【数学】2019届一轮复习北师大版三角恒等变换与三角函数学案

【数学】2019届一轮复习北师大版三角恒等变换与三角函数学案

‎ 三角恒等变换与三角函数 知识精讲·‎ ‎·‎ 一、三角函数的概念 ‎1. 任意角的三角函数的定义 一全正、二正弦、三正切、四余弦 ‎ ‎2. 同角三角函数的关系式 ‎（1）平方关系：‎ ‎（2） 商数关系：‎ ‎3. 诱导公式 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 ‎ 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ‎ 二、三角函数的图像和性质 函数 性质 定义域 图象 ‎ 值域 对称性 对称轴：；‎ 对称中心： ‎ 对称轴：；‎ 对称中心：‎ ‎，‎ 对称中心：‎ ‎，‎ 周期 单调性 单调增区间：‎ 单调减区间：‎ 单调增区间：‎ 单调减区间：‎ 单调增区间：‎ ‎ ‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 三、三角函数的图形变换 ‎1．图像的变换 ‎2．根据函数图像求解析式 ‎： ‎ ‎：据最高点和最低点求；‎ ‎: 由周期，通过求；‎ ‎: 带入图像中的一个点求.‎ 四、三角恒等变换 ‎1.两角和差公式:‎ ‎ ‎ ‎2.二倍角公式：‎ ‎3.降幂公式：‎ 五、三角函数式的化简和求解 ‎1、辅助角公式：‎ ‎，‎ ‎2、三角函数的求解 设函数 ‎（1）求单调性（方法：脱衣服）‎ 单调递增区间的求法，设，解得的范围即为的单调递增区间；‎ 单调递减区间的求法，设，解得的范围即为的单调递减区间．‎ ‎（2）求值域（方法：穿衣服）‎ 已知的取值范围，求得的范围，根据三角函数图像求出的范围，进而求得的范围，即为的值域.‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 三角函数图像性质 三角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性 理解 解答题中求最值和单调性 理解 三角函数的图形变换 三角函数的图像的平移和变换 掌握 根据三角函数图像求解析式 掌握 三角恒等变换 三角恒等变换公式 掌握 辅助角公式 掌握 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：根据图象求解析式 例1.1.1 函数 的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为（　　）‎ A． y=sin2x B． ‎ C． ‎ D． y=cos2x ‎【答案】C ‎【解析】 由函数的图象可得A=1，T=•=-，‎ ‎∴ω=2．‎ 再根据五点法作图可得 2×+φ=，‎ ‎∴φ=，‎ ‎∴函数f（x）=sin（2x+）．‎ ‎∴将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为y=sin[2（x-）+ =sin（2x-）．‎ 例1.1.2 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）‎ A． 向左平移个长度单位 B． 向右平移个长度单位 C． 向左平移个长度单位 D． 向右平移个长度单位 ‎【答案】B ‎【解析】 A．将函数向左平移个单位得，‎ B．将函数向右平移个单位得，‎ C．将函数向左平移个单位得，‎ D．将函数向右平移个单位得．‎ 综上，选B．‎ 题模二：三角函数的定义域和值域（或最值）‎ 例1.2.1 已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求的值和f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在[0，π 上的取值范围．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）T=π（Ⅱ）[﹣1，3 ‎ ‎【解析】 （Ⅰ）∵f（x）==sinx+cosx+1‎ ‎=2sin（x+）+1，‎ ‎∴=2，‎ f（x）的最小正周期是T=π．‎ ‎（Ⅱ）当x∈[0，π 时，‎ ‎2x+∈[，2π+ ，‎ ‎∴2sin（2x+）∈[﹣2，2 ，‎ ‎∴f（x）∈[﹣1，3 ．‎ 例1.2.2 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-， 上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）ω=2，T==π，φ=（Ⅱ）最小值为-，最大值为1‎ ‎【解析】 （Ⅰ）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，‎ 可得，求得ω=2，∴最小正周期T==π．‎ 再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．‎ ‎（Ⅱ）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[-， 上，‎ ‎2x+Î[-， ，sin（2x+）Î[-，1 ，‎ 当2x+=-时，即x=-，函数f（x）取得最小值为-．‎ 当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．‎ 题模三：三角函数的单调性 例1.3.1 已知函数 ‎ 如果点 是角α终边上一点，求的值；‎ 设，求的单调增区间．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）f（α）=‎ ‎（Ⅱ）g（x）的单调增区间为[2 π-，2 π+ ， Î ‎ ‎【解析】 （Ⅰ）由已知：sinα=，cosα=‎ 则f（α）=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=sinα+cosα=×+×= ‎ ‎（Ⅱ）g（x）=f（x）+sinx=（sinx+cosx）+sinx=sinx+cosx=sin（x+）‎ 由-+2 π≤x+≤2 π+， Î ，‎ 得：2 π-≤x≤2 π+， Î ‎ 则g（x）的单调增区间为[2 π-，2 π+ ， Î ‎ 例1.3.2 已知函数．‎ ‎（1）求的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递增区间．