高考导数讲义一零点问题

高考导数讲义一零点问题

高考导数讲义一：零点问题 例1、设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ 解：（I）由，得．‎ 因为，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（II）当时，，‎ 所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在，，‎ ‎，使得．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ ‎（III）当时，，，‎ 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．‎ 当时，只有一个零点，记作．‎ 当时，，在区间上单调递增；‎ 当时，，在区间上单调递增．‎ 所以不可能有三个不同零点．‎ 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．‎ 故是有三个不同零点的必要条件．‎ 当，时，，只有两个不同 点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．‎ 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ 例2.设函数，．‎ ‎（I）求的单调区间和极值；‎ ‎（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．‎ ‎【答案】（I）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（II）证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；（II）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，（）得 ‎.‎ 由解得.‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 在处取得极小值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.‎ 因为存在零点，所以，从而.‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ 当时，在区间上单调递减，且，，‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数的单调性与极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．‎ 例3.设函数.‎ ‎（I）讨论的导函数的零点的个数；‎ ‎（II）证明：当时.‎ ‎【答案】（I）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II）由（I）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即 可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.‎ 试题解析：（I）的定义域为，.‎ 当时,，没有零点；‎ 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.‎ ‎（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，;‎ 当时，.‎ 故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.‎ 由于，所以.‎ 故当时，.‎ 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.‎ ‎【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.‎ 例4.设函数.‎ ‎（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；‎ ‎（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围.‎ 试题解析：(1)当时，，故其对称轴为.‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 综上，‎ ‎(2)设为方程的解，且，则.‎ 由于，因此.‎ 当时，，‎ 由于和，‎ 所以.‎ 当时，，‎ 由于和，所以.‎ 综上可知，的取值范围是.‎ ‎【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数b 的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.‎ 例5、已知函数fx=x-2‎ex+a‎(x-1)‎‎2‎.‎ ‎(I)讨论f(x)‎的单调性；‎ ‎(II)若f(x)‎有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）．‎ ‎（ i ）当时，则当时，；当时，‎ 故函数在单调递减，在单调递增．‎ ‎（ ii ）当时，由，解得：或 ‎①若，即，则，‎ 故在单调递增．‎ ‎②若，即，则当时，；当时，‎ 故函数在，单调递增；在单调递减．‎ ‎③若，即，则当时，；当时，；‎ 故函数在，单调递增；在单调递减．‎ ‎（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．‎ 又∵，取实数满足且，则 ‎∴有两个零点．‎ ‎（ii）若，则，故只有一个零点．‎ ‎（iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；‎ 当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，，故不存在两个零点．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ 例6.设为实数，函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）当时，讨论在区间内的零点个数．‎ ‎【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点；当时，有两个零点．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数．‎ 试题解析：（1），因为，所以，‎ 当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎（2）‎ 对于，其对称轴为，开口向上，‎ 所以在上单调递增；‎ 对于，其对称轴为，开口向上，‎ 所以在上单调递减.‎ 综上所述，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.‎ ‎(i)当时，，‎ 令，即（）.‎ 因为在上单调递减，所以 而在上单调递增，，所以与在无交点.‎ 当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.‎ ‎(ii)当时，，‎ 当时， ，，而在上单调递增，‎ 当时，.下面比较与的大小 因为 所以 结合图象不难得当时，与有两个交点. ‎ 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.‎ 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．‎ 例7.已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.‎ ‎(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；‎ ‎(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)‎ g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a)‎ 所以g'(x)＝2－‎ 当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减 当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增 ‎(Ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx 令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0‎ 于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0‎ 令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)‎ 由u'(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增 故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1‎ 即a0∈(0，1)‎ 当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0‎ 再由(Ⅰ)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增 当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0‎ 当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0‎ 又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0‎ 故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0‎ 综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.‎ ‎【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.‎