高考理数　基本不等式及不等式的应用

高考理数　基本不等式及不等式的应用

§7.3 　基本不等式及不等式的应用 高考理数 (课标专用 ) A组  统一命题·课标卷题组 考点　不等式的综合应用 (2015课标Ⅰ,12,5分,0.317)设函数 f ( x )=e x (2 x -1)- ax + a ,其中 a <1,若存在唯一的整数 x 0 使得 f ( x 0 )<0, 则 a 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    D 　由 f ( x 0 )<0,即   (2 x 0 -1)- a ( x 0 -1)<0得   (2 x 0 -1)< a ( x 0 -1). 当 x 0 =1时,得e<0,显然不成立,所以 x 0 ≠ 1. 若 x 0 >1,则 a >   . 令 g ( x )=   ,则 g '( x )=   . 当 x ∈   时, g '( x )<0, g ( x )为减函数, 五年高考 当 x ∈   时, g '( x )>0, g ( x )为增函数, 要满足题意,则 x 0 =2,此时需满足 g (2)< a ≤ g (3),得3e 2 < a ≤   e 3 ,与 a <1矛盾,所以 x 0 <1. 因为 x 0 <1,所以 a <   . 易知,当 x ∈(- ∞ ,0)时, g '( x )>0, g ( x )为增函数, 当 x ∈(0,1)时, g '( x )<0, g ( x )为减函数, 要满足题意,则 x 0 =0,此时需满足 g (-1) ≤ a < g (0), 得   ≤ a <1(满足 a <1).故选D. 思路分析 　先分离参数,再构造函数求解,要注意应用分类讨论思想. 考点一　基本不等式 1 .(2018天津,13,5分)已知 a , b ∈R,且 a -3 b +6=0,则2 a +   的最小值为 　　　     . B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案        解析 　本题主要考查运用基本不等式求最值. 由已知,得2 a +   =2 a +2 -3 b ≥ 2   =2   =2   =   ,当且仅当2 a =2 -3 b 时等号成立, 由 a =-3 b , a -3 b +6=0,得 a =-3, b =1, 故当 a =-3, b =1时,2 a +   取得最小值   . 易错警示 　利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值,易失误的原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要 利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使满足基本不等式中“正” “定”“等”的条件. 2. (2017天津,12,5分)若 a , b ∈R, ab >0,则   的最小值为 　　　     . 答案 　4 解析 　本题考查基本不等式的应用. ∵ a 4 +4 b 4 ≥ 2 a 2 ·2 b 2 =4 a 2 b 2 (当且仅当 a 2 =2 b 2 时“=”成立), ∴   ≥   =4 ab +   , 由于 ab >0,∴4 ab +   ≥ 2   =4   当且仅当4 ab =   时“=”成立   , 故当且仅当   时,   的最小值为4. 规律方法 　利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须 一致. 3 .(2014福建,13,5分)要制作一个容积为4 m 3 ,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造 价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 　　　     (单位:元). 答案 　160 解析 　设底面的相邻两边长分别为 x m, y m,总造价为 T 元,则 V = xy ·1=4 ⇒ xy =4. T =4 × 20+(2 x +2 y ) × 1 × 10=80+20( x + y ) ≥ 80+20 × 2   =80+20 × 4=160(当且仅当 x = y 时取等号). 故该容器的最低总造价是160元. 4 .(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买 x 吨,运费为6万元/次,一年的总 存储费用为4 x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 　　　     . 答案 　30 解析 　本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为 y 万元,则 y =   × 6+4 x =4   ≥ 240. 