【数学】2020届天津一轮复习通用版5-2平面向量数量积与应用作业

【数学】2020届天津一轮复习通用版5-2平面向量数量积与应用作业

‎5.2　平面向量数量积与应用 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.平面向量的数量积 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 ‎3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 ‎4.理解数量积的性质并能运用 ‎2014天津,8‎ 基底法线性表示向量 向量的共线表示 ‎★★★‎ ‎2.平面向量数量积的应用 ‎1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题 ‎2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系 ‎3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题 ‎2015天津,14‎ 向量方法解决平面几何问题 基本不等式 ‎★★★‎ 分析解读　　在天津高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积;遇到模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决,主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的数量积 ‎1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则CM·CN的取值范围是(　　)‎ A.‎-‎3‎‎4‎,0‎　　　　B.[-1,1)　　　　C.‎-‎1‎‎2‎,1‎　　　　D.[-1,0)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE·CB的值为　　　　;DE·DC的最大值为　　　　. ‎ 答案　1;1‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎3.已知向量|AB|=2,|CD|=1,且|AB-2CD|=2‎3‎,则向量AB和CD的夹角为(　　)‎ A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°‎ 答案　C　‎ ‎4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(‎3‎,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是(　　)‎ A.4,0　　　　B.4‎2‎,4　　　　C.4‎2‎,0　　　　D.16,0‎ 答案　A　‎ ‎5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,2‎3‎),若a⊥(2a+b),则a,b的夹角为　　　　. ‎ 答案　‎‎2π‎3‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　求平面向量的模的方法 ‎1.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=-‎1‎‎2‎,若|BC|=1,则|AC|的最大值为(　　)‎ A.‎2‎-1　　　　B.‎3‎-1　　　　C.‎2‎+1　　　　D.‎3‎+1‎ 答案　D　‎ ‎2.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且AB·CD=5,则|BD|等于(　　)‎ A.6　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.1‎ 答案　C　‎ ‎3.已知向量a与向量b的夹角为‎2π‎3‎,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),则xc的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎　　　　B.‎3‎　　　　C.‎1‎‎3‎　　　　D.3‎ 答案　A　‎ 方法2　求平面向量的夹角的方法 ‎4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则向量a,b的夹角为(　　)‎ A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°‎ 答案　C　‎ ‎5.若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为(　　)‎ A.30°　　　　B.60°　　　　C.90°　　　　D.120°‎ 答案　D　‎ ‎6.已知|a|=‎10‎,a·b=-‎5‎‎30‎‎2‎,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为(　　)‎ A.‎2π‎3‎　　　　B.‎3π‎4‎　　　　C.‎5π‎6‎　　　　D.‎π‎3‎ 答案　C　‎ 方法3　用向量法解决平面几何问题的方法 ‎7.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为(　　)‎ A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9‎ 答案　B　‎ ‎8.已知向量OA,OB的夹角为60°,|OA|=|OB|=2,若OC=2OA+OB,则△ABC为(　　)‎ A.等腰三角形　　　　B.等边三角形　　　　C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形 答案　C　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·天津卷题组 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为(　　)‎ A.-‎5‎‎8‎　　　　B.‎1‎‎8‎　　　　C.‎1‎‎4‎　　　　D.‎‎11‎‎8‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若AE·AF=1,CE·CF=-‎2‎‎3‎,则λ+μ=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.‎2‎‎3‎　　　　C.‎5‎‎6‎　　　　D.‎‎7‎‎12‎ 答案　C　‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎　(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=‎1‎‎9λDC,则AE·AF的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎29‎‎18‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)‎ A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.0‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=‎10‎,|a-b|=‎6‎,则a·b=(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.5‎ 答案　A　‎ ‎3.(2017课标Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　. ‎ 答案　2‎‎3‎ ‎4.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎5.(2015湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=　　　　. ‎ 答案　9‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π‎3‎,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)‎ A.‎3‎-1　　　　B.‎3‎+1　　　　C.2　　　　D.2-‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是(　　)‎ A.-2　　　　B.-‎3‎‎2‎　　　　C.-‎4‎‎3‎　　　　D.-1‎ 答案　B　‎ ‎3.