高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：2.1.2 演绎推理

高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：2.1.2 演绎推理

2.1.2 演绎推理 [学习目标] 1．理解演绎推理的意义． 2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系． [知识链接] 1．演绎推理的结论一定正确吗？ 答 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式 正确，其结论就一定正确． 2．如何分清大前提、小前提和结论？ 答 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论 是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指 出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分， 这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意 义． 3．演绎推理一般是怎样的模式？ 答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前 提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． [预习导引] 1．演绎推理 含义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理 特点 由一般到特殊的推理 2.三段论 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M 是 P 小前提 所研究的特殊情况 S 是 M 结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S 是 P 要点一 用三段论的形式表示演绎推理 例 1 把下列演绎推理写成三段论的形式． (1)在一个标准大气压下，水的沸点是 100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到 100 ℃ 时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被 2 整除，2100＋1 是奇数，所以 2100＋1 不能被 2 整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此 y＝tan α是周期函数． 解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是 100 ℃，大前提 在一个标准大气压下把水加热到 100 ℃，小前提 水会沸腾．结论 (2)一切奇数都不能被 2 整除，大前提 2100＋1 是奇数，小前提 2100＋1 不能被 2 整除．结论 (3)三角函数都是周期函数，大前提 y＝tan α是三角函数，小前提 y＝tan α是周期函数．结论 规律方法 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个 一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情 况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时， 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 跟踪演练 1 试将下列演绎推理写成三段论的形式： (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星 以椭圆轨道绕太阳运行； (2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热； (3)一次函数是单调函数，函数 y＝2x－1 是一次函数，所以 y＝2x－1 是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式 an＝pn＋q(p，q 是常数)，数列 1,2,3，…，n 是等差数列， 所以数列 1,2,3，…，n 的通项具有 an＝pn＋q 的形式． 解 (1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行； 小前提：海王星是太阳系里的大行星； 结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行． (2)大前提：所有导体通电时发热； 小前提：铁是导体； 结论：铁通电时发热． (3)大前提：一次函数都是单调函数； 小前提：函数 y＝2x－1 是一次函数； 结论：y＝2x－1 是单调函数． (4)大前提：等差数列的通项公式具有形式 an＝pn＋q； 小前提：数列 1,2,3，…，n 是等差数列； 结论：数列 1,2,3，…，n 的通项具有 an＝pn＋q 的形式． 要点二 演绎推理的应用 例 2 正三棱柱 ABC－A1B1C1 的棱长均为 a，D、E 分别为 C1C 与 AB 的中点，A1B 交 AB1 于点 G. (1)求证：A1B⊥AD； (2)求证：CE∥平面 AB1D. 证明 (1)连接 BD. ∵三棱柱 ABC－A1B1C1 是棱长均为 a 的正三棱柱， ∴A1ABB1 为正方形，∴A1B⊥AB1. ∵D 是 C1C 的中点， ∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵G 为 A1B 的中点，∴A1B⊥DG， 又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面 AB1D. 又∵AD⊂平面 AB1D，∴A1B⊥AD. (2)连接 GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面 ABC. ∵DC⊥平面 ABC，∴GE∥DC， ∵GE＝DC＝1 2a，∴四边形 GECD 为平行四边形，∴CE∥GD. 又∵CE⊄平面 AB1D，DG⊂平面 AB1D， ∴CE∥平面 AB1D. 规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述 的简洁，如果前提是显然的，则可以省略． (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理 的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提． 跟踪演练 2 求证：函数 y＝2x－1 2x＋1 是奇函数，且在定义域上是增函数． 证明 y＝2x＋1－2 2x＋1 ＝1－ 2 2x＋1 ， 所以 f(x)的定义域为 R. f(－x)＋f(x)＝ 1－ 2 2－x＋1 ＋ 1－ 2 2x＋1 ＝2－ 2 2x＋1 ＋ 2 2－x＋1 ＝2－ 2 2x＋1 ＋ 2·2x 2x＋1 ＝2－22x＋1 2x＋1 ＝2－2＝0. 即 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数． 任取 x1，x2∈R，且 x10，则数列 bn＝n a1a2…an(n∈N*) 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论． 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数 列 bn＝a1＋a2＋…＋an n 也是等差数列． 证明如下： 设等差数列{an}的公差为 d，则 bn＝a1＋a2＋…＋an n ＝ na1＋nn－1d 2 n ＝a1＋d 2(n－1)， 所以数列{bn}是以 a1 为首项，d 2 为公差的等差数列． 1．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠ B＝180° B．某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝1 2 an－1＋ 1 an－1 (n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 答案 A 解析 A 是演绎推理，B、D 是归纳推理，C 是类比推理． 2．“因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，又 y＝log1 3 x 是对数函数(小前提)，所以 y ＝log 1 3x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( ) A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A 解析 y＝logax 是增函数错误．故大前提错． 3．把“函数 y＝x2＋x＋1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小 前提：________；结论：________. 