当且仅当 x =   ,即 x =30时,等号成立. 易错警示 　1. a + b ≥ 2   ( a >0, b >0)中“=”成立的条件是 a = b . 2.本题是求取最值时变量 x 的值,不要混同于求最值. 考点二　不等式的综合应用 (2017天津,8,5分)已知函数 f ( x )=   设 a ∈R,若关于 x 的不等式 f ( x ) ≥   在R上恒成 立,则 a 的取值范围是(　　) A.   　    B.   C.[-2   ,2]　    D.   答案    A 　本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题. ①当 x ≤ 1时,关于 x 的不等式 f ( x ) ≥   在R上恒成立等价于- x 2 + x -3 ≤   + a ≤ x 2 - x +3在R上恒成 立,即有- x 2 +   x -3 ≤ a ≤ x 2 -   x +3在R上恒成立.由 y =- x 2 +   x -3图象的对称轴为 x =     ,可得在 x =   处取得最大值-   ;由 y = x 2 -   x +3图象的对称轴为 x =     ,可得在 x =   处取得最小值   ,则 -   ≤ a ≤   . ②当 x >1时,关于 x 的不等式 f ( x ) ≥   在R上恒成立等价于-   ≤   + a ≤ x +   在R上恒成立, 即有-   ≤ a ≤   +   在R上恒成立,由于 x >1,所以-   ≤ -2   =-2   ,当且仅当 x =   时取得最大值-2   ;因为 x >1,所以   x +   ≥ 2   =2,当且仅当 x =2时取得最小值2,则-2   ≤ a ≤ 2. 由①②可得-   ≤ a ≤ 2,故选A. 思路分析 　讨论当 x ≤ 1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得- x 2 +   x -3 ≤ a ≤ x 2 -   x +3, 再由二次函数的最值求法,可得 a 的取值范围;讨论当 x >1时,同样可得-   ≤ a ≤   +   ,再利 用基本不等式可得最值,从而可得 a 的取值范围,求交集即可得到所求范围. 考点一　基本不等式 1. (2013山东,12,5分)设正实数 x , y , z 满足 x 2 -3 xy +4 y 2 - z =0.则当   取得最大值时,   +   -   的最大值 为   (　　) A.0　    B.1　    C.   　    D.3 C组  教师专用题组 答案    B 　由 x 2 -3 xy +4 y 2 - z =0,得 z = x 2 -3 xy +4 y 2 , 又 x 、 y 、 z 为正实数,∴   =   =   ≤   =1. 当且仅当 x =2 y 时取等号,此时 z =2 y 2 . ∴   +   -   =   +   -   =-   +   =-   +1,当   =1,即 y =1时,上式有最大值1,故选B. 2. (2014上海,5,4分)若实数 x , y 满足 xy =1,则 x 2 +2 y 2 的最小值为 　　　     . 答案 　2   解析　∵ x 2 +2 y 2 ≥ 2   =2   xy =2   ,当且仅当 x =   y 时取“=”,∴ x 2 +2 y 2 的最小值为2   . 3 .(2013天津,14,5分)设 a + b =2, b >0,则当 a = 　　　     时,   +   取得最小值. 答案　 -2 解析　∵ a + b =2,∴   +   =   +   =   +   =   +   +   ≥   +2   =   +1. 当且仅当   =   且 a <0时,   +   取得最小值,此时可求得 a =-2. 4 .(2016江苏,14,5分)在锐角三角形 ABC 中,若sin A =2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是      　　     . 答案 　8 解析 　∵sin A =2sin B sin C , ∴sin( B + C )=2sin B sin C , 即sin B cos C +cos B sin C =2sin B sin C , 亦即tan B +tan C =2tan B tan C , ∵tan A =tan[π-( B + C )]=-tan( B + C ) =-   =   , 又△ ABC 为锐角三角形, ∴tan A =   >0,tan B +tan C >0,∴tan B tan C >1, ∴tan A tan B tan C =   ·tan B ·tan C =   , 令tan B tan C -1= t ,则 t >0,∴tan A tan B tan C =   =2   ≥ 2 × (2+2)=8,当且仅当 t =   ,即tan B tan C =2时,取“=”. ∴tan A tan B tan C 的最小值为8. 