2018中考复习北师大版数学——图形的相似经典题超全

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图形的相似 知识点1 比例的性质 一、单选题 ‎1. 已知 ， 那么的值是 ‎ A . B . C . D . ‎ ‎2. 已知3x=4y(xy≠0)，则下列比例式成立的是(       ) ‎ ‎3. 不为0的四个实数a、b ， c、d满足 ，改写成比例式错误的是（　　） ‎ A . B . C . D . ‎ ‎4. 如果 ，那么 的值是（　　）. ‎ A . B . C . D . ‎ ‎5. 若 ，则下列各式不成立的是（　　） ‎ ‎6. 若= ， 则 的值为（　　） ‎ A . B . C . 1 D . ‎ ‎7. 已知2x=3y（xy≠0），则下列各式中错误的是（　　） ‎ ‎8. 已知 = ， 则的值是（　　） ‎ A . - B . - C . - D . -‎ ‎9. 若 ，则 的值为（   ） ‎ A . B . C . D . ‎ ‎10. 已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（   ） ‎ 二、解答题 ‎11. 已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值． ‎ ‎12. 已知== ， 且x+y﹣z=6，求x、y、z的值． ‎ ‎13. 已知=≠0，求代数式 的值． ‎ ‎14. 已知 = ， 且x﹣y=2，求 的值． ‎ ‎15. 已知a+b+c=60，且 ， 求a、b、c的值． ‎ ‎16. 已知 ， 求下列算式的值．‎ ‎17. 已知，求代数式的值． ‎ ‎18. 已知 ， （1）求的值； （2）如果 ， 求x的值． ‎ ‎19. 已知a+b+c=60，且 ， 求a、b、c的值． ‎ ‎20. 已知： = = ，x﹣y+z=6，求：代数式3x﹣2y+z的值． ‎ 三、填空题 ‎21. 若 ， 则  . ‎ ‎22. 已知a:b=3:2，则(a-b):a= ． ‎ ‎23. 如果x：y=4：3，那么 ． ‎ ‎24. 已知 ，则 的值为  ． ‎ ‎25. 如果x：y=1：2，那么   ‎ ‎26. 已知 ，则   ． ‎ ‎27. 如果 = ，那么 1 （填“=”“＞”“＜”） ‎ ‎28. 若 = = ，则=  。‎ ‎29. 若a、b、c、d满足 = = ，则 =  ． ‎ ‎30. 已知 ，则 的值为  ． ‎ 知识点2 比例线段 一、单选题 ‎1. 在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 （   ） ‎ A . 小明的影子比小强的影子长 B . 小明的影子比小强的影子短 C . 小明的影子和小强的一样长 D . 谁的影子长不确定 ‎2. 下列各组数中，能成比例的是（  ） ‎ A . 3，4，5，6 B . -1，-2， 2，4 C . -3，1，3，0 D . -1，2，-3，4‎ ‎3. 在比例尺：1﹕500000的平面地图上，A、B两地的距离是6cm，那么A、B两地的实际距离是（　　） ‎ A . 60km B . 1.2km C . 30km D . 20km ‎4. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（　　） ‎ A . 2，5，10，25 B . 4，7，4，7  ‎ C . 2， ， ， 4  D . ， ， 2 ， 5‎ ‎5. 下列四条线段中，不能成比例的是（　　） ‎ A . a=3，b=6，c=2，d=4 B . a=1，b= ， c= ， d= ‎ C . a=4，b=6，c=5，d=10 D . a=2，b= ， c= ， d=2‎ ‎6. 下列各组线段能成比例的是（　　） ‎ A . 0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm  B . 1cm，2cm，3cm，4cm C . 4cm，6cm，8cm，3cm   D . cm，cm，cm，cm ‎7. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（　　） ‎ A . 18cm B . 5cm C . 6cm D . ±6cm ‎8. 两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（   ） ‎ A . 1：1000000 B . 1：100000 C . 1：2000 D . 1：1000‎ ‎9. 下列各组线段中，能成比例的是（   ） ‎ A . 3，6，7，9 B . 2，5，6，8 C . 3，6，9，18 D . 1，2，3，4‎ ‎10. 如果线段a=16cm，b=4cm，那么a和b的比例中项是（   ） ‎ A . 8cm B . 10cm C . 12cm D . 32cm 二、填空题 ‎11. 有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是  m． ‎ ‎12. 已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为   cm． ‎ ‎13. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约   厘米． ‎ ‎14. 如果在比例1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离为2.4厘米，那么A、B两地的实际距离为   千米． ‎ ‎15. 如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中  是AD和AB的比例中项． ‎ ‎16. 已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=  ． ‎ ‎17. 在一张比例尺为1：5000的地图中，小明家到学校的距离为0.2米，则小明家到学校的实际距离是  米． ‎ ‎18. 如果线段c是a、b的比例中项，且a=2，b=8，则c= ． ‎ ‎19. 在比例尺为1：5000的地图上，某校到果园的图距为8cm，那么实际距离为 m． ‎ ‎20. 已知线段a是线段b、c的比例中项，b=3cm，c=12cm，则a=  cm． ‎ 三、解答题 ‎21. 若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB=10，． 求线段PQ的长． ‎ ‎22. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求： （1）的值． （2）若△ABC的周长为90，求各边的长． ‎ ‎23. （1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值． （2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长．并思考两题有何区别． ‎ ‎24. 小丽家住在花园小区离站前小学的直线距离是5km． ①请你先量一量花园小区到站前小学的图上距离（四舍五入，保留整厘米），再求出这幅图的比例尺； ②将求出的比例尺用线段比例尺表示出来． ‎ ‎25. 已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． ‎ ‎26. 已知a：b：c=3：5：6，且2a+b﹣c=10，求abc的值． ‎ ‎27. 若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB=10，． 求线段PQ的长． ‎ ‎28. 在比例尺为1：10000的地图上，有甲、乙两个相似三角形区域，其周长分别为10cm和15cm． （1）求它们的面积比； （2）若在地图上量得甲的面积为16cm2 ， 则乙所表示的实际区域的面积是多少平方米？ ‎ ‎29. 已知 ， 则=？ ‎ ‎30. 我们知道：若 ， 且b+d≠0，那么 ． 若b+d=0，那么a、c满足什么关系？ ‎ 知识点3 平行线分线段成比例 一、单选题 ‎1. 如图，已知在△ABC中，点D ， E ， F分别是边AB ， AC ， BC上的点，DE∥BC ， EF∥AB ， 且AD：DB=4：7，那么CF：CB等于（　　） ‎ A . 7：11 B . 4：8 C . 4：7 D . 3：7‎ ‎2. 如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（　　） ‎ A . AE：EC=AD：DB    B . AD：AB=DE：BC C . AD：DE=AB：BC D . BD：AB=AC：EC ‎3. 如图，四条平行直线l1 ， l2 ， l3 ， l4被直线l5 ， l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是（　　） ‎ A . 5 B . 6 C . 7 D . 8‎ ‎4. 如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE=BF，EF=BD，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（　　） ‎ A . 3：5 B . 3：8        C . 5：8 D . 2：5‎ ‎5. 如图，已知AB∥CD∥EF，直 线AF与直线BE相交于点O，下列结论错误的是（　　）   ‎ ‎6. 如图，若BC∥DE，则下面比例式不能成立的是（　　）   ‎ ‎7. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（　　）   ‎ A . 0.9cm B . 1cm C . 3.6cm D . 0.2cm ‎8. 如图：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则AC的值为（　　）   ‎ A . 9 B . 6 C . 3 D . 4‎ ‎9. 如图，已知直线l∥m∥n，直线a分别与l，m，n交于点A，B，C，过点B作直线b交直线l，n于点D，E，若AB=2，BC=1，BD=3，则BE的长为（   ） ‎ A . 4 B . 2 C . D . ‎ ‎10. 