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA=‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎,BC=‎3‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎,则∠ABC=(　　)‎ A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.120°‎ 答案　A　‎ ‎4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=‎1‎‎3‎.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)‎ A.4　　　　B.-4　　　　　　　　C.‎9‎‎4‎　　　　D.-‎‎9‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎5.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=‎1‎‎3‎,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎‎3‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=(　　)‎ A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎　　　　B.-‎5‎‎3‎　　　　C.‎5‎‎3‎　　　　D.‎‎3‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,‎3‎),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是(　　)‎ A.[4,6]　　　　B.[‎19‎-1,‎19‎+1]　　　　C.[2‎3‎,2‎7‎]　　　　D.[‎7‎-1,‎7‎+1]‎ 答案　D　‎ ‎4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎5.(2015安徽文,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是　　　　.(写出所有正确结论的编号) ‎ ‎①a为单位向量;　　②b为单位向量;　　③a⊥b;‎ ‎④b∥BC;　　　　⑤(4a+b)⊥BC.‎ 答案　①④⑤‎ ‎6.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是　　　　. ‎ 答案　22‎ ‎7.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=‎10‎,则a·b=　　　　. ‎ 答案　10‎ ‎8.(2013课标Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎9.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=　　　　. ‎ 答案　2‎ 解析　解法一:AE·BD=AD‎+‎‎1‎‎2‎AB·(AD-AB)=AD‎2‎-‎1‎‎2‎AB‎2‎=22-‎1‎‎2‎×22=2.‎ 解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则AE=(1,2),BD=(-2,2),则AE·BD=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2018天津芦台一中模拟,7)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2,CD=1,P为线段BC上的一点,设BP=‎2‎‎3‎BC,若PA·PD=‎8‎‎9‎,则|AD|=(　　)‎ A.2　　　　B.‎3‎　　　　C.‎2‎　　　　D.1‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018天津南开二模,8)设△ABC是边长为1的正三角形,M是△ABC所在平面上的一点,且MA+2λMB+MC=CA,则当MA·MC取得最小值时,λ的值为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　　B.‎1‎‎2‎　　　　C.2　　　　D.3‎ 答案　A　‎ ‎3.(2019届天津新华中学期中,5)若非零向量a,b满足|a|=‎2‎‎2‎‎3‎|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(　　)‎ A.π‎4‎　　　　B.π‎2‎　　　　C.‎3‎‎4‎π　　　　D.π 答案　A　‎ ‎4.(2017天津南开一模,7)在△ABC中,AB=AC=1,AM=MB,BN=NC,CM·AN=-‎1‎‎4‎,则∠ABC=(　　)‎ A.‎5π‎12‎　　　　B.π‎3‎　　　　C.π‎4‎　　　　D.‎π‎6‎ 答案　C　‎ ‎5.(2017天津五校联考一模,7)在△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中点,M是AO上的一点,且AO=3MO,则MB·MC的值是(　　)‎ A.-‎5‎‎3‎　　　　B.-‎7‎‎6‎　　　　C.-‎7‎‎3‎　　　　D.-‎‎5‎‎6‎ 答案　A　‎ ‎6.(2019届天津南开中学第二次月考,7)在△ABC中,AB·AC=4,|BC|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则AM·AN的值是(　　)‎ A.5　　　　B.‎21‎‎4‎　　　　C.6　　　　D.8‎ 答案　C　‎ ‎7.(2017天津和平一模,7)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=π‎3‎,AB=2,AD=1.若M、N分别是边AD、CD上的点,且满足MDAD=NCDC=λ,其中λ∈[0,1],则AN·BM的取值范围是(　　)‎ A.[-3,1]　　　　B.[-3,-1]　　　　C.[-1,1]　　　　D.[1,3]‎ 答案　B　‎ ‎8.(2018天津部分区县一模,7)已知点G是△ABC内的一点,且满足GA+GB+GC=0,若∠BAC=π‎3‎,AB·AC=1,则|AG|的最小值是(　　)‎ A.‎3‎‎3‎　　　　B.‎3‎‎2‎　　　　C.‎6‎‎3‎　　　　D.‎‎6‎‎2‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共45分)‎ ‎9.(2018天津南开中学第三次月考,12)已知向量a与b的夹角为60°,若a=(0,2),|b|=1,则|a+2b|=　　　　. ‎ 答案　2‎‎3‎ ‎10.(2017天津南开三模,11)已知向量a,b满足|a|=‎3‎,|b|=2,(a+b)⊥a,则向量a,b的夹角为　　　　. ‎ 答案　‎‎5π‎6‎ ‎11.(2017天津河西三模,12)已知等边△ABC的边长为2‎3‎,平面内一点M满足CM=‎1‎‎6‎CB+‎2‎‎3‎CA,则MA·MB=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎12.(2017天津八校联考,13)如图,在矩形ABCD中,AB=‎2‎,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=‎2‎,则AE·BF的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎ ‎13.(2018天津红桥二模,12)如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=‎3‎BD,|AD|=1,则AC·AD=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎14.(2019届天津耀华中学第二次月考,13)已知向量AB、AC、AD满足AC=AB+AD,|AB|=2,|AD|=1,E、F分别是线段BC、CD的中点,若DE·BF=-‎5‎‎4‎,则向量AB与AD的夹角为　　　　. ‎ 答案　‎π‎3‎ ‎15.(2018天津南开一模,13)在四边形ABCD中,AB=AC=AD=‎2‎,AB⊥AD,则CB·CD的最小值为　　　　. ‎ 答案　2-2‎‎2‎ ‎16.(2018天津十二区县一模,13)在等腰梯形中,AB∥CD,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,若BC=3CE,AF=λAB(λ∈R),且AE·DF=-1,则λ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ ‎17.(2018天津北辰模拟,14)在梯形ABCD中,BC∥AD,∠BAD=60°,∠CDA=30°,AB=2,AD=6,CD=2‎3‎,在边BC,DC上分别有动点E,F,使‎|BE|‎‎|BC|‎=λ,‎|DF|‎‎|DC|‎=μ,λ+μ=1,则AE·AF的最小值为　　　　. ‎ 答案　6‎