1978年全国高考数学试题及其解析

1978年全国高考数学试题及其解析

‎1978年全国高考数学试题及其解析 注意事项:‎ ‎1.理工科考生要求除作（一）——（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）——（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.‎ ‎2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.‎ ‎（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.‎ ‎2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.‎ ‎（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.‎ ‎（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点.‎ 求证:1)CD=CM=CN;‎ ‎ 2)CD2=AM·BN.‎ ‎（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.‎ ‎（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成 ‎（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1, 3sin2α-2sin2β=0.‎ ‎（七）（文科考生不要求作此题）‎ 已知函数y=x2+(‎2m+1)x+m2-1（m为实数）.‎ ‎(1)m是什么数值时,y的极值是0?‎ ‎(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.‎ ‎(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.‎ ‎ ‎ 试题答案及解析 ‎ （一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2‎ ‎ =(x-2y)2-(2z)2‎ ‎ =(x-2y-2z)(x-2y+2z).‎ ‎2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.‎ ‎ ‎ ‎3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.‎ ‎ x≥-1为所求的定义域.‎ ‎ ‎ ‎（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）‎ ‎（三）证明:‎ ‎1)连CA、CB,则∠ACB=90°.‎ ‎∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,‎ ‎∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,‎ ‎∴ ∠ACM=∠ACD.‎ ‎∴ △ACM≌△ADC.‎ ‎∴ CM=CD.‎ 同理 CN=CD.∴ CD=CM=CN.‎ ‎2)∵ CD⊥AB,∠ACB=90°,‎ ‎ ∴ CD2=AD·DB（比例中项定理）.‎ 由1),可知 AM=AD,BN=BD,‎ ‎∴ CD2=AM·BN.‎ ‎（四）解法一:∵log189=a,∴‎18a=9.‎ 又 18b=5,‎ ‎∴ 45=9×5=‎18a·18b=‎18a+b,‎ 设 log3645=x,则36x=45=‎18a+b,‎ ‎∴ log1836x=log‎1818a+b ‎ ‎ 但 36=2×18=4×9,‎ ‎∴ log18(2×18)=log18(22×9).‎ 即 1+log182=2log182+log189=2log182+a.‎ ‎∴ log182=1-a.‎ 以下解法同解法一.‎ ‎（五）解:A+B+C=180°,‎ 又 2B=A+C.‎ ‎∴ 3B=180°,B=60°,A+C=120°.‎ 以下同证法一.‎ ‎（七）解:(1)用配方法得 此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不 当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为 分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上.‎ ‎ (3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.‎ 与抛物线y=x2+(‎2m-1)x+m2-1方程联立求解.‎ 消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.‎ ‎ ∴ (x+m)2=1-a.‎ 因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a<0即a>1时,直线l与抛物线不相交.‎ ‎ ‎ 即直线l与抛物线两交点横坐标为 ‎ ‎ 因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°.‎ ‎ ∵ 直线l被抛物线截出的线段等于 ‎ ‎ 而这与m无关.‎ 因此直线l被各抛物线截出的线段都相等.‎