2020年碑林区铁一中学中考数学模拟试卷(三)(含解析)

2020年碑林区铁一中学中考数学模拟试卷(三)(含解析)

2020 年碑林区铁一中学中考数学模拟试卷(三) 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 1 的倒数是 A. 3 B. 1 C. D. 1 2. 下列四个图中，是三棱柱的平面展开图的是 A. B. C. D. . 如图， itta. ， i ， 1 ᦙ 䁡⸸ ，则 的度数等于 A. ⸸B. ⸸C. 䁡⸸D. ⸸ . 如图，一次函数 ᦙ  的图象与两坐标轴分别交于 A、B 两点， 点 C 是线段 AB 上一动点 不与点 A、B 重合 ，过点 C 分别作 CD、CE 垂直于 x 轴、y 轴于点 D、E，当点 C 从点 A 出发向点 B 运动时，长 方形 CDOE 的周长 A. 逐渐变大 B. 不变 C. 逐渐变小 D. 先变小后变大 䁡. 下列运算正确的是 A. 2  ᦙ 䁡 B. 2 ᦙ 䁡 C.  2 ᦙ 2  D. 2 2 ᦙ 2 . 如图，在 ia 中， i ᦙ ⸸ ，AB 的垂直平分线交 BC 于 E，交 AB 于 D，连接 AE，若 AE 平分 ia ， i ᦙ ，则 CE 的长为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 如图，在平面直角坐标系中直线 ᦙ 1 2  1⸸ 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，C 是 OB 的中 点，D 是线段 AB 上一点，若 a. ᦙ ൌa ，则点 D 的坐标为 A. B. C. ǡ D. 7 ǡ. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， i. ᦙ 2. ， E、F、G分别是 OC、OD、AB的中点，下列结论： i a ； ᦙ ； ≌ i ； 平分 ； 四边形 BEFG 是菱形．其中 正确的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 . 如图，AB 是 ൌ 的直径，CD 是弦，连接 BD，OC，若 ൌa ᦙ 12⸸ ， .的度数是 A. ⸸B. 䁡C. ⸸D. 2⸸ 1⸸. 已知二次函数 ᦙ 2  香  ⸸ 的部分图象如图所示，那么关 于 x 的一元二次方程 2  香  ᦙ ⸸ 的两个解为 A. 1 ，3 B. 2 ，3 C. 1，3 D. 3，4 二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 11. 比较大小： . 填“ ”，“ ᦙ ”，或“ ” 12. 如图的七边形 ABCDEFG 中，AB、ED 的延长线相交于 O 点．若 图中 1 、 2 、 、 的外角的角度和为 22⸸ ，则 iൌ. 的度数 为______度 1. 如图，反比例函数 ᦙ 䁡 ⸸ 的图象与矩形 OABC 的边 BC 交于 点 D，过点 A，D 作 .tt ，交直线 ᦙ ⸸ 于点 E， . 若 ൌ ᦙ ൌ ， i. ᦙ 2a. ，则四边形 ADEF 的面积为______． 1. 在四边形 ABCD 中， itta. ， ia a. ， i ᦙ 2 ， a. ᦙ ，在 BC 上取点 与 B、C 不重 合 ，连接 PA 延长至 E，使 ᦙ 2 ，连接 PD 并延长至 F，使 . ᦙ . ，以 PE、PF 为边 作平行四边形，另一个顶点为 G，则 PG 长度的最小值为________． 三、计算题（本大题共 2 小题，共 10.0 分） 1䁡. 计算： ⸸ 1 1 2⸸1⸸  쳌2 ǡ쳌 2 21 ⸸ 1 ⸸ ． 1. 解分式方程： ⸸ ᦙ ； 2 1  2 ᦙ 2 1 ． 四、解答题（本大题共 9 小题，共 68.0 分） 17. 