中考专题平行四边形综合复习

中考专题平行四边形综合复习

‎ 一、同步知识梳理 知识点1：平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。‎ 定义的作用：（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；（2）给出了平行四边形的一个重要性质:两组对边分别平行。‎ 知识点2：平行四边形的性质 （1） 定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。‎ （2） 性质:‎ A、平行四边形的对角相等。‎ B、平行四边形的对边相等。‎ C、平行四边形的对角线互相平分。‎ ‎ （3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。‎ 注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。‎ 知识点3：平行四边形的判定 ‎（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ‎（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ‎（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ‎（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ‎（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 二、同步题型分析 题型1：平行四边形的定义 例1：如图1，四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是 _，理由是_ _‎ 解： 平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ‎ 例2：判断题：‎ ‎(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形． ( )‎ ‎(2)平行四边形的两角相等． ( )‎ ‎(3)平行四边形的两条对角线相等． ( )‎ ‎(4)平行四边形的两条对角线互相平分． ( )‎ ‎(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离． ( )‎ 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 ‎(6)平行四边形的邻角互补． ( )‎ 题型2：平行四边形的性质 例1：如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ，求证：BO=OE ．‎ 证明：在□ABCD中，∵AB//CD，‎ ‎　　∴ ，又∵（角平分线定义）．‎ ‎　　∴，又∵ ， ‎ ‎∴ ∴BO=OE．‎ 例2：已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．‎ 求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．‎ 证明：在 ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴　∠1＝∠2．∠3＝∠4．‎ 又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，‎ ‎∴ △AOE≌△COF（ASA）．‎ ‎∴　OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．‎ ‎∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．‎ ‎∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．‎ 例3：如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．‎ 证明：‎ 连结EH，HF、FG、GE ‎∵AE⊥BD，G是AD中点．‎ ‎ ‎ ‎∠GED=∠GDE 同理可得 ‎ ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴ADBC，∠GDE=∠HBF ‎∴GE=HF，∠GED=∠HFB ‎∴GE∥HF ‎∴四边形GEHF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)‎ ‎∴EF和GH互相平分．(平行四边形对角线互相平分)‎ 题型3：平行四边形的判定 ‎ 例1：如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．‎ ‎（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；‎ ‎（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）(★)‎ 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．‎ 又∵AG=CH，∴BG=DH．‎ 又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．‎ ‎∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，‎ ‎∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．‎ ‎（2）解：仍成立．（证法同上）‎ ‎ ‎ ‎ 例2：如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．‎ ‎（1）求证：BE=DF；‎ ‎（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．‎ 解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，‎ ‎∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，‎ ‎∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF；‎ ‎（2）四边形MENF是平行四边形．‎ 证明：有（1）可知：BE=DF，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，‎ ‎∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，‎ ‎∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，‎ ‎∴四边形MENF是平行四边形．‎ 三、 课堂达标检测 检测题1：1. 已知在平行四边形ABCD中，∠A＝72°，∠B＝___________ ‎ ‎ 2. 已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，它的周长30。BC＝__________ ‎ ‎3. 已知在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2∶3，∠B＝___________ ‎ ‎4. 已知在平行四边形ABCD中，∠BAC＝58°，∠ACB＝26°，∠D= ___________‎ ‎ 答案 1. 108° 2. 10 3. 108° 4. 96‎ 检测题2：如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．‎ 证明：□ABCD中，ABCD ‎∴∠ABD=∠CDB(两直线平行内错角相等)‎ AE⊥BD、CF⊥BD ‎∴AE∥CF∠AEB=∠CFD=90°‎ ‎∴△ABE≌△CDF(AAS)‎ ‎∴AE=CF 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 ‎∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)‎ 检测题3：已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．(★)‎ 证明：∵□ABCD中，对角线AC交BD于点O，‎ ‎∴OB=OD，‎ 又∵四边形AODE是平行四边形，‎ ‎∴AE∥OD且AE=OD，‎ ‎∴AE∥OB且AE=OB，‎ ‎∴四边形ABOE是平行四边形，‎ 同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．‎ 一、专题精讲 ‎ ‎ 例1：平行四边形的综合判定 如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．‎ ‎（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；‎ ‎（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．‎ ‎（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，‎ ‎∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．‎ ‎∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．‎ 又∵△ADC为等边三角形，‎ ‎∴CD=AD=AC．∴EF=AD．‎ 同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．‎ ‎（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．‎ 当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）‎ 当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．