如图，直线l1∥l2∥l3 ， 直线AC分别交l1 ， l2 ， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1 ， l2 ， l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则 的值为（   ） ‎ A . B . 2 C . D . ‎ 二、填空题 ‎11. 如图，已知D ， E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB ， 那么BC：CD应等于 ． ‎ ‎12. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为 m． ‎ ‎13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果，．那么m与n满足的关系式是：m=  （用含n的代数式表示m）． ‎ ‎14. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，， DE=4cm，则BC的长为  ． ‎ ‎15. 如图，若l1∥l2∥l3 ， 如果DE=6，EF=2，BC=1.5，那么AC=  ． ‎ ‎16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC=BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE=4，则BE的长为  ．  ‎ ‎ ‎ ‎17. 如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么 ．  ‎ ‎ ‎ ‎18. 如图，直线l1∥l2∥l3 ， 直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段BE的长为  ．   ‎ ‎19. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是  ．   ‎ ‎20. 如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则EF= ． ‎ 三、解答题 ‎21. 如图，在△ABC中，EF∥CD ， DE∥BC ． 求证：AF：FD=AD：DB ． ‎ ‎22. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F， ， AC=14； （1）求AB、BC的长； ‎ ‎（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长． ‎ ‎23. 如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3，求线段AB的长． ‎ ‎24. （1）计算：|﹣2|﹣+（﹣）﹣1； （2）如图，直线AD∥BE∥CF，， DE=6，求EF的长．   ‎ ‎25. 如图，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长．   ‎ ‎26. 对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则． 请利用该结论解答下面的问题： 如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC 的长．   ‎ ‎27. 如图，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长．   ‎ ‎28. 深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示,某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度.如图②,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为16米,落在斜坡上的影长CD为8米,AB⊥BC;同一时刻,太阳光线与水平面的夹角为 45°,1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米,求旗杆的高度. ‎ 四、综合题 ‎29. 如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）． ‎ ‎（1） 当x为何值时，PQ∥BC； ‎ ‎（2） 当△APQ与△CQB相似时，AP的长为  ． ； ‎ ‎（3） 当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值． ‎ ‎30. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F． ‎ ‎（1） 如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE的长； ‎ ‎（2） 如果DE：DF=2：5，AD=9，CF=14，求BE的长． ‎ 知识点四 相似图形 一、单选题 ‎1. 如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（   ） ‎ A . 两个三角形是位似图形 B . 点A是两个三角形的位似中心 C . AE︰AD是位似比 D . 点B与点E、点C与点D是对应位似点 ‎2. 下列关于相似的说法：①所有的等腰直角三角形一定相似；②所有的菱形一定相似；③所有的全等三角形一定相似；④所有的有一个角为60°的等腰梯形一定相似．其中说法正确的有(    ) ‎ A . 1个 B . 4个 C . 3个 D . 2个 ‎3. 我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（　　） ‎ A . ①③ B . ①② C . ①④ D . ②③‎ ‎4. 下列图形一定相似的是（   ） ‎ A . 两个矩形 B . 两个等腰梯形 C . 对应边成比例的两个四边形 D . 有一个内角相等的菱形 ‎5. 下列两个图形一定相似的是（　　） ‎ A . 两个菱形 B . 两个矩形 C . 两个正方形 D . 两个等腰梯形 ‎6. 下列各选项中的两个图形不一定相似的是（　　） ‎ A . 两个正方形 B . 两个等边三角形 C . 各有100°角的两个等腰三角形 D . 各有45°角的两个等腰三角形 ‎7. 在一张由复印机放大复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm变成了4cm，那么这次复印的面积变为原来的（　　） ‎ A . 不变 B . 2倍 C . 3倍 D . 16倍 ‎8. 下列图形一定是相似图形的是（　　） ‎ A . 任意两个菱形 B . 任意两个正三角形 C . 两个等腰三角形 D . 两个矩形 ‎9. 下列说法正确的是（　　） ‎ A . 所有的矩形都是相似形 B . 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 C . 对应角相等的两个多边形相似 D . 对应边成比例的两个多边形相似 ‎10. 下列各组图形不一定相似的是（　　） ‎ A . 两个等边三角形 B . 各有一个角是100°的两个等腰三角形 C . 两个正方形 D . 各有一个角是45°的两个等腰三角形 二、填空题 ‎11. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 . ‎ ‎12. 在一张比例尺为1︰50000的地图中,小明家到动车站的距离有0．2米,则小明家到动车站的实际距离是 米． ‎ ‎13. 在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是 cm2 ． ‎ ‎14. （1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是 图形； （2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是 ； 用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是 ； （3）下列各组图形中，肯定是相似图形的是 （只填序号）． ①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；③边长不等 的两个菱形． ‎ ‎15. 同一底片印出来的不同尺寸的照片也是 ． ‎ ‎16. 如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD （填“是”或“不是”）位似图形． ‎ ‎17. （2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在 线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG． 其中正确的是 ． （把所有正确结论的序号都选上） ‎ ‎18. 将直角三角形的三条边都同时扩大m倍（m为正整数），得到的新三角形为 三角形． ‎ ‎19. 如图中图形，其中的相似图形有 和 ； 和 ;和 ；和 ； 和 ‎ ‎20. （1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是 图形； （2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是 用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是 （3）下列各组图形中，肯定是相似图形的是 （只填序号）． ①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；③边长不等 的两个菱形．‎ 三、解答题 ‎21. 阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形 的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；　　 （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．   ‎ ‎22. 将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？