高中数学 高考数学离心率题型总结

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高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率 二．典例剖析：‎ 例.若椭圆短轴端点为满足，求椭圆离心率。‎ 分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即，得到 的结论。‎ 变 式1.在椭圆上有一点（除短轴端点外），若，求椭圆离心率取值范围。‎ 分析：点P在椭圆上 ；点P在以O为圆心，OP为半径的圆上,所以得到c>b，进而得到的结论。 ‎ 变 式2. 满足的所有点P都在椭圆内，求椭圆离心率取值范围。‎ 分析：满足的所有点P都在椭圆内以O为圆心，OP为半径的圆都在椭圆内，进而得到的结论。‎ 变 式3.过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点且满足，若，求该椭圆离心率。‎ 分析：在前面例题1和变式的基础上，将线段拉长和椭圆交于点，此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上，通过分析和探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析，清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。‎ ‎ 设则，在中利用勾股定理便可获解。‎ 变 式4：过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，满足，若，求该椭圆离心率。‎ 分析：设 则，,所以,不能利用勾股定理，利用余弦定理便可解出。‎ 备选练习题：‎ ‎1、过椭圆左焦点的直线垂直于轴且交椭圆于点，若，求该椭圆的离 心率。‎ ‎2、设M为椭圆上一点， ,为椭圆的焦点，如果 ，求椭圆的离心率。‎ 求解离心率范围问题的几种思维策略 求圆锥曲线离心离的取值范围，是常见的一类问题。解题的关键是如何构造出关于离心率e的不等式。本文通过一例，给出求解这类问题的几种思维策略。‎ 题 设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。‎ 解法1：利用曲线范围 设P（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 解法3：利用三角函数有界性 记 解法4：利用焦半径 由焦半径公式得 解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有 平方后得 解法6：巧用图形的几何特性 由，知点P在以为直径的圆上。‎ 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有 离心率的五种求法 ‎ 椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．‎ 一、直接求出、，求解 已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解2012年5月6日星期日决。‎ 例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C.‎ 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D ‎ 解：由题设，，则，，因此选C 变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选A 二、构造、的齐次式，解出 根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。‎ 例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. 　　B. 　　C. 　　D. ‎ 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式， ‎ 即，得，解得 ‎（舍去），故选D 变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，‎ 又, ∴,两边平方，得，整理得，‎ 得或，又 ，∴，∴，∴，故选A 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ 解：如图所示，不妨设，，，则 ‎，又，‎ 在中， 由余弦定理，得,‎ 即，∴， ‎ ‎∵，∴，∴，∴，∴，故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。‎ 解：‎ 四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过 且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .‎ 解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， ‎ 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ 解：‎ 五、构建关于的不等式，求的取值范围 例5：设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 另：由，，得，,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵，∴,∴，∴，故选D 例6：如图，已知梯形中，，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围。‎ 解：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．‎ 由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得①‎ 将点的坐标代入双曲线方程得②‎ 再将①、②得，∴③‎ ‎④‎ 将③式代入④式，整理得，∴，由题设得：‎ ‎，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为 配套练习 ‎1. 设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D ‎ ‎5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎6．如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎7. 设、分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）‎ A 　 B 　　 C 　　　 D ‎ ‎8．设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎9．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A B C D ‎ ‎10．椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：‎ ‎1.由可得故选D ‎2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D。‎ ‎3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A ‎4.不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝‎ ‎5.不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则有，据此解得e＝，选C ‎6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF‎2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。‎ ‎7.由已知P（），所以化简得．‎ ‎8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。‎ ‎9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C ‎10.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，选D 离心率取值范围求法 求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。‎ 一、利用均值不等式 例1 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。‎ 二、利用平面几何性质 例2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：‎ ‎，由三角形性质得：解得：。‎ 点评：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。‎ 三、利用数形结合 例3 （同例2）‎ 解析：由例2可知：‎ ‎，点P在双曲线右支上由图1可知：‎ ‎，，即，两式相加得：，解得：。‎ 四、利用双曲线性质 例4 设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。‎ 点评：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。‎ 五、利用已知参数的范围 例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，，解得。‎ 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，，即且，所以，即且。‎ 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析：设，弦PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。‎ 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。‎ 解析：设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：，由韦达定理得：，‎ ‎，由OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。