高考数学热点难点突破技巧第10讲数列不等式的证明方法

高考数学热点难点突破技巧第10讲数列不等式的证明方法

第 10 讲 数列不等式的证明方法 【知识要点】 证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法. 一、数学归纳法 一般地，证明一个与自然数 有关的命题 ，有如下步骤： （1）证明当 取第一个值 时命题成立. 对于一般数列取值为 0 或 1，但也有特殊情况； （2）假设当 （ ， 为自然数）时命题成立，证明当 时命题也成立. 综合（1）（2），对一切自然数 （ ），命题 都成立. 二、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难 为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法. 放缩的技巧： ①添加或舍去一些项，如： ②将分子或分母放大或缩小，如： ③利用基本不等式等，如： 三、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐 步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这 种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法. 用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”. 对于较难的题目，一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程. 【方法点评】 方法一 数学归纳法 解题步骤 一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明. 【例 1】用数学归纳法证明: 【证明】（1）当 时， ， 命题成立. （2）假设当 时， 成立 当 时， + 当 时命题成立. 所以对于任意 都成立. 【点评】（1）利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用 前面的假设和已知条件. 否则是“伪数学归纳法”（2）利用数学归纳法证明时，为了利用 前面的假设，所以在证明 时，一般要配凑出 时的结论，再运用. 【反馈检测 1】已知 ，（其中 ） （1）求 及 ； （2）试比较 与 的大小，并说明理由． 方法二 放缩法 解题步骤 一般放缩数列通项，得到一个不等式通项，再求和. 或先求和再放缩求和的结 果. 【例 2】已知函数 （1）当 时，求函数 在 上的极值； （2）证明：当 时， ； （3）证明： . 【解析】（1）当 变化如下表 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ， （2）令 则 上为增函数. （3）由（2）知 ，令 得， 【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不 等式，有时需要先放缩通项，得到一个不等式通项，再求和. 有时是需要先求和再放缩求和 的结果，本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都 放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵 活调整，以达到证明的目的 【反馈检测 2】已知数列 满足 ． （1）求 及通项公式 ；（2）求证： ． 【反馈检测 3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数 1，2，5，10，17， 记为数列 ，第一列数 1，4，9，16，25， 记为数列 （1）写出数列 ， 的通项公式； （ 2 ） 若 数 列 ， 的 前 n 项 和 分 别 为 ， 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： ； （3）当 时，证明： ． 【反馈检测 4】已知函数 （1）当 时，比较 与 1 的大小； （2）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围； （3）求证：对于一切正整数 ，都有 . 【反馈检测 5】已知函数 . （1）讨论 的单调性与极值点； （2）若 ，证明：当 时， 的图象恒在 的图象上方； （3）证明： . 方法三 分析法 解题步骤 从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步 探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设 的条件. 【例 3】已知函数 是奇函数，且图像在点 处的切线斜率为 3（ 为自然对数的底数）． （1）求实数 、 的值；（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值； （3）当 时，证明： ． 【 解 析 】 （ 1 ） 是 奇 函 数 ， 所 以 ， 即 所以 ，从而 此时 ， . 依题意 ，所以 . （2）当 时，设 ，则 设 ，则 ， 在 上是增函数 （3）要证 ，即要证 即证 ， 设 ， . 则 设 ，则 ， 在 上为增函数， ， ，从而 ， 在 上为增函数 因为 ，所以 ， ， 所以 【点评】本题的第 3 问，由于结论比较复杂，一下子看不出证明的方向，所以要采用分析法 来证明. 【反馈检测 6】已知函数 . （1）当 时，试确定函数 在其定义域内的单调性； （2）求函数 在 上的最小值； （3）试证明： . 高中数学热点难点突破技巧第 10 讲： 数列不等式的证明方法参考答案 【反馈检测 1 答案】（1） ， ；（2）当 或 时， , 当 时， ． 【反馈检测 1 详细解析】 （ 1 ） 取 ， 则 ； 取 ， 则 ， ． 猜想：当 时， ，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知， 时结论成立， 假设当 时结论成立，即 ， 两边同乘以 得： ＝ ∵ 时， ， ∴ . ∴ ．即 时结论也成立， ∴当 时， 成立. 综上得，当 或 时， ；当 时， ． 【反馈检测 2 答案】（1） ， ；（2）见解析. 【反馈检测 2 详细解析】（1）解： 时，有 ，解得 时，由 得 ，两式相减得 ，解得 ， 满足 ，故 （2） 所以 【反馈检测 3 答案】（1） ， ；（2）证明见解析；（3）证明见解析. ② 假设 时等式成立，即 ， 则 时， ， ∴ 时等式也成立． 根据①②， 都成立． （3）当 时， ，∴ ． 又 ． 综上可知： 成立． 【反馈检测 4 答案】（1） 或 ；（2）见解析. 【反馈检测 4 解析】（1）当 时， ，其定义域为 因为 ，所以 在 上是增函数. 故当 时， ；当 时， ；当 时， . 所以函数 在 上递增，在 上递减，在 上递增 且 的极大值为 ，极小值为 又当 时， ；当 时， 因为函数 仅有一个零点，所以函数 的图象与直线 仅有一个 交点. 所以 或 （3）方法一：根据（1）的结论知当 时， 即当 时， ，即 . 令 ，则有 从而得 ， ， 故得 即 所以 （3）方法二：用数学归纳法证明：①当 时，不等式左边 ，右边 因为 ，所以 ，即 时，不等式成立 ②假设当 时，不等式成立，即 那么，当 时， 由（1）的结论知，当 时， ，即 所以 即 即当 时，不等式也成立 综合①②知，对于一切正整数 ，都有 【反馈检测 5 详细解析】 （1） ， 当 时， 在 上恒成立， 所以 在 单调递增，此时 无极值点. 当 时， ， 在 上的变化情况如下表： 1 + - + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减. 为极大值点， 为极小值点. （2）当 时，令 ， ，当 时， ， 时， ， ∴ 在 上递减，在 上递增，∴ ，∴ 时， 恒 成立. 即 时， 恒成立，∴当 时， 的图象恒在 的图象上方. （3）由（2）知 ，即 ，∵ ，∴ ， 令 ，则 ，∴ ∴ ∴不等式成立. 【反馈检测 6 答案】（1） 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2） ；（3）见解析. （2） ， ， 当 时， ， ，此时函数 在区间 上单调递减， 函数 在 处取得最小值，即 ； 当 时，令 ， 当 时，即当 ， ， ，此时函数 在区间 上 单调递减， 函数 在 处取得最小值，即 ； 当 ，即当 时，当 ， ，当 时， ， 此时函数 在 处取得极小值，亦即最小值， 即 ， 综上所述， ； 由（1）知，当 时，函数 在区间 上单调递增， 即函数 在区间 上单调递增，故 ， 故有 ，因此不等式 在 上恒成立，故原不等式得证， 即对任意 ， .