(如图(2)(3))   ‎ ‎23. 如图所示，将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）   ‎ ‎24. 用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？   ‎ ‎25. 生活中存在大量的形状相同的图形，试举出几例． ‎ ‎26. 请任意画出两个相似的图形． ‎ ‎27. 如图是两个相似圆柱，它们的相似比为2：3，求它们的体积之比．   ‎ ‎28. 如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．   ‎ ‎29. 将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图（1）所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？ ‎ ‎30. 下面的图形是否是相似图形？ ‎ 知识点5 相似多边形的性质 一、单选题 ‎1. 如果一个矩形对折后和原矩形相似，则对折后矩形长边与短边的比为（ ） ‎ A . 4:1 B . 2:1 C . 1.5:1 D . :1‎ ‎2. 两个相似多边形的一组对应边分别为6cm和8cm，如果较小多边形的周长为24cm，那么较大多边形的周长为（　　） ‎ A . 32cm B . 30cm C . 40cm D . 56cm ‎3. 两个边数相同的多边形相似应具备的条件是（　　） ‎ A . 各角对应相等 B . 各边对应成比例 C . 各角对相等，各边对应相等 D . 各角对应相等，各边对应成比例 ‎4. 图中，有三个矩形，其中相似的是（　　） ‎ A . 甲和乙  B . 甲和丙 C . 乙和丙 D . 没有相似的矩形 ‎5. 给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（　　） ‎ A . 1听 B . 2听 C . 3听 D . 4听 ‎6. 如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　　）   ‎ A . 4 B . 5 C . 6 D . 10‎ ‎7. 两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　） ‎ A . 1：2 B . 1：4 C . 1：8 D . 1：16‎ ‎8. 如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（　　） ‎ A . 2：1 B . ：1 C . 3： D . 3：2‎ ‎9. 已知两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，则它的最长边为（　　） ‎ A . 15 B . 12 C . 9 D . 6‎ ‎10. 彼此相似的矩形A1B1C1D1 ， A2B2C2D2 ， A3B3C3D3 ， …，按如图所示的方式放置．点A1 ， A2 ， A3 ， …，和点C1 ， C2 ， C3 ， …，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（   ） ‎ A . （2n﹣1，2n） B . （2n﹣ ，2n） C . （2n﹣1﹣ ，2n﹣1） D . （2n﹣1﹣1，2n﹣1）‎ 二、填空题 ‎11. 已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 。 ‎ ‎12. 若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 . ‎ ‎13. （2015•葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1 ， 以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1 ， …，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn﹣1的面积为 . ‎ ‎14. 两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，则这两个相似多边形的周长分别是 ‎ ‎15. 一个矩形的长为a，宽为b（a＞b），如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么= ‎ ‎16. 将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是 ‎ ‎17. 把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为 ‎ ‎18. 如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=   ‎ ‎19. 把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为 ． ‎ ‎20. 如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是 ‎ 三、解答题 ‎21. 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β 的大小和EH的长度． ‎ ‎22. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2 ， 则这两个五边形面积各是多少cm2？ ‎ ‎23. 如图所示，现有边长为1，a（a＞1）的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值． （1）把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似． （2）把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割． ‎ ‎24. 如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值． ‎ ‎25. 如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2 ， 问△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？为什么？ ‎ ‎26. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2 ， 则这两个五边形面积各是多少cm2？ ‎ ‎27. 已知一个矩形的长和宽分别为4cm和8cm，与它相似的矩形的一条边长12cm，求这个矩形的面积． ‎ ‎28. 如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小． ‎ ‎29. 已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）求证：F点是AD的黄金分割点． ‎ ‎30. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小． ‎ 知识点6 相似三角形的性质 一、单选题 ‎1. Rt△ABC的两条直角边分别为3 cm、4 cm，与它相似的Rt△A'B'C'的斜边为20 cm，那么Rt△A'B'C'的周长为（   ） ‎ A . 48cm B . 28cm C . 12cm D . 10cm ‎2. 已知△ABC∽△DEF ， 且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（　　） ‎ A . 7.5 B . 6 C . 5或6 D . 5或6或7.5‎ ‎3. 两个相似三角形的面积比为1：4，则它们的相似比为（　　） ‎ A . 1：4 B . 1：2 C . 1：16   D . 无法确定 ‎4. 若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） ‎ A . 1：9 B . 1：3 C . 1：2 D . 1：‎ ‎5. 已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（　　） ‎ A . 45cm，65cm B . 90cm，110cm C . 45cm，55cm D . 70cm，90cm ‎6. 已知△ABC∽△DEF，点A、B、C对应点分别是D、E、F，AB：DE=9：4，那么S△ABC：S△DEF等于（　　） ‎ A . 3：2 B . 9：4 C . 16：81 D . 81：16‎ ‎7. 若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（　　） ‎ A . 16 B . 8 C . 4 D . 2‎ ‎8. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是（　　） ‎ A . 9：16 B . ：2 C . 3：4 D . 3：7‎ ‎9. △ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（   ） ‎ A . 2 B . 4 C . 8 D . 16‎ ‎10. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=20°，∠C=120°，则∠B′的度数为（   ） ‎ A . 20° B . 30° C . 40° D . 120°‎ 二、填空题 ‎11. 两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是 度，最小角是 度． ‎ ‎12. 两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为 ‎ ‎13. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC相似，那么AP的长等于 ‎ ‎14. （2011•辽阳）高6m的旗杆在水平地面上的影子长4m，同一时刻附近有一建筑物的影子长20米，则该建筑物的高为 ‎ ‎15. 