考点二　不等式的综合应用 1 .(2013课标Ⅰ,11,5分,0.561)已知函数 f ( x )=   若| f ( x )| ≥ ax ,则 a 的取值范围是   (    　) A.(- ∞ ,0]　    B.(- ∞ ,1] C.[-2,1]　     D.[-2,0] 答案    D 　由题意作出 y =| f ( x )|的图象:   由图象易知,当 a >0时, y = ax 与 y =ln( x +1)的图象在 x >0时必有交点,所以 a ≤ 0.当 x ≥ 0时,| f ( x )| ≥ ax 显然成立;当 x <0时,要使| f ( x )|= x 2 -2 x ≥ ax 恒成立,则 a ≥ x -2恒成立,又 x -2<-2,∴ a ≥ -2. 综上,-2 ≤ a ≤ 0,故选D. 思路分析　 根据解析式作出 y =| f ( x )|的图象,由图象得出 a ≤ 0,此时分析出当 x ≥ 0时,| f ( x )| ≥ ax 恒 成立,当 x <0时,可将| f ( x )| ≥ ax 恒成立转化为 a ≥ x -2恒成立,求出 x -2的范围即可得 a 的范围. 一题多解 　由题意作出函数 y =| f ( x )|的图象和函数 y = ax 的图象,由图象可知:函数 y = ax 的图象为 过原点的直线,旋转该直线可知:当直线介于 l 和 x 轴之间时符合题意,下面求 l 的斜率:函数 y =| f ( x ) |的图象在第二象限的部分对应的解析式为 y = x 2 -2 x ,求其导数可得 y '=2 x -2,因为 x ≤ 0,故 y ' ≤ -2,故 直线 l 的斜率为-2,故只需直线 y = ax 的斜率 a 介于-2与0之间即可,即 a ∈[-2,0].故选D.   方法总结 　对于不等式恒成立问题,常采用数形结合或分离参变量构造函数求最值的方法解决. 2. (2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路 径称为 M 到 N 的一条“ L 路径”.如图所示的路径 MM 1 M 2 M 3 N 与路径 MN 1 N 都是 M 到 N 的“ L 路 径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A (3,20), B (-10,0), C (14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心. (1)写出点 P 到居民区 A 的“ L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (2)若以原点 O 为圆心,1为半径的圆的内部是保护区,“ L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的 位置,使其到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小.   解析 　设点 P 的坐标为( x , y ). (1)点 P 到居民区 A 的“ L 路径”长度最小值为| x -3|+| y -20|, x ∈R, y ∈[0,+ ∞ ). (2)由题意知,点 P 到三个居民区的“ L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“ L 路径”长度最小值之和(记为 d )的最小值. ①当 y ≥ 1时, d =| x +10|+| x -14|+| x -3|+2| y |+| y -20|. 因为 d 1 ( x )=| x +10|+| x -14|+| x -3| ≥ | x +10|+| x -14|,   (*) 当且仅当 x =3时,不等式(*)中的等号成立. 又因为| x +10|+| x -14| ≥ 24,   (**) 当且仅当 x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以 d 1 ( x ) ≥ 24,当且仅当 x =3时,等号成立. d 2 ( y )=2 y +| y -20| ≥ 21,当且仅当 y =1时,等号成立. 故点 P 的坐标为(3,1)时, P 到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0 ≤ y ≤ 1时,由于“ L 路径”不能进入保护区,所以 d =| x +10|+| x -14|+| x -3|+1+|1- y |+| y |+| y -20|, 此时, d 1 ( x )=| x +10|+| x -14|+| x -3|, d 2 ( y )=1+|1- y |+| y |+| y -20|=22- y ≥ 21.由①知, d 1 ( x ) ≥ 24,故 d 1 ( x )+ d 2 ( y ) ≥ 45,当且仅当 x =3, y =1时等号成立. 