如图，在 ia 中， a ᦙ ⸸ ． 1 根据要求用尺规作图：过点 C 作斜边 AB 边上的高 CD，垂足 为 . 不写作法，只保留作图痕迹 ； 2 在 1 的条件下，请写出图中所有与 ia 相似的三角形． 18. 如图，以 ia 的三边 AB、BC、CA 分别为边，在 BC 的同侧作等边 三角形 ABD，BCE，CAF，求证：四边形 ADEF 是平行四边形． 19. 某中学对本校学生为抗震救灾自愿捐款活动进行了抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数 据．如图是根据这组数据绘制的统计图，根据图表回答下列各问： Ⅰ 求学校一共抽样调查的人数； Ⅱ 求这组数据的众数、中位数； Ⅲ 若该校共有 1170 名学生，估计全校学生捐款多少元？ 20. 如图，操场上有一根旗杆 AH，为测量它的高度，在 B 和 D 处各立一根高 1.䁡 米的标杆 BC、DE， 两杆相距 30 米，测得视线 AC 与地面的交点为 F，视线 AE 与地面的交点为 G，并且 H、B、F、 D、G 都在同一直线上，测得 BF 为 3 米，DG 为 5 米，求旗杆 AH 的高度？ 21. 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 原进价 元 t 张 零售价 元 t 张 成套售价 元 t 套 餐桌 a 270 500 元 餐椅 11⸸ 70 已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同． 1 求表中 a 的值； 2 若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张．该商场计划将一半的餐桌成套 一张餐桌和四张餐椅配成一套 销售，其余餐桌、餐椅以零 售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 小明和小芳做配紫色游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个 扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，如果转盘 A 转出了红色，转盘 B 转出了蓝 色，或者转盘 A 转出了蓝色，转盘 B 转出了红色，则红色和蓝色 在一起配成紫色，利用列表或树状图，求配成紫色的概率． 23. 如图，AB 是 ൌ 的切线，切点为 B，AO 交 ൌ 于点 C，点 D 在 AB 上，且 .i ᦙ .a ． 1 求证：DC 为 ൌ 的切线； 2 若 . ᦙ 2i. ， a. ᦙ 2 ，求 ൌ 的半径． 24. 如图，顶点为 1 2 的抛物线 ᦙ 2  香  ⸸ 与 y 轴交于点 a⸸2 ，与 x 轴交于 A、B 两点． 1 求抛物线解析式及 A、B 两点坐标； 2 在抛物线对称轴上有一点 P，使 P 到 A、C 两点的距离和最短，求点 P 坐标； 若点 Q 为 x 轴上任意一点，在抛物线上是否存在点 R，使以 A、C、Q、R 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，直接写出 R 点坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图， ൌ 的直径 i ᦙ 2 ，P 是 AB 上 不与点 A，B 重合 的任一点，点 C，D 为 ൌ 上的两 点．若 . ᦙ ia ，则称 .a 为直径 AB 的“回旋角”． 1 若 ia ᦙ .a ᦙ ⸸ ，则 .a 是直径 AB 的“回旋角”吗？并说明理由； 2 猜想回旋角” .a 的度数与弧 CD 的度数的关系，给出证明 提示：延长 CP 交 ൌ 于点 ； 若直径 AB 的“回旋角”为 12⸸ ，且 a. 