若△ABC∽△ACD，AB=1，AD=4，则AC= ‎ ‎16. 如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ． ‎ ‎17. 若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为 ． ‎ ‎18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m= ． ‎ ‎19. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，点D是AB的中点，E是AC边上的一点，若以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为 ． ‎ ‎20. 两个相似三角形的面积比为1：9，那么它们的对应中线的比为 ． ‎ 三、综合题 ‎21. 已知：如图，△ABC∽△ADE ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°． ‎ ‎（1） 求∠ADE的大小； ‎ ‎（2） 求DE的长． ‎ ‎22. 如图，在矩形ABCD中，P为AD上一点，连接BP，CP，过C作CE⊥BP于点E，连接ED交PC于点F． ‎ ‎（1） 求证：△ABP∽△ECB； ‎ ‎（2） 若点E恰好为BP的中点，且AB=3，AP=k（0＜k＜3）． ①求 的值（用含k的代数式表示）； ②若M、N分别为PC，EC上的任意两点，连接NF，NM，当k= 时，求NF+NM的最小值． ‎ ‎23. （2014•资阳）如图，已知直线l1∥l2 ， 线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE． ‎ ‎（1） 求证：△ABP≌△CBE； ‎ ‎（2） 连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2． ①当 =2时，求证：AP⊥BD； ②当 =n（n＞1）时，设△PAD的面积为S1 ， △PCE的面积为S2 ， 求 的值． ‎ ‎24. （2013•南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似． ‎ ‎（1） 根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的 是 ． （填写所有符合要求的序号）． ‎ ‎（2） 如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由． ‎ ‎25. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： ‎ ‎（1） 当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？ ‎ ‎（2） 设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式； ‎ ‎（3） 在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值，并求出此时PQ的距离． ‎ ‎26. 如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN． ‎ ‎（1） 发现：在图1中，=  ； ‎ ‎（2） 应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出 的值； ‎ ‎（3） 拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出 的值． ‎ ‎27. 如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）． ‎ ‎（1） 如图2，当点N落在BD上时，求t的值； ‎ ‎（2） 当正方形PQMN的边经过点O时（包括正方形PQMN的顶点），求此时t的值； ‎ ‎（3） 当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式； ‎ ‎（4） 写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值． ‎ ‎28. 已知一次函数y=﹣ x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． ‎ ‎（1） 求点B的坐标； ‎ ‎（2） 求直线AE的表达式； ‎ ‎（3） 过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． ‎ ‎29. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥BC，交AB于点D，连接PQ．当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． ‎ ‎（1） 当a=2时，解答下列问题： ①QB= ， PD= ． （用含t的代数式分别表示） ‎ ‎（2） 当a为某个数值时，四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求a的值及四边形PDBQ为菱形时t的值． ‎ ‎（3） 当t=2时，在整个运动过程中，恰好存在线段PQ的中点M到△ABC三边距离相等，直接写出此刻a的值． ‎ ‎30. 如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止． ‎ ‎（1） 在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（   ） ‎ ‎（2） 若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD= 、AD=1、AD= 时，OD的值． ‎ ‎（3） 如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是 （cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）． ‎ 知识点6 相似三角形的判定 一、单选题 ‎1. 如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（    ） ‎ A . 5条 B . 4条 C . 3条 D . 2条 ‎2. 下列四个命题：（1）全等的两个三角形相似；（2）有一个角相等的两个等腰三角形相似；（3）所有的等边三角形都相似；（4）所有的直角三角形都相似．其中真命题的个数有(    )  ‎ A . 1个； B . 2个； C . 3个； D . 4个．‎ ‎3. 如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（　　）   ‎ A . ①② B . ①②③        C . ①②④ D . ①②③④‎ ‎4. 如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　） ‎ A . 4或4.8 B . 3或4.8  C . 2或4  D . 1或6‎ ‎5. 如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（　　） ‎ A . ∠1=∠C B . ∠A=∠C  C . ∠2=∠B D . ‎ ‎6. 已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　）   ‎ A . 只有（1）相似 B . 只有（2）相似 C . 都相似 D . 都不相似 ‎7. 如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）   ‎ A . ∠C=∠E B . ∠B=∠ADE C . D . ‎ ‎8. 如图所示，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（　　）   ‎ A . F B . G C . H D . K ‎9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形的对数有（　　）   ‎ A . 0对 B . 1对 C . 2对 D . 3对 ‎10. 如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　） ‎ A . ∠ACP=∠B B . ∠APC=∠ACB C . D . ‎ 二、综合题 ‎11. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE ， AD与BE相交于点F ． ‎ ‎（1） 试说明△ABD≌△BCE； ‎ ‎（2） △EAF与△EBA相似吗？说说你的理由． ‎ ‎12. （2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取AD=BC，连接BD． ‎ ‎（1） 通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系； ‎ ‎（2） 求∠ABD的度数． ‎ ‎13. 如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． ‎ ‎（1） 填空：∠ABC= ，BC= ； ‎ ‎（2） 判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． ‎ ‎14. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ． ‎ ‎（1） 试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？ ‎ ‎（2） 试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由． ‎ ‎15. 