综上所述,在点 P (3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小. 考点一　基本不等式 1 .(2017河南平顶山一模,6)若对任意 x >0,   ≤ a 恒成立,则 a 的取值范围是   (　　) A. a ≥   　    B. a >   　    C. a <   　    D. a ≤   A组  2016—2018年高考模拟·基础题组 三年模拟 答案    A 　因为对任意 x >0,   ≤ a 恒成立, 所以对 x ∈(0,+ ∞ ), a ≥   , 而对 x ∈(0,+ ∞ ),   =   ≤   =   , 当且仅当 x =   时等号成立,∴ a ≥   . 2. (2018河南洛阳一模,13)若实数 a , b 满足   +   =   ,则 ab 的最小值为 　　　     . 答案 　2   解析 　依题意知 a >0, b >0,则   +   ≥ 2   =   ,当且仅当   =   ,即 b =2 a 时,“=”成立.因为   +   =   ,所以   ≥   ,即 ab ≥ 2   ,所以 ab 的最小值为2   . 3. (2018河南中原名校3月联考,14)已知直线 ax -2 by =2( a >0, b >0)过圆 x 2 + y 2 -4 x +2 y +1=0的圆心,则   +   的最小值为 　　　     . 答案        解析 　圆 x 2 + y 2 -4 x +2 y +1=0的圆心坐标为(2,-1).由于直线 ax -2 by =2( a >0, b >0)过圆 x 2 + y 2 -4 x +2 y +1= 0的圆心,故有 a + b =1.∴   +   =     ( a +2+ b +1)=     5+   +     ≥   +   × 2   =   ,当且仅当 a =2 b =   时,取等号,故   +   的最小值为   . 4. (2017河南百校联盟模拟,15)已知正实数 a , b 满足 a + b =4,则   +   的最小值为 　　　     . 答案        解析　∵ a + b =4,∴ a +1+ b +3=8,∴   +   =   [( a +1)+( b +3)]   =     ≥   (2+2)=   ,当且仅当 a +1= b +3,即 a =3, b =1时取等号,∴   +   的最小值为   . 考点二　不等式的综合应用 1 .(2018湖北孝感模拟,12)设 f ( x )满足 f (- x )=- f ( x ),且在[-1,1]上是增函数,且 f (-1)=-1,若函数 f ( x ) ≤ t 2 - 2 at +1对所有的 x ∈[-1,1],当 a ∈[-1,1]时都成立,则 t 的取值范围是(　　) A.-   ≤ t ≤   　     B. t ≥ 2或 t =0或 t ≤ -2 C. t ≥ 2或 t ≤ -   或 t =0　    D. -2 ≤ t ≤ 2 答案    B 　由已知易得 f ( x )在[-1,1]上的最大值是1, 故由题意可知 t 2 -2 at +1 ≥ 1对 a ∈[-1,1]恒成立,即2 at - t 2 ≤ 0对 a ∈[-1,1]恒成立. 设 g ( a )=2 at - t 2 (-1 ≤ a ≤ 1), 欲满足题意,则   ⇔ t ≥ 2或 t =0或 t ≤ -2. 2 .(2018山西太原一模,12)定义在R上的函数 f ( x )满足 f (- x )= f ( x ),且当 x ≥ 0时, f ( x )=   若对任意的 x ∈[ m , m +1],不等式 f (1- x ) ≤ f ( x + m )恒成立,则实数 m 的最大值是   (　　) A.-1　    B.-   　    C.-   　    D.   答案    C 　由 f (- x )= f ( x ),可得 f ( x )为偶函数.当 x ≥ 0时, f ( x )=   可得0 ≤ x <1时, f ( x )=1- x 2 递减, f ( x )∈(0,1];当 x ≥ 1时, f ( x )递减,且 f (1)=0, f ( x )∈(- ∞ ,0],则 f ( x )在 x ≥ 0上连续,且为减函数, 由对任意的 x ∈[ m , m +1],不等式 f (1- x ) ≤ f ( x + m )恒成立,可得 f (|1- x |) ≤ f (| x + m |)恒成立,即| x -1| ≥ | x + m |恒成立,则有(2 x -1+ m )( m +1) ≤ 0恒成立,故要满足题意,只需(2 m -1+ m )( m +1) ≤ 0,且(2 m +2-1+ m )· ( m +1) ≤ 0,解得-1 ≤ m ≤   且-1 ≤ m ≤ -   ,则有-1 ≤ m ≤ -   ,则 m 的最大值为-   ,故选C. 3. (2016安徽六安一中月考,4)在区间(1,2)上不等式 x 2 + mx +4>0有解,则 m 的取值范围为   (　　) A. m >-4　    B. m <-4　    C. m >-5　    D. m <-5 答案    C 　记 f ( x )= x 2 + mx +4,要使不等式 x 2 + mx +4>0在区间(1,2)上有解,需满足 f (1)>0或 f (2)>0,即 m +5>0或2 m +8>0,解得 m >-5.