上海高考文科数学试题详解

上海高考文科数学试题详解

‎2014年普通高等学校招生统一考试上海市 数学试题（文科）详解 满分150分;考试时间120分钟．‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．函数的最小正周期是 ．‎ 考点：三角恒等变形、三角函数的周期 解答：因为，所以.‎ 难度：容易题 ‎2．若复数，其中是虚数单位，则 ．‎ 考点：复数的四则运算，共轭运算 解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即 难度：容易题 ‎3．设常数，函数．若，则 ．‎ 考点：解方程、求函数值 解答：由 难度：容易题 ‎4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．‎ 考点：圆锥曲线的标准方程 解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：‎ 难度：容易题 ‎5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．‎ 考点：分层抽样 解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。‎ 难度：容易题 ‎6．若实数满足，则的最小值为 ．‎ 考点：基本不等式 解答：，即 难度：容易题 ‎7．若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．‎ 考点：圆锥的侧面展开图 解答：如图：‎ 难度：容易题 ‎8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．‎ 考点：三视图 解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个 长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.‎ 难度：容易题 ‎9．设 若是的最小值，则的取值范围为 ．‎ 考点：函数的单调性及最值 ‎ 解答：‎ 难度：中等题 ‎10．设无穷等比数列的公比为，若，则 ．‎ 考点：无穷等比数列各项的和 解答：‎ 难度：中等题 ‎11．若，则满足的的取值范围是 ．‎ 考点：幂函数的单调性 解答：∴其定义域为 又是增函数，是减函数，是增函数，‎ 又，，即为，‎ 难度：中等题 ‎12．方程在区间上的所有的解的和等于 ．‎ 考点：三角方程 解答：‎ 难度：中等题 ‎13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）．‎ 考点：组合、概率 解答：未来的连续天中随机选择天的所有情况有种；未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种；则所求概率为 难度：中等题 ‎14．已知曲线，直线．若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 ．‎ 考点：圆的方程、能成立问题 解答：∵曲线，即，∵，∴点即为中点；设，∵，则，‎ ‎∵点在曲线C上，∴‎ 难度：较难题 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．设，则“”是“且”的（ ）‎ ‎(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 ‎(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 考点：充分条件、必要条件 解答：必要非充分条件，选B 难度：容易题 ‎16．已知互异的复数满足，集合，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 考点：集合的相等、复数范围内1的立方根 解答：⑴若 则（舍）；⑵若则，‎ 那么（舍）或（舍）或或 综合上述，.选D 难度：中等题 ‎17．如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 考点：向量的数量积、向量的投影 解答：结合图形，观察在上的投影即可：在上的投影相同；在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的个数为3，选C 难度：中等题 ‎18．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）‎ ‎(A) 无论如何，总是无解 (B) 无论如何，总有唯一解 ‎(C) 存在，使之恰有两解 (D) 存在，使之有无穷多解 考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法 解答：把代入直线得，即.‎ 同理可得.则是方程组的解.‎ 若不是方程组的唯一解，‎ 则方程组 有无数解则，与已知矛盾 综上，方程组总有唯一解，选B.‎ 难度：较难题 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．‎ 考点：棱锥的体积、空间想象能力 解答：依题意：是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体（如图）.‎ 设顶点在底面内的投影为，连接，则 为的重心，底面.‎ 难度：容易题 ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ ‎ 设常数，函数．‎ （1） 若，求函数的反函数；‎ （2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．‎ 考点：反函数、函数的奇偶性 解答：（1）因为，所以，得或，且．‎ ‎ 因此，所求反函数为．‎ ‎（2）①当时，，定义域为，故函数是偶函数；‎ ‎ ②当时，，定义域为，‎ ‎ ，故函数为奇函数；‎ ‎ ③当且时，定义域为关于原点不对称，‎ 故函数既不是奇函数，也不是偶函数．‎ 难度：容易题 ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为．‎ ‎（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ ‎（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）．‎ 考点：解斜三角形 解答：（1）设，则.因，所以，即，（米）‎ ‎（2）在中，由已知，，，‎ ‎ 由正弦定理得 ，解得（米）．‎ ‎ 在中，由余弦定理得， 解得（米）．所以，的长约为26.93米．‎ 难度：中等题 ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．‎ 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记 ‎．若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．‎ ‎（1）求证；点被直线分隔；‎ ‎（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；‎ ‎（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．‎ 考点：定义法求曲线方程、数形结合思想 解答：‎ ‎（1）证明：因为，所以点被直线分隔．‎ ‎（2）解：直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解，即．当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔．故实数的取值范围是．‎ ‎（3）证明：设的坐标为，则曲线的方程为．‎ 对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．‎ 又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．所以轴为曲线的分隔线．‎ 难度：中等题 ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．‎ ‎ 已知数列满足，，．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；‎ ‎（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．‎ 考点：等差数列、等比数列与不等式综合 解答：‎ ‎（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．‎ ‎（2）设的公比为．由，且，得．‎ 因为，所以．从而，，解得．‎ 时，．所以，的最小值为，时，的公比为．‎ ‎（3）设数列的公差为．由，得，．‎ ①当时，，所以，即．‎ ②当时，，符合条件．‎ ‎③ 当时，，所以，，又，所以．‎ 综上，的公差的取值范围为．‎ 难度：较难题