的周长为 2  1 ，直接写出 AP 的长． 【答案与解析】 1.答案：A 解析：解： 1 的倒数是 3， 故选：A． 根据倒数的意义，乘积是 1 的两个数互为倒数，0 没有倒数，求一个数的倒数，把这个数的分子和 分母掉换位置即可． 此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法及应用，明确：1 的倒数是 1，0 没有倒数． 2.答案：A 解析： 分析 根据三棱柱展开图的特点，可得答案． 本题考查了几何体的展开图，熟悉三棱柱的展开图是解题关键． 详解 解： . 是三棱柱的展开图，故 A 符合题意； B.是三棱锥的展开图，故 B 不符合题意； C.每个底面有两个三角形，故 C 不符合题意； D.是四棱锥的展开图，故 D 不符合题意； 故选 A． 3.答案：B 解析： 解： 1 ᦙ 䁡⸸ ， 2 ᦙ 䁡⸸ ， itta. ， ᦙ 䁡⸸ ， i ， ᦙ ⸸ ᦙ ⸸ 䁡⸸ ᦙ ⸸ ． 故选 B． 首先根据对顶角的性质得到 2 ᦙ 䁡⸸ ，再平行线的性质得到 的度数，然后利用直角三角形两 锐角互余求得 的度数即可． 本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质求得 的度数，难度不大． 4.答案：B 解析： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点 C 的坐标是解 题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点 C 的坐标为 ݉ ݉  ⸸ ݉ 2 ，根据长方形的周 长公式即可得出 a 长方形 a.ൌ ᦙ ǡ ，此题得解． 解：设点 C 的坐标为 ݉ ݉  ⸸ ݉ ， 则 a ᦙ ݉ ， a. ᦙ ݉  ， a 长方形 a.ൌ ᦙ 2a  a. ᦙ ǡ ． 故选：B． 5.答案：D 解析： 本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方 的运算法则及完全平方公式． 解： . 2 和 不是同类项，不能合并，故此选项错误； B. 2 ᦙ ，故此选项错误； a  2 ᦙ 2   ，故此选项错误； D. 2 2 ᦙ 2 ，此选项正确． 故选 D． 6.答案：D 解析： 本题考查的是含 30 度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线定义，三角形内角 和定理，先根据线段垂直平分线的性质得出 i ᦙ ᦙ ，故可得出 i ᦙ i ᦙ ⸸ ，再由角平 分线定义得出 i ᦙ a ᦙ ⸸ ，利用三角形内角和定理求出 a ᦙ ⸸ ，然后在 a 中根 据 ⸸ 角所对的直角边等于斜边的一半得出 ᦙ 2a ᦙ ，即可解答． 解： i 的垂直平分线交 BC 于 E， i ᦙ ， i ᦙ ᦙ ， i ᦙ i ᦙ ⸸ ， a ᦙ i  i ᦙ ⸸ 平分 ai ， a ᦙ i ᦙ ⸸ ， a ᦙ 1ǡ⸸ i ia ᦙ ⸸ ， 在 a 中， a ᦙ ⸸ ， a ᦙ ⸸ ， ᦙ ， a ᦙ 1 2 ᦙ 2.故选 D． 7.答案：C 解析： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求得 C 的坐标，根据勾股定理列出方程是解题的关键．由 解析式求得 B 的坐标，加入求得 C 的坐标， ൌa ᦙ 䁡 ，设 . 1 2 x  1⸸ ，根据勾股定理得出 2  1 2 x 䁡 2 ᦙ 2䁡 ，解得 ᦙ ，即可求得 D 的坐标． 解：由直线 y ᦙ 1 2 x  1⸸ 可知： i⸸1⸸ ， ൌi ᦙ 1⸸ ， a 是 OB 的中点， a⸸䁡 ， ൌa ᦙ 䁡 ， a. ᦙ ൌa ， a. ᦙ 䁡 ， . 是线段 AB 上一点， 设 . 