‎ 由椭圆离心率求法探讨最大角的应用 例：设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。‎ 常见解法有：‎ 解法1：利用曲线范围 设P（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解法2：利用基本不等式 由椭圆定义，有，平方后得 ‎ ‎ 解法3：利用最大角范围 由已知可知椭圆的最大角范围为，所以 又 很显然第三种解法最为简单，但是什么是最大角呢？它又如何使用呢？由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如图：即是。当p为椭圆上任意一点时，则当P在位置时，最大。此时 在中，‎ 最大角还可以快速解决一些其他问题：‎ ‎1.为上的一点，则为直角的点有_____个．‎ ‎2.上有4个点使为直角，则的范围是_________．‎ 总结：‎ ‎，‎ 综合应用椭圆的对称性，上面的两个问题就很好解决，第一题中由于，故满足题意的P点有两个，第二题中由于M点有四个，故最大角应该大于，此时，即 再回到开始时的例题若改为：如果椭圆上存在点P，使 ‎，则离心率e的取值范围又是多少？此时最大角范围应该，则，又，所以。‎ 双曲线离心率的取值范围 一、利用双曲线性质 例1设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。‎ ‎4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，，解得。6已知双曲线 与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。‎ ‎7已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。‎ ‎8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。‎ 二、利用平面几何性质 ‎，由三角形性质得：解得：。‎ 点评：‎ 三、利用数形结合 ‎，点 四、利用均值不等式 例 解析：，‎ 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。‎ 一、 运用几何图形中线段的几何意义。‎ 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=②e=③e=④e= ‎⑤e= D B F OBBB A P Q 评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。‎ ‎∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。‎ 题目1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？‎ B A F2‎ F1‎ 思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。‎ 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=c c+c=2a ∴e= = -1 ‎ 变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ ‎OOOOOOOOOOOOOOOOOOO P F1‎ F2 F2F22‎ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=-1 ‎ 变形2: 椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？B A F2‎ F1‎ P O ‎ 解：∵｜PF1｜= ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴= 又 ∵b= ‎∴a2=5c2 e= 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。‎ 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆 +=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?‎ F B A O ‎ ‎ 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜= a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 ‎ e2+e-1=0 e= e=(舍去)‎ 变形：椭圆 +=1(a>b >0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？‎ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°‎ 引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。‎ 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。‎ 总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。‎ 题目3：椭圆 +=1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?‎ 解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m 在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e= 题目4：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ‎∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?‎ 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。‎ 解：由正弦定理： = = 根据和比性质：‎ = ‎ 变形得： == ==e ‎∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° ‎ e= = 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e= 变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？‎ 分析：上题公式直接应用。‎ 解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e===‎ ≥ ∴≤e<1‎ 变形2：已知椭圆+ =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)共线，求e?‎ 法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2)‎ ‎(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 ‎ x1+x2= y1+y2=-2c= ‎ +=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 ‎-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e= ‎ 法二：设AB的中点N，则2=+ ① -② 得：‎ =- ∴1=- (-3) 既a2=3b2 e= 四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。‎ 题目6：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足1·2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？‎ F2‎ M F1‎ O 分析：∵1·2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。‎ 解：∴c2c2 ∴0b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？‎M P F2‎ F1‎ O 分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。‎ ‎ 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)‎ 既(, ) 则1 =-( +c, y0 ) ‎ 2 =-( -c, ) 1·2 =0‎ ‎ ( +c, y0 ) ·( -c, )=0‎ ‎ ( +c)·( -c)+ =0‎ a2-3c2≤0 ∴≤e<1‎ 解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c ‎ ｜PF2｜≥-c 则2c≥-c 3c≥ ‎3c2≥a2 则≤e<1‎ 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。‎ ‎ 离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。‎ 近几年高考离心率问题集中练 ‎1．(07全国Ⅰ) 已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解：已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则c=4，a=2，，‎ 双曲线方程为，选A.‎ ‎2．（07天津）设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解：由可得故选D.‎ ‎3．（07江西）设椭圆的离心率为，右焦点为，‎ 方程的两个实根分别为和，则点（　　）‎ Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上 Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能 解： 由=得a=‎2c，b=，所以，‎ 所以点到圆心（0，0）的距离为：‎ ‎，‎ 所以点P在圆内，选A ‎4．(07全国II) 设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，‎ 使 且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A，‎ 使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中 ‎，，∴ 离心率，选B.