‎ 例2：平行四边形中的计算 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）‎ 解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵O为对角线的交点，∴DO=BO，‎ 又∵E为OD的中点，∴DE=DB，‎ 则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，‎ ‎∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．‎ 例3：平行四边形的折叠 如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．‎ ‎（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．‎ ‎（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO=DA，‎ ‎∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，∴∠AEO=60°，‎ 又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60°，‎ ‎∴BC∥AE，∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO∥AB，‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形；‎ ‎（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，‎ 在Rt△ABO中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，‎ ‎∴ ，‎ 在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，‎ ‎ ，‎ 解得：x=1，∴OG=1．‎ 二、专题过关 检测题1：如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=　　..‎ 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．‎ ‎∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，‎ 即2：DF=3：7，∴DF=．‎ 检测题2: 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与重合，点落到处，折痕为．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）连结，判断四边形是什么特殊四边形？说明你的结论．‎ 证明：（1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．‎ ‎∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3．‎ ‎∴∠1=∠3．∴△ABE≌△AD′F（ASA）‎ ‎（2）解：四边形AECF是菱形．‎ 证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．‎ ‎∴∠4=∠6．∴AF=AE．‎ ‎∵AE=EC，∴AF=EC．‎ 又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．‎ ‎∵AF=AE，∴四边形AECF是菱形．‎ 三、学法提炼 ‎1、专题特点：‎ 针对无锡中考的证明题，偏难一点 针对无锡中考的计算压轴题，难度小些，主要是综合性不能太高 ‎2、解题方法 掌握好平行四边的判定方法 当图形中出现两个及两个以上的等边三角形或正方形或等腰直角三角形时，一定会有全等 有平行，有交点，定有相似 折叠要掌握好轴对称的性质 ‎3、注意事项 ‎ 注意角的范围，平角，周角的应用 在比例时一定要看好是谁比谁，不要乱比 折叠时，不要怕，等量关系多，从边到角一个一个标记 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 一、 能力培养 综合题1 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；‎ ‎（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；‎ ‎（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．‎ 图1 　 图2‎ 思路点拨 ‎1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．‎ ‎2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．‎ 满分解答 ‎（1）QB＝8－2t，PD＝．‎ ‎（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．‎ 过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．‎ 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． 图3‎ 在Rt△APE中，，所以．　‎ 当PQ//AB时，，即．解得．‎ 所以点Q的运动速度为．‎ ‎（3）以C为原点建立直角坐标系．‎ 如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．‎ 如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．‎ 直线EF的解析式是y＝－2x＋6．‎ 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．‎ 所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．‎ 图4 图5 图6‎ 考点伸展 第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：‎ 当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．‎ 设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，‎ 得 解得a＝0，b＝－2，c＝6．‎ 所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．‎ 综合题2 ：如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． ‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求tan∠ABO的值；‎ ‎（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．‎ 图1 ‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．‎ ‎2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．‎ 满分解答 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 ‎（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 ‎ 解得，c＝1．‎ 所以抛物线的解析式是．‎ ‎（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．‎ 如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．‎ 在Rt△AOH中，OA＝1，，‎ 所以． 图2‎ 所以，． ‎ 在Rt△ABH中，．‎ ‎（3）直线AB的解析式为．‎ 设点M的坐标为，点N的坐标为，‎ 那么．‎ 当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．‎ 解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．‎ 因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）．‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．‎ 那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．‎ 由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如图5）．‎ 所以符合题意的点M有4个：，，，．‎ 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 学法升华 一、 知识收获 平行四边形的定义是什么？‎ 平行四边形的性质有哪些？‎ 平行四边形的判定定理有哪几个？‎ 二、 方法总结 看到条件中有平行四边形时你会想到什么呢?‎ 如果让你证明平行四边形时，你第一反应是什么呢？‎ 课后作业 ‎1、在ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；‎ ‎（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．‎ ‎（2）试探究当△CPE≌△CPB时，ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？‎ 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌 12 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