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，数列如下： 2 2 2 2| | sincos ( )2 p pDE      2 2 2 2 2 2 1 1| | | | 4( )cos sin cos sin p pAB DE         2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin cos4( )(cos sin ) 4(2 ) 4 (2 2) 16cos sin cos sin                2 3 5x y z  1 1, 1,2, 1,2,4, 1,2,4, ,2k    则该数列的前 项和为 要使 ，有 ，此时 ，所以 是之后的等比数列 的部分和， 即 ， 所以 ，则 ，此时 ， 对应满足的最小条件为 ，故选 A. 【考点】等差数列、等比数列的求和. 【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及 观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，学*科网本题的难点在于数列里面套数列， 第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】 ( 1)1 2 2 k kk     1( 1) 1 (1 2) (1 2 2 ) 2 22 k kk kS k                 ( 1) 1002 k k   14k  12 2kk   2k  11,2, ,2k  12 1 2 2 2 1t tk        2 3 14tk    5t  52 3 29k    29 30 5 4402N    2 3 14．设 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 . 【答案】 15．已知双曲线 C： （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60°，则 C 的离心率为________. 【答案】 2 1 2 1 0 x y x y x y          3 2z x y  5 2 2 2 2 1x y a b  2 3 3 【考点】双曲线的简单性质. 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓 住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是 ；③ 双曲线的顶点到渐近线的距离是 . 16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变 化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______. b ab c 【答案】 【考点】简单几何体的体积 【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量， 利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是 2 次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变 量是高次时需要用到求导得方式进行解决. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 4 15 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．（12 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 【考点】三角函数及其变换. 【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使 用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形 问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长 度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系， 建立函数关系式，如 ，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具 2 3sin a A sin( )y A x b    体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 90BAP CDP     90APD   则 ， 所以二面角 的余弦值为 . 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键 是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向 3cos , | || | 3   < > n mn m n m A PB C  3 3 量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标 是解题的关键. 19．（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其 尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数， 求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 ， ，其中 为抽取 的第 个零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， ． 试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在 之外的概率为 0.0026，故 .因此 2( , )N   ( 3 , 3 )     ( 1)P X  X ( 3 , 3 )     16 1 1 9.9716 i i x x    16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x         ix i 1,2, ,16i   x  ˆ s  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )       Z 2( , )N   ( 3 3 ) 0.997 4P Z        160.997 4 0.959 2 0.008 0.09 ( 3 , 3 )     ( 3 , 3 )     ~ (16,0.0026)X B . 的数学期望为 . 20.（12 分） 已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有 三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过 定点. ( 1) 1 ( 0) 1 0.9974 0.0408P X P X       X 16 0.0026 0.0416EX    2 2 2 2 =1x y a b 3 2 3 2 （2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2， 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为（t， ），（t， ）. 则 ，得 ，不符合题设. 从而可设 l： （ ）.将 代入 得 由题设可知 . 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2= ，x1x2= . 而 0t  | | 2t  24 2 t 24 2 t 2 2 1 2 4 2 4 2 12 2 t tk k t t         2t  y kx m  1m  y kx m  2 2 14 x y  2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m     2 2=16(4 1) 0k m    2 8 4 1 km k  2 2 4 4 4 1 m k   1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x     1 2 1 2 1 1kx m kx m x x      . 由题设 ，故 . 即 . 解得 . 当且仅当 时， ，欲使 l： ，即 ， 所以 l 过定点（2， ） 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断； 证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断 过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着 通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简. 21.（12 分） 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 a 的取值范围. 1 2 1 2 1 2 2 ( 1)( )kx x m x x x x    1 2 1k k   1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x     2 2 2 4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1 m kmk mk k         1 2 mk   1m   0  1 2 my x m   11 ( 2)2 my x    1 2( ) ( 2)x xf x ae a e x    ( )f x ( )f x （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为 . （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a. 【解析】试题分析：（1）先将曲线 和直线 l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线 的普通 3cos , sin , x y      4 , 1 , x a t ty t      （ 为参数） 17 C l 方程为 ，设 上的点 ， 的距离为 .对 a 进行 讨 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 【解析】 4 4 0x y a    C (3cos ,sin )  l | 3cos 4sin 4 | 17 ad     试 题 分 析 ： （ 1 ） 将 代 入 ， 不 等 式 等 价 于 ， 对 按 ， ， 讨论，得出最值的解集；（2）当 时， .若 的解 集 包 含 ， 1a  ( ) ( )f x g x 2 | 1| | 1| 4 0x x x x       x 1x   1 1x   1x  [ 1,1]x  ( ) 2g x  ( ) ( )f x g x [ 1,1]