2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（五）

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（五）

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（五）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）在锐角中，角，，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意 ‎，‎ 由，可得，‎ 由，可得，‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是 ‎；‎ ‎（2），，‎ 由题意是锐角，所以；由余弦定理：，‎ 可得，，且当时成立，‎ ‎，面积最大值为．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到的位置．．‎ ‎（1）证明：平面ABCD；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：由已知得，．‎ 又由得，故．‎ 因此，从而．‎ 由，得．‎ 由得．‎ 所以，．‎ 于是，故．‎ 又，而，‎ 所以平面．‎ ‎（2）解：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，，‎ ‎，，．‎ 设是平面的法向量，则，即，‎ 所以可取．‎ 设是平面的法向量，则，即，‎ 所以可取．‎ 于是．．‎ 因此二面角的正弦值是．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎（1）求X的分布列；‎ ‎（2）若要求，确定n的最小值；‎ ‎（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）19；（3）．‎ ‎【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎（2）由（1）知，，故n的最小值为19．‎ ‎（3）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．‎ 当时，‎ ‎（元）．‎ 当时，‎ ‎（元）．‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．‎ ‎（1）求椭圆的方程及点的坐标；‎ ‎（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值．‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为．点的坐标为；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知，，则椭圆的方程为．‎ 由方程组，得①．‎ 方程①的判别式为，由，得，‎ 此时方程①的解为，所以椭圆的方程为．点的坐标为．‎ ‎（2）证明：由已知可设直线的方程为，‎ 由方程组，可得，所以P点坐标为，．‎ 设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由方程组，可得．②‎ 方程②的判别式为，‎ 由，解得．‎ 由②得，．‎ 所以，‎ 同理．‎ 所以 ‎．‎ 故存在常数，使得．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数，，．‎ ‎（1）证明：当，；‎ ‎（2）证明：时，存在，使得对，恒有；‎ ‎（3）确定的所有可能取值，使得存在，对，恒有．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．‎ ‎【解析】（1）令，，‎ 则有，‎ 当，，所以在上单调递减，‎ 故当时，，即当时，．‎ ‎（2）令，，‎ 则有，‎ 当，，所以在上单调递增，，‎ 故对任意正实数均满足题意．‎ 当．令，得，‎ 取，所以，恒有，所以在上单调递增，，即．‎ 综上，当时，总存在，使得对，恒有．‎ ‎（3）当时，由（1）知，对于，，故，‎ ‎，‎ 令，，‎ 则有，‎ 故当时，，‎ 在上单调递增，故，‎ 即，所以满足题意的不存在．‎ 当时，由（2）知存在，使得当，恒有．‎ 此时，‎ 令，则有，‎ 故当时，，‎ 在上单调递增，故，‎ 即，记与中较小的为，‎ 则当，恒有，故满足题意的不存在．‎ 当，由（1）知，当时，，‎ 令，，则有，‎ 当时，，所以在上单调递减，故，‎ 故当时，恒有，此时，任意正实数满足题意．‎ 综上，．‎