安徽省芜湖一中2013届高三上学期第二次模拟考试数学理试卷

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安徽省芜湖一中2013届高三上学期第二次模拟考试数学理试卷

芜湖一中2013届高三第二次模拟考试 数学(理科)试题 第I卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知复数,且有,是z的共轭复数,那么的值等于( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若随机变量(1,4),,则=( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.二项式展开式中含有项,则n可能的取值是( )‎ ‎ A.5 B.‎6 ‎ C.7 D.8‎ ‎4.已知函数,是定义在R上的奇函数,当时,,则函数的大致图象为( )‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎6.定义在R上的偶函数满足,且在 上是减函数,是钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是( )‎ ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.在等差数列中,,,对任意的n,设,则满足的最小正整数K的取值等于( )‎ ‎ A.16 B.‎17 ‎ C.18 D.19‎ ‎8.直线(为参数)被曲线所截的弦长为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.设长方形ABCD边长分别是AD=1,AB=2(如图所示),点P在BCD内部和边界上运动,设(都是实数),则的取值范围是( )‎ ‎ A.[1,2] B.[1,3] C.[2,3] D.[0,2]‎ ‎10.把一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种不同颜色可供选择,那么不同的染色方法共有( )‎ ‎ A.420种 B.300种 C.360种 D.540种 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.点P是抛物线上一动点,则点P到y轴距离与点P到点A距离之和的最小值等于 。‎ ‎12.= 。‎ ‎13.如图所示,程序框图输出的值为 。‎ ‎14.已知命题,命题若非p是非q的必要不充分条件,那么实数m的取值范围是 。‎ ‎15.已知,,函数 ‎,那么下列四个命题中正确命题的序号是 。‎ ‎ ①是周期函数,其最小正周期为。‎ ‎②当时,有最小值。‎ 芜湖一中2013届高三第二次模拟考试 数学(理科)答题卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 题号 ‎10‎ 答案 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11. 12. 13. ‎ ‎14. 15. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎16.(本题满分12分)‎ 解关于x的不等式 ‎17.(本题满分13分)‎ ‎ 某品牌汽车4s店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如表所示:‎ 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 ‎40‎ ‎20‎ a ‎10‎ b ‎ 已知分3期付款的频率为0.2,4s店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元,分2期或3期付款其利润为1.5万元,分4期或5期付款,其利润为2万元,用Y表示经销一辆汽车的利润。‎ ‎ (1)求上表中a,b的值。‎ ‎ (2)若以频率作为概率,求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有一位采用3期付款”的概率P(A)‎ ‎ (3)求Y的分布列及数学期望EY。‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 如图,四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形,侧面SAB是等边三角形,DA面SAB,DC//AB,AB=2AD=2DC,O,E分别为AB、SD中点。‎ ‎ (1)求证:SO//面AEC BC面AEC ‎ (2)求二面角O—SD—B的余弦值。‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 已知函数 ‎ (1)当时,求函数的单调区间。‎ ‎ (2)若不等式对任意的恒成立,求a的取值范围。‎ ‎20.(本题满分13分)‎ ‎ 如图,直角坐标系XOY中,点F在x轴正半轴上,的面积为S。且,设,。‎ ‎ (1)以O为中心,F为焦点的椭圆E经过点G,求点G的纵坐标。‎ ‎ (2)在(1)的条件下,当取最小值时,求椭圆E的标准方程。‎ ‎ (3)在(2)的条件下,设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点,点C是椭圆的下顶点,点P在椭圆E上(与点A、B均不重合),点D在直线PA上,若直线PB的方程为,且,试求CD直线方程。‎ ‎21.(本题满分13分)‎ ‎ 已知函数,,对于任意的,都有。‎ ‎ (1)求的取值范围 ‎ (2)若,证明: ()‎ ‎ (3)在(2)的条件下,证明:‎ ‎ ‎ 高三数学答案(理科)‎ 一、选择题(每题5分,共50分)‎ ‎1.B , ‎ 原式 ‎2.C由对称性: ‎ ‎ ,选C。‎ ‎3.D 因为,‎ ‎4.D 偶函数 奇函数 是奇函数排除;又当取较大正数时, 排除C故选D ‎5.A 该几何体下面是个园柱,上面是个三棱锥,其体积为 ‎ 选 ‎6.B ‎ 在上减 在[-1,0]上减,又偶函数 在上增 ‎ 是钝角三角形的两个锐角 选B ‎7.C ‎ ‎ ‎ 最小正整数K值为18,选C ‎8.C 化为普通方程:直线,圆,圆心,,圆心到直线距离,弦长=‎ ‎9.B 阴影部分内的点(x,y)满足设P(x,y),‎ 则 即:, 因此作图易知: 选B ‎10.A 用5色有种,用4色有种,用3色有种,共有420种。‎ 二、填空题(每小题5分,共25分)‎ ‎11. A、P、F三点共线时,最小。‎ ‎12.3 原式=‎ ‎13.12(略)‎ ‎14. ‎ ‎ 或 是的必要不充分条件 恒成立 。‎ ‎15.②,③,④ ‎ ‎ ,而知①错②,③,④均正确。‎ 三、解答题 ‎16.原不等式同解于: …………………………3分 解得: …………………………………………8分 当时,解为 …………………………………………10分 当时 解为 …………………………12分 ‎17.(1) ……………………4分 ‎ (2)记分期付款的期数为,则:,,‎ ‎ ,故所求概率…………8分 ‎(3)Y可能取值为1,1.5,2(万元) ‎ ‎,‎ Y的分布列为:‎ Y ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ Y的数学期望(万元)……………………………………13分 ‎18.(1)设DO,AC交于点F,连接EF,则可得EF//OS SO//面AEC …………………3分 又SO面ABCD 又 ‎ 面……………………………………6分 ‎(2)分别以OS,OB,OC为x轴,Y轴,z轴点的空间直角坐标系,设AB=2,显然AC面SOD,‎ 面SOD的法向量 设面SBD 的法向量为 由,求得:,故所求二面角的余弦值为……………………12分 ‎19.(1)时, ‎ 减区间为(-1,1),增区间为()和(1,) ………………………………5分 ‎(2) 令的 ‎ 列表 ‎()‎ ‎(,1)‎ ‎1‎ ‎(1,)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 当时,有最小值 依题意 即可 ‎ 解得 ………………………………12分 ‎20.(1)设G() ‎ ‎ …………………………3分 ‎(2)由(1)知 ‎ ‎ 在[2,]上递增 当时 有最小值此时 ‎ ,由于点G在椭圆E上,且 可求得 方程为:………………………………8分 ‎(3)由(2)知:,, 直线BP:经过点B 求得 又设P()则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又CD直线过点C(0,)故:所求CD方程为:……………………13分 ‎21.(1) 恒成立 ‎ 恒成立 故:…………………………3分 ‎(2) 当时,‎ 有结论:函数在(1,)上是单调递增函数。‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,由得 成立。‎ ‎②假设当时,结论成立。即:‎ 那么当时 ‎ 这表明当时不等式也成立,综合①②可知:当,时 成立………7分 ‎(3)且 ‎ ‎ 令则在上递增 由(2)知:‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 左边 ‎…………13分
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