【数学】2019届一轮复习北师大版2-7 函数的图象学案
§2.7 函数的图象
最新考纲
考情考向分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f(x) y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝
af(x)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
知识拓展
1．关于对称的三个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2．函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．( × )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( × )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
题组二 教材改编
2．[P35例5(3)]函数f(x)＝x＋的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
3．[P23T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
4．[P75A组T10]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．
答案 (－1,1]
解析 在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．
题组三 易错自纠
5．下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案 C
6．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象．
答案 f(－x＋1)
解析 图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.
7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0
2(由于a4.
题型一 作函数的图象
作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②实线部分．
(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
题型二 函数图象的辨识
典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f(x)对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为( )
答案 A
解析 f(x)为奇函数，图象关于原点对称，将y＝ln x(x>1)的图象向左平移1个单位得到y＝ln(x＋1)(x>0)的图象．
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
答案 B
解析 方法一 由y＝f(x)的图象知，
f(x)＝
当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝图象应为B.
方法二 当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项，可知应选B.
思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
跟踪训练 (1)(2018届全国名校联考)函数y＝(a>1)的图象的大致形状是( )
答案 C
解析 y＝(a>1)，对照图象选C.
(2)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是( )
答案 B
解析 y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图象是由y＝log2x的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B满足．
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
典例 (1)设函数y＝，关于该函数图象的命题如下：
①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；
②任意两点的连线都不平行于y轴；
③关于直线y＝x对称；
④关于原点中心对称．
其中正确的是________．
答案 ②③
解析 y＝＝＝2＋，图象如图所示，可知②③正确．
(2)(2017·沈阳一模)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足00.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，
当1f(－x)－2x的解集是__________．
答案 (－1,0)∪(1，]
解析 由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.
在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为
(－1,0)∪(1，]．
高考中的函数图象及应用问题
考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．
一、函数的图象和解析式问题
典例1 (1)(2017·太原二模)函数f(x)＝的图象大致为( )
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
解析 (1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x＝1对称，排除B，C.取特殊值，当x＝时，f(x)＝2ln <0，故选D.
(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
答案 (1)D (2)A
二、函数图象的变换问题
典例2 若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
解析 由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
答案 C
三、函数图象的应用
典例3 (1)若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(0,2) D．(1,2)
解析 根据图象可知，函数图象过原点，
即f(0)＝0，∴m≠0.
当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，
函数f(x)在[－1,1]上是单调递增的，
∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
f′(x)＝
＝>0，
∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，
∴(x2－m)max<0，∴m>1，
综上所述，10
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
答案 D
解析 函数f(x)的图象如图实线部分所示，
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，
又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.
14．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是__________．
答案
解析 由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图所示，
记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，
即函数f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，
故kAB
查看更多
