湖南高考数学文科卷及答案

湖南高考数学文科卷及答案

2006年湖南高考试卷 科目：数学（文史类）‎ ‎（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。‎ ‎ 2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：‎ ‎（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。‎ ‎（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用‎0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。‎ ‎ （3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。‎ ‎3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ ‎4. 本试卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。 ‎ ‎ ‎ ‎ 姓　　名　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　准考证号　　　　　　　　　　‎ 绝密★启用前 数　学（文史类）‎ 本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分.‎ 参考公式:‎ ‎ 如果事件、互斥，那么 ‎ 如果事件、相互独立，那么 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是 ‎ 球的体积公式 ,球的表面积公式，其中表示球的半径 ‎ ‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．函数的定义域是 ‎　 A．(0,1］　　　　　B. (0,+∞)　　　　C. (1,+∞)　　　　D. ［1,+∞)‎ ‎2．已知向量若时，∥；时，，则 ‎　 A．　　　　　 B. 　　　‎ C. 　　 D. ‎ ‎3. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是 ‎　 A．-2　　　　 　B. 　　 　　C. 　　　　D. 2‎ ‎4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 ‎ A．π　　　　　　　 B. 2π　　　　 C.　3π　　 　　D. ‎ ‎5．“a=‎1”‎是“函数在区间［1，＋∞）上为增函数”的 ‎　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　 B. 必要不充分条件 ‎　 C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条件 ‎6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A．6 　　　　B. ‎12 ‎ 　　　　C. 18　　　 D. 24‎ ‎7．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 A．36 　　　 B. ‎18 ‎ 　　　　 C. 　　　 D. ‎ ‎8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是 A．2π 　　　　B. π 　　　　C. 　　　 D. ‎ ‎9．过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是 A． 　　　 B. 　　 C. 　　　 D. ‎ A B O M 图1‎ ‎10. 如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是 A．　　　　　B. ‎ C. D. ‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部　对应题号的横上.‎ ‎11. 若数列满足：，2，3….则　　　　　　.‎ ‎12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　　　　分.‎ ‎13. 已知则的最小值是　　　　　.‎ ‎14. 过三棱柱 ABC－A1B‎1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1A1平行的直线共有　　　　　条.‎ ‎15. 若是偶函数，则a= .‎ 三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分１２分）‎ ‎ 已知求θ的值.‎ ‎17.（本小题满分１２分）‎ ‎ 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：‎ ‎(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；‎ ‎(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率；‎ ‎(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.‎ ‎18.（本小题满分１4分）‎ Q B C P A D 图2‎ ‎ 如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与 Q-ABCD的高都是2，AB=4. ‎ ‎ (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；‎ ‎ (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；‎ ‎ (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ｉ）讨论函数的单调性；‎ ‎ （Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ ‎ 在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.‎ ‎（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；‎ ‎（Ⅱ）令，证明，n=1,2,….‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.‎ ‎（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；‎ ‎　（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.‎ 参考答案：‎ ‎1－10：DCDAABCBCDC ‎11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .‎ ‎1．函数的定义域是，解得x≥1，选D.‎ ‎2．向量若时，∥，∴ ；时，，，选C.‎ ‎3．的展开式中的系数=x3， 则实数的值是2，选D ‎4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A.‎ ‎5．若“”，则函数=在区间上为增函数；而若在区间上为增函数，则0≤a≤1，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选A.‎ ‎6．在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有种方法，共有12种方法，选B.‎ ‎7．圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.‎ ‎8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.‎ ‎9．过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得 ‎，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选D.‎ ‎10．如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，‎ 由图知，x<0，当x=－时，即=－，P点在线段DE上，=，=，而<<，∴ 选C.‎ 二．填空题：‎ ‎11.； 12. 85； 13. 5 ； 14. 6 ； 15. －3 .‎ ‎11．数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ .‎ ‎12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.‎ ‎13．已知，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5. ‎ ‎14．过三棱柱 ABC－A1B‎1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1A1平行的直线共有6条。‎ ‎15．是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。‎ ‎16. 解　由已知条件得.‎ 即.‎ 解得.‎ 由0＜θ＜π知，从而.‎ ‎17. 解　（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.‎ ‎（Ⅱ）解法一　某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.‎ 解法二　某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.‎ 所以该煤矿不被关闭的概率是.‎ ‎(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.‎ ‎18. 解法一　（Ⅰ）连结AC、BD，设.‎ 由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.‎ 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.‎ ‎（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD. ‎ Q B C P A D z y x O 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.‎ 所以 于是.‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是.‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），， ‎ ‎，设是平面QAD的一个法向量，由 得.‎ 取x=1，得.‎ 所以点P到平面QAD的距离.‎ 解法二　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.‎ 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，‎ 所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.‎ 又平面PQM，所以PQ⊥AD.‎ 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.‎ Q B C P A D O M ‎（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.‎ 因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.‎ 从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.‎ 因为，‎ 所以.‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是.‎ ‎(Ⅲ)连结OM，则.‎ 所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.‎ 由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.‎ 在直角△PMO中，.‎ 即点P到平面QAD的距离是.‎ ‎19. 解　（Ⅰ）由题设知.‎ 令.‎ 当（i）a>0时，‎ 若，则，所以在区间上是增函数；‎ 若，则，所以在区间上是减函数；‎ 若，则，所以在区间上是增函数；‎ ‎（i i）当a＜0时，‎ 若，则，所以在区间上是减函数；‎ 若，则，所以在区间上是减函数；‎ 若，则，所以在区间上是增函数；‎ 若，则，所以在区间上是减函数.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.‎ 因为线段AB与x轴有公共点，所以.‎ 即.所以.‎ 故.‎ 解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.‎ 即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].‎ ‎20. 解　（Ⅰ）由已知得，‎ ‎　　.‎ ‎ （Ⅱ）因为，‎ ‎　　　　　所以.‎ ‎ 又因为，‎ ‎　　　　　所以 ‎　　　　　　　　　　　　　 =.‎ ‎ 综上，.‎ ‎21. 解　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 ‎ x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.‎ ‎ 因为点A在抛物线上，所以，即.‎ ‎ 此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.‎ ‎ （Ⅱ）解法一　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.‎ 由消去y得. ……①‎ 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,‎ 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.‎ A y B O x 因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，‎ 所以，且 ‎.‎ 从而.‎ 所以，即.‎ 解得.‎ 因为C2的焦点在直线上，所以.‎ 即.‎ 当时，直线AB的方程为；‎ 当时，直线AB的方程为.‎ 解法二　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程 为.‎ 由消去y得. 　　　　　　　 ……①‎ 因为C2的焦点在直线上，‎ 所以，即.代入①有.‎ 即. ……②‎ 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,‎ 则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.‎ 由消去y得. 　　……③‎ 由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.‎ 从而＝. 解得.‎ 因为C2的焦点在直线上，所以.‎ 即.‎ 当时，直线AB的方程为；‎ 当时，直线AB的方程为.‎ ‎ 解法三　设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,‎ 因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，‎ 所以.‎ 即. ……①‎ 由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率，　　 ……②‎ 且直线AB的方程是,‎ 所以. ……③‎ 又因为，所以. ……④ ‎ 将①、②、③代入④得，即.‎ 当时，直线AB的方程为；‎ 当时，直线AB的方程为.‎