1 2 x  1⸸ ， a. ᦙ 2  1 2 1⸸ 2 ᦙ 䁡 ， 2  1 2 x 䁡 2 ᦙ 2䁡 ， 解得 1 ᦙ ， 2 ᦙ ⸸ 舍去 .ǡ ， 故选 C． 8.答案：C 解析： 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识， 灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 由平行四边形的性质和 i. ᦙ 2. 可得 ൌi ᦙ ia ，由等腰三角形的性质可判断 正确，由直角三角 形的性质和三角形中位线定理可判断 正确，通过证四边形 BGFE 是平行四边形，可判断 正确， 由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断 正确，由 ia ⸸ 可判断 错误． 解： 四边形 ABCD 是平行四边形， iൌ ᦙ .ൌ ᦙ 1 2 i. ， . ᦙ ia ， i ᦙ a. ， itta. ， 又 i. ᦙ 2. ， ൌi ᦙ ia ᦙ ൌ. ᦙ . ，且点 E 是 OC 中点， i a ， 故 正确， 、F 分别是 OC、OD 的中点， tta. ， ᦙ 1 2 a. ， 点 G 是 i 斜边 AB 上的中点， ᦙ 1 2 i ᦙ ᦙ i ， ᦙ ᦙ ᦙ i ， 故 正确， i ᦙ ， itta.tt 四边形 BGFE 是平行四边形， ᦙ i ，且 i ᦙ ， ᦙ ， i≌ 故 正确 tta.tti ， ia ᦙ a. ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ， 平分 ， 故 正确， 若四边形 BEFG 是菱形， i ᦙ i ᦙ 1 2 i ， ia ᦙ ⸸ ， 与题意不符合， 故 错误， 故选：C． 9.答案：C 解析： 【试题解析】 此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半． 根据邻补角的性质求得 iൌa 的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得 i.a 的度 数， 解： ൌa ᦙ 12⸸ iൌa ᦙ 1ǡ⸸ ൌa ᦙ ⸸ i.a ᦙ 1 2 iൌa ᦙ ⸸ ． 故选：C． 10.答案：A 解析： 本题考查抛物线与 x 轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合 的思想解答。 根据二次函数的性质，从函数的图象可知函数的对称轴及与 x 轴一个交点坐标，即可求解。 解：由图象可知：二次函数 ᦙ 2  香  ⸸ 的对称轴是直线 ᦙ 1 ， 函数与 x 轴的一个交点为 ⸸ ，则：该函数与 x 轴的另一个交点时 1⸸ ， 故：方程的解应为： ᦙ 1 或 ᦙ ， 故选 A． 11.答案： 解析： 本题主要考查实数大小的比较，属于基础题． 将无理数进行平方比较大小，再利用两个负数比较大小绝对值大的反而小可求解． 解： 2 ᦙ 䁡 ， 2 ᦙ ǡ ， 䁡 ǡ ， ， ， 故答案为 ． 12.答案：40 解析： 本题考查的是多边形内角和定理与外角和定理有关知识，由外角和内角的关系可求得 1 、 2 、 、 的和，由五边形内角和可求得五边形 OAGFE 的内角和，则可求得 iൌ. ． 解： 1 、 2 、 、 的外角的角度和为 22⸸ ， 1  2    22⸸ ᦙ 1ǡ⸸ ， 1  2   ᦙ 䁡⸸⸸ ， 五边形 OAGFE 内角和 ᦙ 䁡 2 1ǡ⸸ ᦙ 䁡⸸ ， 1  2    iൌ. ᦙ 䁡⸸ ， iൌ. ᦙ 䁡⸸ 䁡⸸⸸ ᦙ ⸸ ， 故答案为 40． 13.答案： 䁡 2  䁡 解析：解：延长 DE 交 x 轴于 G，作 . ൌ 于 H， .tt ， ൌ ᦙ ൌ ， 在 ൌ 和 ൌ 中 ൌ ᦙ ൌ ൌ ᦙ ൌ ൌ ᦙ ൌ ൌ≌ ൌ ， 四边形 . ᦙ 四边形 .