答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y＝x2＋x＋1 是二次函数 函数 y＝x2＋x＋1 的 图象是一条抛物线 4． “如图，在△ABC 中，AC>BC，CD 是 AB 边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”． 证明：在△ABC 中 ， 因为 CD⊥AB，AC>BC， ① 所以 AD>BD， ② 于是∠ACD>∠BCD. ③ 则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 答案 ③ 解析 由 AD>BD，得到∠ACD>∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大 角”，小前提是“AD>BD”，而 AD 与 BD 不在同一三角形中，故③错误． 1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正 确，通过演绎推理得到的结论一定正确． 2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程 中常省略三段论的大前提. 一、基础达标 1．下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 答案 D 解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确． 2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴； 礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．” 上述推理用的是( ) A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 答案 C 解析 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论， 属演绎推理形式． 3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推 理( ) A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 答案 C 解析 由于函数 f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确． 4．“∵四边形 ABCD 是矩形，∴四边形 ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B 解析 利用三段论分析： 大前提：矩形都是对角线相等的四边形； 小前提：四边形 ABCD 是矩形； 结论：四边形 ABCD 的对角线相等． 5．三段论：“①小宏在 2013 年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在 2013 年的高考中 只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在 2013 年的高考中正常发挥”中，“小前提” 是________(填序号)． 答案 ③ 解析 在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论． 6．在求函数 y＝ log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当 a有意义时，a≥0；小前 提是 log2x－2有意义；结论是________． 答案 y＝ log2x－2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知 log2x－2≥0，解得 x≥4. 7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90°. 证明 因为任意三角形内角之和为 180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直 角三角形内角之和为 180°(结论)． 设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相 等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)． 二、能力提升 8．“所有 9 的倍数(M)都是 3 的倍数(P)，某奇数(S)是 9 的倍数(M)，故某奇数(S)是 3 的倍 数(P)．”上述推理是( ) A．小前提错 B．结论错 C．正确的 D．大前提错 答案 C 解析 由三段论推理概念知推理正确． 9．已知三条不重合的直线 m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α； ②若 l⊥α，m⊥β且 l∥m，则α∥β； ③若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则 n⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与 n 相交时才成立，③错误； ④正确．故选 B. 10．已知函数 f(x)满足：f(1)＝1 4 ，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则 f(2 010)＝________. 答案 1 2 解析 令 y＝1 得 4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1) 即 f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ① 令 x 取 x＋1 则 f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) ② 由①②得 f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)， 即 f(x－1)＝－f(x＋2)， ∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)， ∴f(x)＝f(x＋6)， 即 f(x)周期为 6， ∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0) 对 4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令 x＝1，y＝0，得 4f(1)f(0)＝2f(1)， ∴f(0)＝1 2 ，即 f(2 010)＝1 2. 11．用演绎推理证明函数 f(x)＝|sin x|是周期函数． 证明 大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T 为非零常数)， 则它为周期函数，T 为它的一个周期． 小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)． 结论：函数 f(x)＝|sin x|是周期函数． 12．S 为△ABC 所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面 SAB⊥平面 SBC.求证：AB⊥BC. 证明 如图，作 AE⊥SB 于 E. ∵平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝SB.AE⊂平面 SAB. ∴AE⊥平面 SBC， 又 BC⊂平面 SBC. ∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面 ABC， ∴SA⊥BC. ∵SA∩AE＝A，SA⊂平面 SAB，AE⊂平面 SAB， ∴BC⊥平面 SAB. ∵AB⊂平面 SAB.∴AB⊥BC. 三、探究与创新 13．设 f(x)＝ax＋a－x 2 ，g(x)＝ax－a－x 2 (其中 a＞0 且 a≠1)． (1)5＝2＋3 请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由 f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝a3＋a－3 2 a2－a－2 2 ＋a3－a－3 2 a2＋a－2 2 ＝a5－a－5 2 ， 又 g(5)＝a5－a－5 2 因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)． (2)由 g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即 g(2＋3)＝ f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 于是推测 g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)． 证明 因 f(x)＝ax＋a－x 2 ，g(x)＝ax－a－x 2 (大前提)， 所以 g(x＋y)＝ax＋y－a－x＋y 2 ，g(y)＝ay－a－y 2 ，f(y)＝ay＋a－y 2 (小前提及结论)， 所以 f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝ax＋a－x 2 ·ay－a－y 2 ＋ax－a－x 2 ay＋a－y 2 ＝ax＋y－a－x＋y 2 ＝g(x＋y).