数形结合在中考压轴题中的应用

数形结合在中考压轴题中的应用

数形结合在中考压轴题中的应用 ‎ ‎1.如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．‎ ‎（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；‎ ‎（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．‎ ‎[解] （1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，． ‎ 设抛物线的解析式是 ‎，‎ 则 解得 所以所求抛物线的解析式是． ‎ ‎（2）由（1）可计算得点． ‎ 过点作，垂足为．‎ 当运动到时刻时，，． ‎ 根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．‎ 所以．‎ 所以，四边形的面积． ‎ 因为运动至点与点重合为止，据题意可知．‎ 所以，所求关系式是，的取值范围是． ‎ ‎（3），（）．‎ 所以时，有最大值． ‎ 提示：也可用顶点坐标公式来求．‎ ‎（4）在运动过程中四边形能形成矩形． ‎ 由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形．‎ 所以．所以． ‎ 所以．解之得（舍）．‎ 所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时． ‎ ‎[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。此题代表了几何代数相结合的这一类题型，他要求学生的基本功扎实，熟练掌握常规的求函数解析式的方法和二次函数求最值的方法。再次需要特别提出的是，绝大多数学生在求二次函数最值的时候用的是配方法或者对称轴坐标代入法，当然这本身是没有错的，只是在用这些方法求二次函数最值的时候要注意，这个二次函数的对称轴在自变量x的取值范围之内吗？如果不在，那又该怎么做？当然这个题中二次函数的对称轴是在自变量x的取值范围之内的，但是希望不要因此而产生错觉，觉得每个题都是如此。另外本题的第四问就是一个典型的由几何图形关系转变成代数关系的问题（由四边形为矩形得出对角线段相等）。那么相似的，当某三个点连接而成的图形成等腰或等边或直角三角形时，能转变成怎样的线段关系？当某四个点连接而成的图形是正方形是时，有怎样的线段关系？这些都是我们平时要思考的问题。‎ ‎2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，点的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，于点．若，且．‎ ‎（1）确定的值：；‎ ‎（2）写出点的坐标（其中用含的式子表示）：‎ ‎；‎ ‎（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．‎ ‎[解] （1）　　‎ ‎　　　　　　‎ ‎　 （2）　　‎ ‎　　　　　　‎ ‎　　　　　　‎ ‎　　（3）存在的值，有以下三种情况 ‎　　　　①当时 ‎　　　　　，则 ‎　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　②当时 ‎　　　　　得 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　③当时，如图 ‎　　　　　解法一：过作，又 ‎　　　　　　　　　则 ‎　　　　　　　　　又 ‎　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　解法二：作斜边中线 ‎　　　　　　　　　　则，‎ ‎　　　　　　　　　　此时 ‎　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　解法三：在中有 ‎　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　（舍去）‎ ‎　　　　　　　　　　又 ‎　　　　　　　　　　当或或时，为等腰三角形．‎ 解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。‎ 代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析 ‎ Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。‎ ‎[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去。在压轴题中，结果往往不是唯一的，这就要求我们考虑问题要全面，面面俱到。存在p点使三角形为某某三角形或者说在某个图形上存在某个点使得某两个三角形相似这都是我们经常遇见的问题，考验的是学生缜密的逻辑思维能力。‎ ‎3.如图1，已知直线与抛物线交于两点．‎ ‎（1）求两点的坐标；‎ ‎（2）求线段的垂直平分线的解析式；‎ ‎（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．‎ P A 图2‎ 图1‎ ‎[解] （1）解：依题意得解之得 ‎ ‎ ‎（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）‎ 图1‎ D M A C B 第26题 Ｅ ‎ 由（1）可知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 过作轴，为垂足 ‎ 由，得：，‎ ‎ 同理： ‎ ‎ 设的解析式为 ‎ ‎ ‎ 的垂直平分线的解析式为：．‎ ‎（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 抛物线与直线只有一个交点，‎ ‎ ，‎ P A 图2‎ H G B ‎ 在直线中，‎ ‎ 设到的距离为，‎ ‎ ‎ 到的距离等于到的距离．‎ 另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h 与PC 夹角固定），则S△PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x, ）,C（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。‎ ‎ 最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。‎ ‎[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。存在某点，使得某个图形的面积最大，这是我们遇见过不少次数的题型。这类题型一般有两种解法，通过作图的几何方法得到最大的高（底相同时），或者把这个图形的面积表示成关于某个自变量的二次函数，通过求二次函数的最值来求图形面积的最值。本题介绍的是两种几何方法，具体题目中要根据计算的繁简程度灵活确定解题方法。（此题中出现求已知线段的垂直评分线解析式，在其他的题目中，可能不是求垂直平分线，而是求已知线段的一条垂线解析式，只不过垂足不是中点而已。这一类的直线方程该怎么求，是常考的考点，自己要熟练掌握。‎ ‎4.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．‎ ‎（1）求正方形的边长． ‎ ‎（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度． ‎ ‎（3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． ‎ ‎（4）若点保持（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使的点有　　　　　个． ‎ ‎（抛物线的顶点坐标是．‎ 图①‎ 图②‎ ‎[解] （1）作轴于．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．‎ 又．‎ 两点的运动速度均为每秒1个单位．‎ ‎（3）方法一：作轴于，则．‎ ‎，即．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎． ‎ 即．‎ ‎，且，‎ 当时，有最大值．‎ 此时，‎ 点的坐标为． （8分）‎ 方法二：当时，．‎ 设所求函数关系式为．‎ 抛物线过点，‎ ‎． ‎ ‎，且，‎ 当时，有最大值．‎ 此时，‎ 点的坐标为． ‎ ‎（4）． ‎ ‎．‎ ‎5. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．‎ ‎（1）求的度数．‎ ‎（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．‎ ‎（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．‎ ‎（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由．‎ ‎（第29题图①）‎ A C B Q D O P x y ‎30‎ ‎10‎ O ‎5‎ t S ‎（第29题图②）‎ 解: （1）．‎ ‎（2）点的运动速度为2个单位/秒．‎ ‎（3）（）‎ ‎．‎ 当时，有最大值为，‎ 此时．‎ ‎（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．‎ ‎①当点与点重合时，，‎ 当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，‎ 作交轴于点，作轴于点，‎ 第29题图①‎ 由得：，‎ 所以，从而．‎ 所以当点在边上运动时，的点有1个．‎ ‎②同理当点在边上运动时，可算得．‎ 而构成直角时交轴于，，‎ 所以，从而的点也有1个．‎ 所以当点沿这两边运动时，的点有2个．‎ 点评：稍微留心点的同学不难发现，虽然第四题和第五题图像数据都不相同，但是可以说他们基本上就是同一个题。动点问题一直是学生们觉得比较难理解的问题，其实在动点问题中，某些函数关系却是“静止不变”的，另外，由函数关系画函数图像，或是由函数图像求函数关系式，都是初三数学里面应该牢牢掌握的基本功。在这里再重新说一遍动点问题的一般解题步骤：设出合适的未知数x（或者是题目已经给出的自变量x）、用含自变量x的整式表示相关量、根据题目直接给出或间接给出（即对题目条件进行转化得到的）的条件建立方程，解出x的值，并保留符合题意及实际情况的值。另外，对题目已知条件进行转化往往是解题的关键，一些转化方法，比如两直线平行时，四边形为特殊四边形时该怎么处理。下面的几个题中将会涉及到，希望自己用心体会，总结为自己的方法。‎