ൌ  ൌ ᦙ . ， 设 . 䁡 ， a. ᦙ ， . ᦙ 䁡 ， i. ᦙ 2 ， ia ᦙ ൌ ᦙ ൌ ᦙ 2  1 ， 四边形 . ᦙ . ᦙ 1 2 . ᦙ 1 2 2 2  1 䁡 ᦙ 䁡 2  䁡 ． 故答案为 䁡 2  䁡 ． 延长 DE 交 x 轴于 G，作 . ൌ 于 H，证得 ൌ≌ ൌ ，即可证得 四边形 . ᦙ 四边形 .ൌ  ൌ ᦙ . ，设 . 䁡 ，则 a. ᦙ ， . ᦙ 䁡 ， i. ᦙ 2 ，得到 ia ᦙ ൌ ᦙ ൌ ᦙ 2  1 ， 根据三角形面积公式求得即可． 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，三角形面积公式，证得 四边形 . ᦙ 四边形 .ൌ  ൌ ᦙ . 是解题的关键． 14.答案：7 解析： 本题相似三角形的判定和性质，垂线段最短，关键是作辅助线构造相似三角形，先分别过 E，F 作 BC 的垂线交直线 BC 与 M，N，由 itta. ， ia a. 得 i∽ 䁨 ， a.∽ 香 ，根据相 似三角形的性质求得 EM 和 FN 的长，再根据平行四边形的性质得 O 是 EF 的中点，再根据垂线段最 短求得 OP 的最小值即可解答． 解：如图；分别过 E，F 作 BC 的垂线交直线 BC 与 M，N，连接 EF 和 GP 交点为 O， itta. ， ia a. ， itta.tt䁨tt香 ， i∽ 䁨 ， a.∽ 香 ， ᦙ i 䁨 . ᦙ a. 香 ． i ᦙ 2 ， a. ᦙ ， ᦙ 2 ， . ᦙ . ， 䁨 ᦙ ， 香 ᦙ ． 四边形 EGFP 是平行四边形， ൌ ᦙ 1 2 ， 当 ൌ ia 时，OP 最小，此时 ൌ ᦙ 1 2 䁨  香 ᦙ 7 2 ， 长度的最小值为 7． 故答案为 7． 15.答案：解：原式 ᦙ 1 2 1 1  2 2 2 2 2 1 1 ᦙ 2  2 2 2 2 2  2 ᦙ 2 ． 解析：本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂等知识． 根据零指数幂、负整数指数幂，二次根式和特殊角的三角函数值的知识进行计算即可． 16.答案：解： 1 方程两边都乘以 得， ⸸ ᦙ ， ⸸ ᦙ 12 ， ᦙ ǡ ， 检验：当 ᦙ ǡ 时， ⸸ ， ᦙ ǡ 是原方程的解； 2 方程两边都乘以 1 得， 2  2 1 ᦙ 2 ， ᦙ ， ᦙ 1 ， 检验：当 ᦙ 1 时， 1 ᦙ ⸸ ， ᦙ 1 是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方 程求解．解分式方程一定注意要验根． 1 方程两边都乘以 ，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经 检验即可得到分式方程的解； 2 方程两边都乘以 1 ，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检 验即可得到分式方程的解． 17.答案： 1 解：如图所示：CD 即为所求； 2 证明： a.  ia. ᦙ ⸸ ， i  ia. ᦙ ⸸ ， a. ᦙ i ， 又 a. ᦙ ia ， a.∽ ia ， a.  a. ᦙ ⸸ ， ia.  a. ᦙ ⸸ ， a. ᦙ ia. ， 又 ai. ᦙ ia ， ai.∽ ia ． 解析： 1 利用过直线外一点作已知直线的作法得出即可； 2 利用直角三角形的性质，结合相似三角形的判定方法得出即可． 此题主要考查了相似三角形的判定以及基本作图，正确掌握过直线外一点作已知直线的垂线是解题 关键． 18.答案：证明： i. ， ia 都是等边三角形． . ᦙ i. ᦙ i ， ia ᦙ i ᦙ a .i ᦙ ia ᦙ ⸸ .i  i ᦙ ia  i ． .i ᦙ ia ． 