‎ ‎【答案】 见解析．‎ ‎【解析】 （1）由得．故的定义域为．‎ 因为 所以的最小正周期．‎ ‎（2）函数的单调递增区间为．‎ 由，．得，．所以的单调递增区间为和．‎ 题模四：三角恒等变换公式 例1.4.1 已知向量与互相垂直，其中．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎【答案】 （1），（2）‎ ‎【解析】 （1）与互相垂直，‎ ‎∴，即，‎ 代入得，，‎ 又，‎ ‎，．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 由，结合同角三角函数关系得，‎ ‎．‎ 例1.4.2 已知向量，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】 （Ⅰ）因为，‎ 所以，即，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 即化简得．‎ 故有．‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以或，‎ 所以或．‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 函数，（其中）的图象．如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）‎ A． 向右平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度 C． 向左平移个单位长度 D． 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】 如图可以看出，则，‎ 即向右平移个单位，选A．‎ 随练1.2 已知函数f（x）=2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．‎ ‎（Ⅰ）求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）2（Ⅱ）最大值为3，最小值为0‎ ‎【解析】 （Ⅰ）因为函数f（x）=2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx），‎ 所以，‎ 又f（x）的最小正周期为，所以=，即=2． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 因为，所以．‎ 由正弦函数的性质可知，当，即时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（）=3；‎ 当 时，即时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（）=0．‎ 随练1.3 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间．‎ ‎【答案】 见解析 ‎【解析】 （I）因为，所以．所以函数的定义域为．‎ ‎（II）因为，‎ 又的单调递增区间为，．令，解得．又注意到，所以的单调递增区间为，．‎ 随练1.4 已知中，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎20070316‎ ‎（Ⅱ）设向量，，求当取最小值时，值．‎ ‎【答案】 见解析．‎ ‎【解析】 （Ⅰ）因为，所以 ‎．因为，所以．‎ 所以．因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以 ‎．所以当时，取得最 小值．此时（），于是．所以．‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）‎ A． 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B． 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C． 先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D． 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 ‎【答案】C 作业2 函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间[-，- 上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】 （1）T=π，y0=3，x0=；（2）最大值0，最小值-3；‎ ‎【解析】 ‎ ‎（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），‎ ‎∴f（x）的最小正周期T==π，‎ 可知y0为函数的最大值3，x0=；‎ ‎（Ⅱ）∵x∈[-，- ，‎ ‎∴2x+∈[-，0 ，‎ ‎∴当2x+=0，即x=-时，f（x）取最大值0，‎ 当2x+=-，即x=-时，f（x）取最小值-3‎ 作业3 已知函数f（x）=．‎ ‎（1）求f（x）的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）的单调递增区间．‎ ‎【答案】 （1）定义域为{x|x≠ π， ∈ }，最小正周期为π（2）[ π-， π)， ∈ ，( π， π+ ， ∈ ‎ ‎【解析】 f(x)===2(sinx-cosx)cosx ‎=sin2x-1-cos2x=sin（2x-）-1 ∈ ，{x|x≠ π， ∈ }‎ ‎（1）原函数的定义域为{x|x≠ π， ∈ }，最小正周期为π．‎ ‎（2）由2 π-≤2x-≤2 π+， ∈ ，‎ 解得 π-≤x≤ π+， ∈ ，又{x|x≠ π， ∈ }，‎ 原函数的单调递增区间为[ π-， π)， ∈ ，( π， π+ ， ∈ ‎ 作业4 已知：向量，，，‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）若a与垂直，求的值；‎ ‎（3）求的最大值．‎ ‎【答案】 （1）见解析（2）2（3）‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵与垂直，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