人教A版文科数学课时试题及解析(37)基本不等式B

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人教A版文科数学课时试题及解析(37)基本不等式B

课时作业(三十七)B [第37讲 基本不等式]‎ ‎[时间:35分钟 分值:80分]‎ ‎1.已知a,b∈R,下列不等式中不正确的是(  )‎ A.a2+b2≥2ab B.≥ C.a2+4≥‎4a D.+b2≥4‎ ‎2.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有(  )‎ A.最大值为0 B.最小值为0‎ C.最大值为-4 D.最小值为-4‎ ‎3.设x,y∈R,且x+y=4,则5x+5y的最小值是(  )‎ A.9 B.‎25 C.50 D.162‎ ‎4.已知00,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(  )‎ A.3 B.‎4 C. D. ‎7.若logx+logy=8,则3x+2y的最小值为(  )‎ A.4 B.‎8 ‎‎ C.4 D.8 ‎8.设f(x)=|2-x2|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是(  )‎ A.(0,2) B.(0,2) C.(0,4) D.(0,)‎ ‎9.已知函数f(x)=x+(p为常数,且p>0),若f(x)在(1,+∞)上的最小值为4,则实数p的值为________.‎ ‎10.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.‎ ‎11.设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于________.‎ ‎12.(13分)(1)已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证:+≥,指出等号成立的条件;‎ ‎(2)利用(1)的结论求函数f(x)=+的最小值,指出取最小值时x的值.‎ ‎13.(12分)如图K37-1,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.‎ ‎(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;‎ ‎(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.‎ 图K37-1‎ 课时作业(三十七)B ‎【基础热身】‎ ‎1.B [解析] 对于基本不等式成立的前提条件是a、b必须都非负.‎ ‎2.C [解析] ∵x<0,∴-x>0,∴x+-2=--2≤-2·-2=-4,等号成立的条件是-x=,即x=-1.‎ ‎3.C [解析] 5x+5y≥2=2=50,当且仅当x=y=2时,5x+5y得最小值是50.‎ ‎4. [解析] 因为00,y>0,所以3x+2y≥2=8,当且仅当3x=2y,xy=16时,取得最小值8.故选D.‎ ‎8.B [解析] 若0<a<b<,则有f(a)>f(b),与f(a)=f(b)矛盾;若<a<b,则有f(a)<f(b),与f(a)=f(b)矛盾,故必有0<a<<b,因此由|2-a2|=|2-b2|得2-a2=b2-2,‎ ‎∴a2+b2=4,故≤=(a=b时取等号),‎ ‎∴0<a+b<2.‎ ‎9. [解析] 由题意得x-1>0,f(x)=x-1++1≥2+1,当且仅当x=+1时取等号,则2+1=4,解得p=.‎ ‎10.18 [解析] 由基本不等式得xy≥2+6,令=t得不等式t2-2t-6≥0,解得t≤-(舍去),或者t≥3,故xy的最小值为18.‎ ‎11.-4 [解析] 由++≥0,得k≥-,而=++2≥4(a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.‎ ‎12.[解答] (1)证明:(x+y)=a2+b2+a2+b2≥a2+b2+2=(a+b)2,‎ 故+≥,‎ 当且仅当a2=b2,即=时上式取等号.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=+≥=25,‎ 当且仅当=,即x=时上式取最小值,‎ 即f(x)min=25.‎ ‎【难点突破】‎ ‎13.[解答] (1)在△ADE中,y2=x2+AE2-2x·AE·cos60°⇒y2=x2+AE2-x·AE.①‎ 又S△ADE=S△ABC⇒=x·AE·sin60°⇒x·AE=2.②‎ 将②代入①得y2=x2+2-2(y>0),‎ ‎∴y=(1≤x≤2).‎ ‎(2)如果DE是水管y=≥=,‎ 当且仅当x2=,即x=时“=”成立,故DE∥BC,且DE=.‎ 如果DE是参观线路,记f(x)=x2+,可知 函数f(x)在[1,]上单调递减,在[,2]上单调递增,‎ 故f(x)max=f(1)=f(2)=5,∴ymax==.‎ 即DE为AB边中线或AC边中线时,DE最长.‎
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