如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴，y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根，线段AB 的垂直平分线CD交AB于点C，分别交x轴，y轴于点D，E． ‎ ‎（1） 直接写出点A、B的坐标：A ， B ； ‎ ‎（2） 求线段AD的长； ‎ ‎（3） 已知P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点，则在坐标平面内是否存在点M，使得以点C、P、Q、M为顶点的四边形是以5为边长的正方形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． ‎ ‎16. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ． ‎ ‎（1） 试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？ ‎ ‎（2） 试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由． ‎ ‎17. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒． ‎ ‎（1） 线段AC的长= ； ‎ ‎（2） 当△PCF与△EDF相似时，求t的值． ‎ ‎18. 如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x ‎ ‎（1） CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度； ‎ ‎（2） 当x取何值时，△ABP和△CDP相似． ‎ ‎19. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB=AD． ‎ ‎（1） 判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由． ‎ ‎（2） AF与DF相等吗？为什么？ ‎ 三、解答题 ‎20. 如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D ， ∠BAD=∠CAE ， 求证：△ABC∽△ADE ． ‎ ‎21. 理解与应用 小明在学习相似三角形时,在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书,第37页遇到这样一道题： 如图1,在△ABC中,P是边AB上的一点,联结CP. 要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____________,或_________. 请回答： （1）小明补充的条件是____________________,或_________________. （2）请你参考上面的图形和结论,探究、解答下面的问题： 如图2,在△ABC中,∠A=60°,AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度数． ‎ ‎22. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC． ‎ ‎23. 已知，如图，， 那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？ ‎ ‎24. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？ ‎ ‎25. 如图，△ABC与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2； 证明：△ABC∽△ADE． ‎ ‎26. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°．求证：△ACF∽△BEC．   ‎ ‎27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，12),B(16，0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向点O移动，同时点Q从点B开始在BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒。 ‎ ‎ ⑴求直线AB的解析式； ⑵求t为何值时，△APQ与△AOB相似？ ⑶当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ ⑷当t为何值时，△APQ的面积最大，最大值是多少？ ‎ ‎28. 如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．   ‎ ‎29. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2=BD•CE，求证：△ABD∽△ECA． ‎ ‎30. 已知，如图，，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？ ‎ 知识点7 形似三角形的判定与性质综合 一、单选题 ‎1. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F， AD交PC于G，则图中相似三角形有（     ）． ‎ A . 1对 B . 2对 C . 3对 D . 4对 ‎2. 如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于(    ) ‎ ‎3. 如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　） ‎ A . 3：2：1 B . 5：3：1 C . 25：12：5 D . 51：24：10‎ ‎4. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∠ABO=30°，若顶点B在第一象限，则点B的坐标为（　　）   ‎ A . （1，1） B . （ ， ） C . （ ， ） D . （2，2）‎ ‎5. 如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（　　）   ‎ 二、综合题 ‎6. 如图，梯形ABCD中，AB∥DC ， ∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED ． 若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2， ‎ ‎（1） 求AB的长． ‎ ‎（2） 求△AED的面积 ‎ ‎7. 如图，在▱ABCD中，AE﹕EB=1﹕2， ‎ ‎（1） 求△AEF与△CDF的周长的比； ‎ ‎（2） 如果S△AEF=5cm2 ， 求S△CDF ． ‎ ‎8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．点D在线段PQ上，且PD=PC． ‎ ‎（1） 求证：PQ∥AB； ‎ ‎（2） 若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长． ‎ ‎9. 如图所示，已知AD∥EF∥BC，FG∥CH，且DF=2CF． ‎ ‎（1） 求AE：BE的值． ‎ ‎（2） 当CH=6时，求FG的长． ‎ ‎10. 如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC． ‎ ‎（1） 求证：DE•AB=BC•AE； ‎ ‎（2） 求证：∠AED+∠ADC=180°． ‎ ‎11. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC= ，CE=a，AC=b，求证： ‎ ‎（1） △DEC∽△ADC； ‎ ‎（2） AE•AB=BC•DE． ‎ ‎12. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD． ‎ ‎（1） 求证：∠ACF=∠ABD； ‎ ‎（2） 连接EF，求证：EF•CG=EG•CB． ‎ ‎13. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB． ‎ ‎（1） 求证：AE⊥CD； ‎ ‎（2） 连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB． ‎ ‎14. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ． ‎ ‎（1） 求证：△ADF∽△ACG； ‎ ‎（2） 若 ，求 的值． ‎ ‎15. （2017•泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD． ‎ ‎（1） 证明：∠BDC=∠PDC； ‎ ‎(2) 若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． ‎ 三、解答题 ‎16. 如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°． (1)请说明：△ADE∽△ABC； (2)若AD=8，AE=6，BE=10，求AC的长． ‎ ‎17. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G． （1）若FD=2， ， 求线段DC的长； （2）求证：EF•GB=BF•GE． ‎ ‎18. 已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若CD是AB边上的高，AC=2，AD=1，求BD的长． ‎ ‎19. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值．   ‎ ‎20. 如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．   ‎ ‎21. 如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且 （1）∠1与∠2相等吗？为什么？ （2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由． ‎ ‎22. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F． （1）求证：△ABC∽△FCD； （2）求证：FC=3EF．   ‎ ‎23. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）如果BC= ， AC=3，求CD的长．   ‎ ‎24. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD•AB，求∠APD的正弦值． ‎ ‎25. 已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． ‎ 四、填空题 ‎26. 如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为 ．   ‎ ‎27. 如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点E为边AB上一点，AE=2，点F为线段AB上一点，且BF=3，过点E作AC的平行线交BC于点D，作直线FD交AC于点G，则FG= ．   ‎ ‎28. 如图所示，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1 ， △B3D2C2的面积为S2 ， …，△Bn+1DnCn的面积为Sn ， 则S1= ，Sn=  （用含n的式子表示）． ‎ ‎ ‎ ‎29. 如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，AC与PB相交于点E．有以下结论： ①∠ACP=15°； ②△APE是等腰三角形； ③AE2=PE•AB； ④△APC的面积为S1 ， 正方形ABCD的面积为S2 ， 则S1：S2=1：4． 其中正确的是  （把正确的序号填在横线上）．   ‎ ‎30. 如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为 ． ‎ 知识点8 相似三角形的应用 一、单选题 ‎1. 小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4m，点D到AB的距离DG为6m（如图）．已知DE=30cm，EF=20cm，那么树AB的高度等于（　　）   ‎ A . 4m B . 5.4m C . 9m D . 10.4m ‎2. 临浦是座千年老镇，昔为浙江四大米市之一，镇南临浦阳江，西依峙山，著名的陈迹有临江书舍、西施庙、日思庵、范蠡庙等．峙山海拔59米，峙山塔高高耸立在峙山顶，为千年古镇第一塔．峙山塔建于2004年，钢筋混泥土框架结构仿古楼阁式塔，八面九层，高50米，总面积千余平方米．同学们想知道3号楼到峙山的水平距离约多少米，制定以下方案：如图，同学们的眼睛、路灯顶端、塔顶在同一直线上，测量得路灯高EF=3.3米，同学们到路灯的水平距离BF=16.2米，身高是1.6米，台阶高33cm．则下列数据最接近实际距离（　　）   ‎ A . 1200米 B . 1230米   C . 1270米 D . 1310米 ‎3. 如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　） ‎ A . 第4张 B . 第5张 C . 第6张 D . 第7张 ‎4. 在同一时刻，一幢25米的高楼，影长为20米，那么此时一根高10米的旗杆，影长为（　　）米． ‎ A . 6 B . 8 C . 10 D . 12‎ ‎5. 如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则荆河的宽度PQ为（   ） ‎ A . 40m B . 120m C . 60m D . 180m 二、综合题 ‎6. 如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m． ‎ ‎（1） 请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG； ‎ ‎（2） 若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度． ‎ ‎7. （2015•兰州）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． ‎ ‎（1） 该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的； ‎ ‎（2） 试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程。 ‎ ‎8. 如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙． ‎ ‎（1） 请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； ‎ ‎（2） 如果小亮的身高AB=1.6m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． ‎ ‎9. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M． ‎ ‎（1） 当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′． ‎ ‎（2） 当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2． ①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；‎ ‎ ②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明． ‎ ‎10. （2014•温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒． ‎ ‎（1） 当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标； ‎ ‎（2） 当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形； ‎ ‎（3） 在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S． ①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值； ②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围． ‎ ‎11. 已知，如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，O为BC延长线上一点，CO=3，过O，A作直线l，将l绕点O逆时针旋转，l与AB交于点D，与AC交于点E，当l与OB重合时，停止旋转；过D作DM⊥AE于M，设AD=x，S△ADE=S． ‎ ‎（1） 用含x的代数式表示DM，AM的长； ‎ ‎（2） 当直线l过AC中点时，求x的值； ‎ ‎（3） 用含x的代数式表示AE的长； ‎ ‎（4） 求S与x之间的函数关系式； ‎ ‎（5） 当x为多少时，DO⊥AB． ‎ ‎12. 已知：正方形纸片ABCD的边长为4，将该正方形纸片沿EF折叠（E，F分别在AB，CD边上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P． ‎ ‎（1） 如图①，连接PE，若M是AD边的中点． ①写出图中与△PMD相似的三角形． ②求△PMD的周长． ‎ ‎（2） 如图②，随着落点M在AD边上移动（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明你的理由． ‎ ‎13. 已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC． ‎ ‎（1） 当t为何值时，PQ∥AB？ ‎ ‎（2） 当t=3时，求△QMC的面积； ‎ ‎（3） 是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． ‎ ‎14. （2017•山西）综合与实践 背景阅读  早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3 ，4 ，5 的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF． ‎ 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平． ‎ ‎（1） 请在图2中证明四边形AEFD是正方形． ‎ ‎（2） 请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明； ‎ ‎（3） 请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形； ‎ ‎（4） 在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称． ‎ ‎15. 在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． ‎ ‎（1） 当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE； ‎ ‎（2） 通过观察、测量、猜想： ， 并结合图②证明你的猜想； ‎ ‎（3） 把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求 的值．（用含α的式子表示） ‎ 三、解答题 ‎16. （2015•菏泽）（1）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离． （2）列方程（组）或不等式（组）解应用题： 2015年的5月20日是第15个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）．‎ ‎ 信息 1、快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他 2、快餐总质量为400克 3、碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍 若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？ ‎ ‎17. 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=25米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大 楼的高度AB是多少米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）． ‎ ‎18. 为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC=1米，CD=5米，请你根据所给出的数据求树高ED. ‎ ‎19. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上． ⑴求证：△ADE≌△BGF； ⑵若正方形DEFG的面积为16，求AC的长． ‎ ‎20. 某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米/秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他（AB）在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他（CD）在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点F，此时点A，C，E三点共线． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出小明位于点F时在这个灯光下的影长FH（不写画法）； （2）求小明到达点F时的影长FH的长． ‎ ‎21. （2014•抚顺）已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D． （1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论； （2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数． ‎ ‎22. 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． ‎ ‎23. 如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？ ‎ ‎24. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时 如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB． ‎ ‎25. 如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m，窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值） ‎ 四、填空题 ‎26. 如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的顶端C、A与O点在一条直线上，则根据图中数据可得旗杆AB的高为 m． ‎ ‎27. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 m ‎ ‎28. 如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5m，AD=15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为 m． ‎ ‎ ‎ ‎29. 两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差是12cm，那么小三角形的周长为 ． ‎ ‎30. 如图，正方形ABCD中，P ， Q是BC边上的三等分点，连接AQ、DP交于点R ． 若正方形ABCD的面积为144cm2 ， 则△PQ R的面积为 cm2 ． ‎ 知识点9 作图——相似变换 一、单选题 ‎1. 下列生活中的现象，属于相似变换的是（   ） ‎ A . 抽屉的拉开 B . 汽车刮雨器的运动 C . 坐在秋千上人的运动 D . 投影片的文字经投影变换到屏幕 ‎2. 如图，在3×3正方形网格中，顶点是网格线的交点的三角形叫做格点三角形，给出下列命题： ①一定存在全等的两个格点三角形 ②一定存在相似且不全等的两个格点三角形 ③一定存在两个格点三角形是位似图形 ④一定存在周长和面积均为无理数的格点三角形 其中真命题的个数是（　　） ‎ A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个 ‎3. 如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为 ， 得到线段A′B′．正确的画法是（　　） ‎ A . B . C . D . ‎ ‎4. 如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（　　） ​ ‎ A . 1 B . 2 C . 3 D . 4‎ 二、综合题 ‎5. （2016•南京）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE． ‎ ‎（1） 求证：∠D=∠F； ‎ ‎（2） 用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）． ‎ ‎6. 如图，在所给方格图中，每个小正方形边长都是1，图甲中三角形①，②，③，④均为格点三角形（顶点在方格顶点处）． ‎ ‎（1） 在①，②，③，④四个三角形中： 和 相似， 和 相似． ‎ ‎（2） 选择图甲中的两个三角形进行拼接．使其中一边作为公共边（两三角形无重叠）．拼成一个新格点三角形（△ABC），且△ABC与图甲中的四个三角形均不相似，你选择的两个三角形分别是 和 ， 并在图乙中画出△ABC． ‎ ‎7. 综合题。 ‎ ‎（1） 将有一个锐角为30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值； ‎ ‎（2） 一三角形三顶点的坐标分别是A（0，0），C（2，2），B（3，0），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2：1．并求出放大后的三角形各顶点坐标． ‎ ‎8. 如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF． ‎ ‎（1） 这两个三角形相似吗？为什么？ ‎ ‎（2） 求∠A的度数； ‎ ‎（3） 在右边的网格再画一个三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比． ‎ 三、填空题 ‎9. （2014•黄冈模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 ． ‎ ‎10. （2008秋•徐汇区期中）如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的三角形（它的顶点必须在方格图的交叉点） ． ‎ ‎11. 在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1 ， 使△A1B1C1与格点三角形ABC相似（相似比不为1）． ． ‎ ‎12. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，点P（1，2），作△PQR，使△PQR与△ABC相似，以Q、R点必须要格点上   ． （不写作法） ‎ 四、作图题 ‎13. （2012秋•赣县期末）如图，点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位，在图中选择适当的位似中心，画一个与格点△DEF位似且位似比不等于1的格点三角形 ‎ ‎14. （2016•陕西）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法） ‎ ‎15. 如图1，在8×8方格纸中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上．请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1；请在图3中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为 ：1． ‎ ‎16. 如图，图①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形． 要求： ‎ ‎ 所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等． 图②和图③中新画的三角形不全等． ‎ ‎17. 如图所示，请你画一画，试着把下面两个图形用给出的格点缩小为原来的 ． ‎ ‎18. 如图，在大小为6×6的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1 ， 使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1 ， B1 ， C1都在正方形方格的顶点上． ‎ ‎19. 如图所示，将下列图形按相似比为3：2 画出它的相似图形． ‎ ‎20. 在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形． ‎ ‎21. 试用格点图把图中的图形放大（或缩小）． ‎ ‎22. 如图，在网格中画出与已知三角形相似的三角形，并使相似比为 ．（列出一种情况即可） ‎ ‎23. 如图，在格点中画出与所给的图形的形状相同的图形，使新图形的各顶点仍在格点上． ‎ ‎24. 如图所示，把图（1）中的图形在图（2）中放大（形状完全一样）． ‎ ‎25. 如图，试将一个正方形纸片分割为8个相似的小正方形． ‎ ‎26. 请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2：1． ‎ ‎27. 请在方格纸中画出与原图形相似的图形． ‎ ‎28. 