在 .i 和 ia 中， i. ᦙ i .i ᦙ ia i ᦙ ia ， .i≌ ia ． . ᦙ a ． 又 a 是等边三角形， a ᦙ ． . ᦙ ． 同理可证： . ᦙ ， 四边形 ADEF 是平行四边形． 解析：由 i. ， ia 都是等边三角形，易证得 .i≌ ia ，则可得 . ᦙ a ，又由 a是等边三角形，即可得 . ᦙ ，同理可证得 . ᦙ ，即可判定四边形 ADEF 是平行四边形． 此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得 .i≌ ia≌ a 是关键． 19.答案：解： Ⅰ  12  1䁡  2  1䁡 ᦙ 7䁡 人 ； Ⅱ 众数是：25 元，中位数是：25 元； Ⅲ 平均捐款数是： 1 7䁡 1⸸  12 1䁡  1䁡 2⸸  2 2䁡  1䁡 ⸸ ᦙ 12⸸ 7䁡 ᦙ 21. 元 ， 则全校学生捐款 117⸸ 21. ᦙ 2䁡272 元 ． 解析： Ⅰ 求出捐款的各组的人数的和即可； Ⅱ 根据众数与中位数的定义即可求解； Ⅲ 首先求得样本中每个人的捐款数，乘以总人数 1170 即可求解． 本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条 形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 20.答案：解：由题意知，设 ᦙ ， i ᦙ ， ∽ ai ， ∽ . ， i ᦙ ai ， . ᦙ . ， ᦙ 1.䁡  ， 䁡 ᦙ 1.䁡  ⸸  䁡解得 ᦙ 2݉ ． 答：旗杆 AH 的高度为 24m． 解析：根据 ttaitt. ，可得 ∽ ai ， ∽ . ，可得 i ᦙ ai ， . ᦙ . ，即可求得 AH 的值，即可解题． 本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，本题中列出关于 AH、BH 的关系式是解题的 关键． 21.答案： 1 表中 a 的值为 150； 2 当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利 润是 7950 元． 解析： 分析 1 用 600 元购进的餐桌数量为 ⸸⸸ ，用 160 元购进的餐椅数量为 1⸸ 11⸸ ，根据用 600 元购进的餐桌数量 与用 160 元购进的餐椅数量相同列出分式方程求解即可； 2 设购进餐桌 x 张，则购进餐椅 䁡  2⸸ 张，由餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张，可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 x 的取值范围，设销售利润为 y 元，根据销售方式及总利润 ᦙ 单件 单套 利润 销售数量，即可得出 y 关于 x 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 详解 解： 1 根据题意得： ᦙ ， 解得： ᦙ 1䁡⸸ ， 经检验，a 是原分式方程的解． 答：表中 a 的值为 150． 2 设购进餐桌 x 张，则购进餐椅 䁡  2⸸ 张， 根据题意得：  䁡  2⸸ 2⸸⸸ ， 解得： ⸸ ． 设销售利润为 y 元， 根据题意得： ᦙ 䁡⸸⸸ 1䁡⸸ 1䁡⸸ 11⸸  27⸸ 1䁡⸸  7⸸ 1䁡⸸ 11⸸ 䁡  2⸸ ᦙ 2䁡  ⸸⸸ ． ᦙ 2䁡 ⸸ ， 当 ᦙ ⸸ 时，y 取最大值，最大值为 7950． 答：当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 7950 元． 