故选C. 1. (2017广东清远一中一模,10)若正数 a , b 满足:   +   =1,则   +   的最小值为   (　　) A.16　    B.9　    C.6　    D.1 B组  2016—2018年高考模拟·综合题组 (时间:15分钟　　分值:25分) 一、选择题(每题5分,共10分) 答案    C 　∵正数 a , b 满足   +   =1,∴ a + b = ab ,   =1-   >0,   =1-   >0,∴ b >1, a >1,则   +   ≥ 2   =2   =6   当且仅当 a =   , b =4时等号成立   ,∴   +   的最小值为6, 故选C. 2 .(2017江西赣州十四县联考,12)若存在 x 0 >1,使不等式( x 0 +1)ln x 0 < a ( x 0 -1)成立,则实数 a 的取值范 围是   (　　) A.(- ∞ ,2)　    B.(2,+ ∞ )　    C.(1,+ ∞ )　    D.(4,+ ∞ ) 答案    B 　存在 x 0 >1,使不等式( x 0 +1)ln x 0 < a ( x 0 -1)成立,即存在 x 0 >1,使不等式ln x 0 -   <0成 立. 令 g ( x )=ln x -   ( x >1),则 g (1)=0, g '( x )=   -   =   . 当 a ≤ 2时, x 2 +2(1- a ) x +1 ≥ 0( x >1),从而 g '( x ) ≥ 0,得 g ( x )在(1,+ ∞ )上为增函数,故 g ( x )> g (1)=0,不合 题意; 当 a >2时,令 g '( x )=0,得 x 1 = a -1-   , x 2 = a -1+   , 由 x 2 >1和 x 1 x 2 =1得0< x 1 <1,易知当 x ∈(1, x 2 )时, g '( x )<0, g ( x )在(1, x 2 )上单调递减,此时 g ( x )< g (1)=0,即 ln x -   <0,满足存在 x 0 >1,使不等式( x 0 +1)ln x < a ( x 0 -2)成立. 综上, a 的取值范围是(2,+ ∞ ). 3. (2018山东潍坊一模,14)实数 a , b 满足 a 2 +2 b 2 =1,则 ab 的最大值为 　　　     . 二、填空题(每题5分,共15分) 答案        解析 　∵ a 2 +2 b 2 =1, a 2 +2 b 2 = a 2 +(   b ) 2 ≥ 2   ab , ∴1 ≥ 2   ab ,变形可得 ab ≤   ,即 ab 的最大值为   . 4. (2018湖北荆州一模,14)已知实数 a >0, b >0,   是8 a 与2 b 的等比中项,则   +   的最小值是 　　         . 答案 　5+2   解析 　实数 a >0, b >0,   是8 a 与2 b 的等比中项,∴8 a ·2 b =2,∴2 3 a + b =2,则3 a + b =1. 则   +   =(3 a + b )   =5+   +   ≥ 5+2   =5+2   ,当且仅当 b =   a =   -2时取等号. ∴   +   的最小值为5+2   . 解题关键 　本题的解题关键是得出3 a + b =1,利用“1”的代换求最值. 5 .(2018山东济宁一模,16)如图所示,已知Rt△ ABC 中, AB ⊥ BC , D 是线段 AB 上的一点,满足 AD = CD =2,则△ ABC 面积的最大值为 　　　     .   解析 　根据题意,设 DB = x (0< x <2), 则 AB = AD + DB = x +2, BC =   , 则 S △ ABC =   ( x +2)   =     =     , 设 t =( x +2) 2 ( x +2)(6-3 x ),则有 t ≤   =3 4 ,当且仅当 x +2=6-3 x ,即 x =1时, t 取得最大值,此时 S 取得最大值,且其最大值为   . 答案        疑难突破 　设 DB = x ,表示出△ ABC 的面积为 S △ ABC =     ,故难点是求( x +2) 2 ( x + 2)(2- x )的最大值,此时可将( x +2) 2 ( x +2)(2- x )变形为   ,进而转化为求( x +2) 2 ( x +2) (6-3 x )的最大值,分析该式可利用“ a · b · c · d ≤   ( a 、 b 、 c 、 d >0,当且仅当 a = b = c = d 时 取等)”求解.