在给定的锐角三角形△ABC中，求作一个正方形DEFG，使得D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上． ‎ ‎29. 如图，在6×6的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，△ABC是一个格点三角形． ①在图①中，请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由； ②在图②中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与△ABC的位似比为2：1 ③在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与△ABC相似，且有一条公共边和一个公共角．‎ 知识点10 作图——位似变换 一、单选题 ‎1. 用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（　　） ‎ A . 只能选在原图形的外部 B . 只能选在原图形的内部 C . 只能选在原图形的边上 D . 可以选择任意位置 ‎2. 如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（　　） ‎ A . （2，1）  B . （ ， ） C . （2，﹣1）  D . （2，﹣）‎ ‎3. 下列判断中，正确的是（　　） ‎ A . 相似图形一定是位似图形 B . 位似图形一定是相似图形 C . 全等的图形一定是位似图形 D . 位似图形一定是全等图形 ‎4. （2016•德州）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（　　） ‎ A . 平移 B . 旋转 C . 轴对称 D . 位似 ‎5. 下列判断中，正确的是（　　） ‎ A . 相似图形一定是位似图形 B . 位似图形一定是相似图形 C . 全等的图形一定是位似图形 D . 位似图形一定是全等图形 ‎6. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1： ， 点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）   ‎ A . （﹣ ， 0） B . （﹣ ， ﹣）     C . （﹣ ， ﹣） D . （﹣2，﹣2）‎ ‎7. 如图，线段AB两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（　　）   ‎ A . （﹣2，﹣3） B . （﹣3，﹣2） C . （﹣3，﹣1） D . （﹣2，﹣1）‎ ‎8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在△ODC的OD边上，AB∥DC交OC于点B．若点A、B的坐标分别为（2，3）、（2，1），点C的横坐标为2m（m＞0），则点D的坐标为（   ） ‎ A . （2m，m） B . （2m，2m） C . （2m，3m） D . （2m，4m）‎ ‎9. 如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（   ） ‎ A . 1：2 B . 1：4 C . 1：5 D . 1：6‎ ‎10. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（8，2），B （6，6），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点C的坐标为（   ） ‎ A . （3，3） B . （4，3） C . （3，1） D . （4，1）‎ 二、作图题 ‎11. 如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O（0，0），A（4，2），B（2，4），P（4，4），以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1：2，请在网格中画出符合条件的△DEF．‎ ‎12. 如图，在四边形ABCD内选一点O为位似中心将它放大为原来的两倍（保留作图痕迹）．‎ ‎13. 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画一个△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．‎ ‎14. 如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍，画出图形； （2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标； （3）求△OB′C′的面积．‎ ‎15. 如图，在12×12的正方形网格中，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（1，2），B（2，﹣1）． （1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺（OA：OA′）1：2在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△OA′B′，并写出点A′、B′的坐标：A′（　     ），B′（　     ）； （2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C'的坐标（　     ）．‎ ‎16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（1，3）、B（2，2）、C（2，1），D（3，3）． （1）以原点O为位似中心，相似比为2，将图形放大，画出符合要求的位似四边形； （2）在（1）的前提下，写出点A的对应点坐标A′，并说明点A与点A′坐标的关系．‎ ‎17. 利用位似图形的方法把四边形ABCD缩小为原来的．‎ ‎18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）． ①画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； ②以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2 ， 并写出A2、B2、C2的坐标． ‎ ‎19. 将图中的△ABC作如下运动： ①沿x轴向左平移2个单位，得到△A1B1C1 ， 不画图直接写出发生变化后的三个顶点的坐标． ‎ ‎②以A点为位似中心在△ABC的同侧，将△ABC放大到原来2倍，得到AB2C2 ． 画出图形，并写出发生变化后的B2、C2两个顶点的坐标． ‎ ‎20. （2012•桂林）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）． ‎ ‎（1） 作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1 ， 并写出A1、B1、C1的坐标； ‎ ‎（2） 以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2 ， 使 ． ‎ 三、解答题 ‎21. 如图,网格图的每个小正方形边长均为1．△OAB的顶点均在格点上．已知△与△OAB是以O为位似中心的位似图形,且位似比为1︰3． （1）请在第一象限内画出△; （2）试求出△的面积． ‎ ‎22. 如图，△ABC在坐标平面内三个顶点的坐标分别为A（1，2）、B（3，3）、C（3，1）． （1）根据题意，请你在图中画出△ABC； （2）在原图中,以B为位似中心，画出△A′BC′使它与△ABC位似且位似比是3：1，并写出顶点A′和C′的坐标． ‎ ‎23. 如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M． （1）写出D点的坐标； （2）在图中画出M点，并求M点的坐标． ‎ ‎24. 如图在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2 ， B2 ， C2 ， 请画出△A2B2C2； （3）则S△A1B1C1：S△A2B2C2 ． ‎ ‎25. 分别在直角坐标系中描出点（1）（0，0），（5，4），（3，0），（5，1）（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）；按描点的顺序连线． ‎ ‎（2）（0，0），（10，8），（6，0），（10，2），（10，﹣2），（6，0），（8，﹣4），（0，0）按描点的顺序连线． （3）你得到两个怎样的图形？ （4）两个图形有什么特点？（从形状和大小来回答）   ‎ ‎26. （2014秋•海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF， （1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明； （2）若AB=2，CD=3，求EF的长． ‎ ‎27. 如图，在网格图中的△ABC与△DEF是否成位似图形？说明理由．如果是，同时指出它们的位似中心． ​ ‎ ‎28. 如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形．求证：OD•OC=OF•OA． ‎ ‎29. 在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A′B′C′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5cm×2.5cm，放映的银幕规格是2m×2m，光源P与胶片的距离是20cm，则银幕应距离光源P多远时，放映的图象正好布满整个银幕？ ‎ ‎30. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）． ①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A1B1C1 ， 画出△A1B1C1 ， 并写出C1的坐标； ②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A2B2C2 ， 并写出C2的坐标． ‎