点睛 本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： 1 找准 等量关系，正确列出分式方程； 2 列出总利润 y 关于餐桌数量 x 的一次函数关系式，利用一次函数 的性质解决最值问题． 22.答案：解：根据题意列表如下： 上面等可能出现的 6 种结果中，有 2 种情况可以得到紫色， 故配成紫色的概率是 2 ᦙ 1 ． 解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，概率公式．注意树状图法与列表法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的 事件；注意概率 ᦙ 所求情况数与总情况数之比． 根据题意先列表，得出所有可能出现的情况数和配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 23.答案： 1 证明：连接 OB、OD， i 是 ൌ 的切线，切点为 B， ൌi i ， 在 ൌi. 和 ൌa. 中， ൌi ᦙ ൌa ൌ. ᦙ ൌ. i. ᦙ a. ， ൌi.≌ ൌa. ， ൌa. ᦙ ൌi. ᦙ ⸸ ， .a 为 ൌ 的切线； 2 解： .i ᦙ .a ， . ᦙ 2i. ， a. ᦙ 2 ， .i ᦙ 2 ， . ᦙ ， i ᦙ .i  . ᦙ ， .i ᦙ .a ， . ᦙ 2i. ， . ᦙ 2.a ， .a ൌa ， .a a ， ᦙ ⸸ ， 在 ൌi 中， tan ᦙ ൌi i ， ൌi ᦙ ⸸ ᦙ ᦙ 2 ． 解析： 1 连接 OB、OD，证明 ൌi i ，再证 ൌi.≌ ൌa. ，证得 ൌi. ᦙ ൌa. ᦙ ⸸ ，即可证 得结论； 2 根据题意求得 . ᦙ 2.a ，即可证得 ᦙ ⸸ ，求得 i ᦙ ，然后解直角三角形 AOB 即可求得 半径 OB． 本题考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等，求得 ᦙ ⸸ 是解题 的关键． 24.答案：解： 1 设抛物线解析式为： ᦙ 2  ， 抛物线顶点为 1 2 ， 抛物线解析式为： ᦙ 1 2 2  ， 抛物线与 y 轴交于点 a⸸2 2 ᦙ ⸸ 1 2 2  ， ᦙ 1 ᦙ 1 2 2  ᦙ 2   2 ； 当 ᦙ ⸸ 时，即： 2   2 ᦙ ⸸ ， 解得： 1 ᦙ 1 ， 2 ᦙ 2 ， 1⸸ ，B 2⸸ ； 2 抛物线顶点为 1 2 对称轴是直线 ᦙ 1 2 ， 点 A、B 关于对称轴 ᦙ 1 2 对称， 连接 BC 交对称轴与点 P，就是到 A、C 两点的距离和最短的 P 点， 设直线 BC 解析式为 ᦙ  香 ， ⸸ ᦙ 2  香 2 ᦙ 香 ， 解得： ᦙ 1 香 ᦙ 2 ， ᦙ  2 ， 当 ᦙ 1 2 时， ᦙ 2 ， 点 P 坐标为 1 2 2 ； 如图 2，当 att晦 时， 1 的坐标为 22 ； 如图 3，若 att晦 ，则 R 的纵坐标为： 2 ， 2   2 ᦙ 2 ， 解得： ᦙ 1 17 2 ， 2 的坐标为 1 17 2 2 ； 的坐标为 1 17 2 2 ； 综上所述：R 点坐标为： 22 ， 1 17 2 2 ， 1 17 2 2 ． 解析：【试题解析】 1 由顶点为 1 2 的抛物线 ᦙ 2  香  ⸸ ，可设抛物线解析式为： ᦙ 1 2 2  ，然 后由点 a⸸2 ，求得抛物线的解析式；继而求得 A、B 两点坐标； 2 易得连接 BC 交对称轴与点 P，就是到 A、C 两点的距离和最短的 P 点，然后求得直线 BC 的解析 式，继而求得答案； 分别从当 att晦 与 att晦 ，去分析求解即可求得答案． 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、线段和最短问题以及平行四边形的性 质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键． 