高中数学分章节训练试题:40立体几何与空间向量2

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高中数学分章节训练试题:40立体几何与空间向量2

高三数学章节训练题40《立体几何与空间向量2》‎ 时量:60分钟 满分:80分 班级: 姓名: 计分:‎ ‎ 个人目标:□优秀(‎70’‎~‎80’‎) □良好(‎60’‎~‎69’‎) □合格(‎50’‎~‎59’‎)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎1.给定下列四个命题: ‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中,为真命题的是( ) ‎ A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ ‎ ‎2.给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.‎ 其中,为真命题的是( ) ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎3.在三棱柱中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )‎ A.若,则 B.若,则 ‎ C.若,则 D.若,则 ‎ ‎5.下左图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ o6.如上右图,四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在棱的中点,能得出平面的图形的序号是(  ).‎ A.①④ B.②④ C.①③④ D.①③中学高.考.资.源.网 二、解答题:(本大题共5小题,每小题10分,满分50分)‎ ‎1. 如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,。 ‎ 求证:(1)EF∥平面ABC;(2)平面平面.‎ ‎2.如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.(1)证明//平面;(2)设,证明平面.‎ ‎3.如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点,DE⊥平面BCC1‎ ‎(1)证明:AB=AC(2)设二面角A-BD-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E ‎4.如图,在四棱锥中,底面是矩形,‎ · 平面,,.以的 · 中点为球心、为直径的球面交于点.‎ ‎(1)求证:平面⊥平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正切值;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5. 已知:四棱柱的三视图如下 ‎⑴ 画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的体积 ‎⑵ 若为上一点,平面,试确定点位置,并证明平面 高三数学章节训练题40《立体几何与空间向量2》答案 一、选择题 ‎1. 【答案】D ‎【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D ‎2.【解析】选D.‎ ‎3.【答案】:C ‎ 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎【解析】取BC的中点E,则面,,因此与平面所成角即为,设,则,,即有.‎ ‎4.【答案】.C.‎ ‎【解析】对于A、B、D均可能出现,而对于C是正确的. ‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为 ‎。‎ ‎6.【答案】D ‎【解析】:①取前面棱的中点,证AB平行平面MNP即可;③可证AB与MP平行 二、填空题 ‎1(2009江苏卷) ‎ 如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,。 ‎ 求证:(1)EF∥平面ABC; ‎ ‎(2)平面平面.‎ ‎2.如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.证明//平面; ‎ (1) 设,证明平面.‎ 证明:(Ⅰ)取CD中点M,连结OM.在矩形ABCD中,,又,则,中学学 连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形.  又平面CDE, EM平面CDE,∴ FO∥平面CDE ‎ ‎(Ⅱ)证明:连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中,且.‎ 因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM而FM∩CD=M,‎ ‎∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO. 而,所以EO⊥平面CDF. 高 ‎3.(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)‎ 如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点,DE⊥平面BCC1‎ ‎(Ⅰ)证明:AB=AC ‎ ‎(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小 解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法,第一问可取BC中点F,通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线,第二问先作出线面夹角,即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC,从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。‎ 解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。‎ A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E 连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。‎ ‎(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。‎ 由得2AD=,解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。‎ 连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。‎ 因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,‎ 所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,‎2c),E(,,c).‎ 于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以 AB=AC。‎ ‎(Ⅱ)设平面BCD的法向量则又=(-1,1, 0),‎ ‎=(-1,0,c),故 ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ). ‎ 又平面的法向量=(0,1,0)由二面角为60°知,=60°,‎ 故 °,求得 于是 , ‎ ‎,°‎ 所以与平面所成的角为30°‎ ‎4.(2009江西卷文)(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点.‎ ‎(1)求证:平面⊥平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成的角;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ 解:方法(一):‎ ‎(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.‎ 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,‎ 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.‎ ‎(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,‎ 由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,‎ 所以 就是与平面所成的角,‎ 且 ‎ ‎ 所求角为 ‎ ‎(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥‎ 平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.‎ 因为在Rt△PAD中,,,所以为中点,,则O点到平面ABM的距离等于。‎ ‎5. 已知:四棱柱的三视图如下 ‎⑴ 画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的体积 ‎⑵ 若为上一点,平面,试确定点位置,并证明平面 解:⑴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ⑵ 作交于,连,则共面 ‎
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