‎ ‎5．（07江苏卷）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：由，得，所以，设，，‎ 则，，故选（A）.‎ ‎6.（07福建）已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．‎ 解：设c=1，则.‎ ‎7．（07浙江）已知双曲线的左、右焦点分别为，，‎ 是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 解：设准线与x轴交于A点. 在中, ,‎ ‎ 又 ,‎ 化简得 , 故选答案B ‎8.（07海南）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线 的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．‎ 解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，‎ 则： ‎ ‎9．(07安徽) 如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为 圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心 率为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 解：如图，连接AF1，∠AF‎2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，‎ 双曲线的离心率为，选D.‎ ‎10．(07湖南) ．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：由已知P，所以的中点Q的坐标为，由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，不存在，此时为中点，‎ 综上得选D 另解：根据题意及中垂线性质知，P点满足 其中Q为右准线与x轴的交点， ‎ ‎11.（08福建)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )‎ A.(1,3) B. C.(3,+) D.‎ 解：如图，设，，当P在右顶点处 ‎ ‎，‎ ‎∵，∴‎ 另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系.‎ ‎12.（08湖南）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )‎ A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) ‎ 解或(舍去),故选B.‎ ‎13.（08江西）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 解：由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则 又,所以 ‎14.（08全国Ⅱ）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：，因为是减函数，所以当时 ‎ ，所以，即. 考点：解析几何与函数的交汇点 ‎15.（08陕西）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：如图在中，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎16.（08天津）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）‎ A B 　 C D ‎ 解析：抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．‎ ‎17.（08浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）‎ ‎ A 3 B ‎5 ‎‎ C D ‎ ‎18.（08重庆)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为（ ）‎ ‎（A）－=1 (B)‎ ‎ (C) (D)‎ 解：， 所以 ‎19.（08江苏）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ． ‎ 解析:设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．‎ ‎20.（08全国Ⅰ）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． ‎ 解：设，则 ‎，‎ ‎21、（09全国Ⅰ）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )‎ A B ‎2 C D ‎ 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 解得: . ‎ ‎22、（09浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) 21世纪教育网 ‎ A． B． C． D．‎ 解析：对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．答案：C ‎ ‎23、（09浙江）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）21世纪教育网 ‎ A． B． C． D． ‎ D:命题意图：对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．‎ ‎：解析：对于椭圆，因为，则 21世纪教育网 ‎ ‎24、(09山东)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). ‎ A. B. ‎5 ‎‎ C. D.‎ 解析：:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得 有唯一解,所以△=,所以,,故选D.‎ 命题立意：:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.‎ ‎25、（09安徽）下列曲线中离心率为的是 ‎ A B C D ‎ 解析：由得，选B ‎26、（09江西）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦 点，若，则椭圆的离心率为 ‎ A． B． C． D． 21世纪教育网 ‎ 解析：因为，再由有从而可得，故选B ‎27、（09全国Ⅰ）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于 A B ‎2 ‎‎ C D ‎ 分析：本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题.‎ 解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，‎ 故选择C ‎28、（09重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 解法1，因为在中，由正弦定理得 则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，‎ 设点由焦点半径公式，得则 解得由双曲线的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率 解法2： 由解析1知由双曲线的定义知 ‎ ‎，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.‎ ‎29、（09江苏）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . ‎ 解析：考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等.以及直线的方程.‎ 直线的方程为：；‎ 直线的方程为：.二者联立解得：， ‎ 则在椭圆上，‎ ‎， ‎ 解得：‎ ‎30.（2010全国卷2）（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ 答案：B ‎31.（2010辽宁理数）设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 命题立意:本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想.‎ 解析：设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)‎ 直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）.答案：D ‎32.（2010四川理）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，‎ 即F点到P点与A点的距离相等 ‎，而|FA|＝，|PF|∈[a－c,a＋c]‎ 于是∈[a－c,a＋c]，即ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴Þ ‎ 又e∈(0,1)，故e∈.答案：D.‎ ‎33.(2011福建文)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F‎1F2|：‎ ‎|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于 （ ） ‎ A. 或 B．或‎2 ‎‎ C．或2 D．或 答案：A ‎34.（2011全国Ⅰ理）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两 点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ 答案：B ‎35.（201重庆文）设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，‎ 则该双曲线的离心率的取值范围为 ‎ ‎ A． B． C． D．，‎ 答案：B