25.答案：解： 1 ia ᦙ .a ᦙ ⸸ ， . ᦙ 1ǡ⸸ ia .a ᦙ 1ǡ⸸ ⸸ ⸸ ᦙ ⸸ ， . ᦙ ia ， .a 是直径 AB 的回旋角． 2 “回旋角” a. 的度数 ᦙ a. 的度数，理由如下： 如图 2，延长 CP 交圆 O 于点 E，连接 OD，OC，OE， ai ᦙ ， . ᦙ ai ， ᦙ . ． 圆是轴对称图形， ᦙ . ． ൌ ᦙ ൌa ， ᦙ a ， . ᦙ a ． 由三角形内角和定理，可知： aൌ. ᦙ a. ， “回旋角” a. 的度数 ᦙ a. 的度数． 当点 P 在半径 OA 上时，在图 3 中，过点 F 作 a i ，交圆 O 于点 F，连接 PF， 则 ᦙ a ． 同 2 的方法可得：点 P，D，F 在同一条直线上． 直径 AB 的“回旋角”为 12⸸ ， . ᦙ ia ᦙ ⸸ ， a ᦙ ⸸ ， a 是等边三角形， a. ᦙ ⸸ ． 连接 OC，OD，过点 O 作 ൌ a. 于点 G，则 aൌ. ᦙ 12⸸ ， a. ᦙ 2. ， .ൌ ᦙ 1 2 aൌ. ᦙ ⸸ ， a. ᦙ 2 1 2 ᦙ 1 ． a. 的周长为 2  1 ， .  a  a. ᦙ 2  1 ， .  a ᦙ . ᦙ 2 ． 过点 O 作 ൌ . 于点 H，则 . ᦙ ᦙ 1 2 . ᦙ 12 ． 在 ൌ. 中， ൌ ᦙ ൌ. 2 . 2 ᦙ 1 2 12 2 ᦙ 䁡 ， 在 ൌ 中， ൌ ᦙ ⸸ ， ൌ ᦙ 2ൌ ᦙ 1⸸ ， ᦙ ൌ ൌ ᦙ 1 1⸸ ᦙ ； 当点 P 在半径 OB 上时， 同 的方法，可得： i ᦙ ， ᦙ i i ᦙ 2 ᦙ 2 ． 综上所述，AP 的长为：3 或 23． 解析：本题考查了圆的综合题、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质 以及解直角三角形，解题的关键是： 1 通过角的计算找出 . ᦙ ia ； 2 根据圆的性质、对顶 角相等以及三角形的内角和定理找出 aൌ. ᦙ a. ； 分点 P 在半径 OA 或点 P 在半径 OB 上两 种情况求出 AP 的值． 1 由 ia ᦙ .a ᦙ ⸸ 结合平角 ᦙ 1ǡ⸸ ，即可求出 . ᦙ ⸸ ᦙ ia ，进而可说明 .a 是直 径 AB 的回旋角； 2 延长 CP 交圆 O 于点 E，连接 OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出 ᦙ . ，由圆的对称性可得出 ᦙ . ，由等腰三角形的性质可得出 ᦙ a ，进而可得出 . ᦙ a ， 利用三角形内角和定理可得出 aൌ. ᦙ a. ，即“回旋角” a. 的度数 ᦙ a. 的度数； 当点 P 在半径 OA 上时，在图 3 中，过点 F 作 a i ，交圆 O 于点 F，连接 PF，则 ᦙ a ， 利用 2 的方法可得出点 P，D，F 在同一条直线上，由直径 AB 的“回旋角”为 12⸸ ，可得出 . ᦙ ia ᦙ ⸸ ，进而可得出 a ᦙ ⸸ ，即 a 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出 a. ᦙ ⸸. 连接 OC，OD，过点 O 作 ൌ a. 于点 G，则 aൌ. ᦙ 12⸸ ，根据等腰三角形的性质 可得出 a. ᦙ 2. ， .ൌ ᦙ 1 2 aൌ. ᦙ ⸸ ，结合圆的直径为 26 可得出 a. ᦙ 1 ，由 a. 的周 长为 2  1 ，可得出 . ᦙ 2 ，过点 O 作 ൌ . 于点 H，在 ൌ. 和在 ൌ. 中， 通过解直角三角形可得出 OH，OP 的值，再根据 ᦙ ൌ ൌ 可求出 AP 的值； 当点 P 在半径 OB 上时，用 的方法，可得： i ᦙ ，再根据 ᦙ i i 可求出 AP 的值．综上即可得出结论．