高中数学公式定理汇总(供参考)

高中数学公式定理汇总(供参考)

高中公式定理 必修 1 1.元素与集合的关系 AxACxACxAx UU  ; 2.德摩根公式 ACACBACACACBAC UUUUUU   )(;)( 3.包含关系（U 为全集时）  BCAACBCBABBAABA UUU  4.容斥原则 )()( )()()( )()( CBAcardACcard CBcardBAcardcardCcardBcardACBAcard BAcardcardBcardABAcard       5.集合 naaa ,...,, 21 的子集个数共有 n2 个；真子集有 12 n 个；非空子集 12 n ；非空真子集有 22 n 个。 6. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式 );0()( 2  acbxaxxf （2）顶点式 );0()()( 2  akhxaxf （3）零点式 ).0)()(()( 21  axxxxaxf 7. 指数运算性质 （1） ),,0( Qsraaaa srsr   （2） ),,0()( Qsraaa rssr  （3） ),0,0()( Qrbabaab rrr  8.对数运算性质 如果 ,0a 且 ,0,0,1  NMa 那么 （1） NMNM aaa loglog)(log  （2） NMN M aaa loglog)(log  （3） )(loglog RnMnM a n a  （4）换底公式 ).0;1,0;1,0(log loglog  Nccbbb NN c c b 且且 （5）常用推论 1loglog  ca ac 1logloglog  acb cba bm nb a n am loglog  9.函数零点的存在性定理 一般地，我们有： )(xfy  在区间 ba, 上的图象是连续不断的一条 曲线，并且有 0)()(  bfaf ，那么，函数 )(xfy  在区间 ),( ba 内有零点， 即存在 ),,( bac 使得 0)( cf ，这个c 也就是方程 )(xfy  的根。 必修 2 1.圆柱，圆锥，圆台表面积 圆柱 圆锥 圆台 底面面积 2rs  底 2rs  底 2 1rs  上底 2 2rs  下底 侧面面积 rls  2侧 rls  侧 )( 21 rrls  侧 表面积 )2 lrrs  （表  )lrrs  （表  )21 2 2 2 1 lrlrrrs  （表  2.柱体、椎体、台体的体积 柱体： hrVhSV 2 圆柱底柱体 ； 椎体： hrVhSV 2 3 1 3 1  圆锥底锥体 ； 圆台： ；）（ 下底下底上底上底台体 hSSSSV  3 1 )(3 1 21 2 2 2 1 rrrrhV  圆台 3.平面的基本性质 （1）公理 a.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平 面内。 b.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 c.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条过该点公共直线。 d.平行于同一直线的两条直线互相平行。 （2）三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互 补。 5.异面直线判定定理 连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点 的直线是异面直线。 6.直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平 行。 7.平面与平面平行判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。 8.面面平行判定的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条 相交直线，则这两个平面平行。 9.直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行。 11.平面与平面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平 行。 12.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直。 13.平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个直线垂直。 14.直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。 15.面面垂直性质定理： 两个平面垂直，则平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 16.两直线平行与垂直的判定 平行： 2121 // kkll  垂直： 12121  kkll 17.直线方程 点斜式： )( 00 xxkyy  斜截式： bkxy  截距式： 1 b y a x 两点式： 12 1 12 1 xx xx yy yy    一般式： 0 CByAx 18.距离公式 两点间距离公式： 2 12 2 1221 )()( yyxxpp  点到直线距离公式： 22 00 BA CbyAxd   两平行直线间距离公式： 01  CByAx 02  CByAx 22 21 BA CCd   19.圆的方程 222 )()( rbxax  20.点与圆的位置关系 圆上 222 )()( rbxax  圆内 222 )()( rbxax  圆外 222 )()( rbxax  21.直线与圆位置关系 相交 rd  相切 rd  相离 rd  必修 3 1.古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性事 （3）相等。 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概 型。 2.数据的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫作众数； （2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排 列，当数据有奇数个时， 处在最中间的那个数是这组数据的中位 数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的 平均数是这组数 据的中位数； （3）平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数， 记作：  nxxxnx  21 1 。 （4）标准差：       22 2 2 1 1 xxxxxxns n  。 （5）方差：       22 2 2 1 2 1 xxxxxxns n  。 3.三种抽样方式： （1）简单随机抽样的特点： ①总体个数 N 是有限的； ②每个个体被抽到的可能性相同，都是 N n ； ③样本是从总体中逐个抽取的，即一个一个的抽取； ④是一种不放回抽样，即不可能先后抽取到同一个个体。 （2）系统抽样的特点： ①适用于总体容量 N 较大的情况； ②剔除多余个体，在第 1 段抽样用简单随机抽样； ③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是 N n（n 为样本容量）。 （3）分层抽样： ①特点： .a 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； .b 利用事件先掌握的信息，更充分的反映了总体情况； .c 等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等。 ②步骤： .a 分层求抽样比：确定抽样比 N nk  ； .b 求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数 kNn ii  ； .c 各层抽样：各层分别用简单随机抽样或系统抽样抽取个体； .d 组成样本：综合每层抽取的个体，组成样本。 4.几何概型： 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：   积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成 积）的区域长度（面积或体构成事件AAP  。 5.概率的基本性质： （1）概 率  AP 的 取 值 范 围 ： 任 何 事 件 的 概 率 在 1~0 之 间 ， 即   10  AP ； （2）概 率 的 加 法 公 式 ： 如 果 事 件 A 与 事 件 B 互 斥 ， 则      BPAPBAP  ； （3）对立事件的概率公式：若事件 A 与事件 B 为对立事件，则     1 BPAP 。 6.回归方程： （1）回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 附近，就称这两个变量 之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归 直线； （2）利用回归方程对总体进行估计：利用回归直线，我们可以进行 预测。若回归方程为 abxy  ，则在 0xx  处的估计值为 abxy  0  。 必修 4 1.三角恒等变换： （1） 2cos2sin2sinsin   ； （2） 2sin2cos2sinsin   ； （3） 2cos2cos2coscos   ； （4） 2sin2sin2coscos   ； （5）       sinsin2 1cossin ； （6）       sinsin2 1sincos ； （7）       coscos2 1coscos ； （8）       coscos2 1sinsin ； （9） 2tan1 2tan2 sin 2      ； （10） 2tan1 2tan1 cos 2 2       ； （11） 2tan1 2tan2 tan 2      。 2.和、差、倍、半角的三角函数： （1）和（差）角公式： ①    sincoscossinsin  ； ②    sinsincoscoscos  ； ③     tantan1 tantantan   。 （2）倍角公式： ①  cossin22sin  ； ②  2222 sin211cos2sincos2cos  ； ③   2tan1 tan22tan  。 （3）半角公式： ①     cos1 sin sin cos1 2tan  ； ② 2tan1 2tan2 sin 2      ； ③ 2tan1 2tan1 cos 2 2       。 3.平面向量的数量积： （1）交换律： abba  ； （2）结合律：     bababa   ； （3）分配率：  cbcacba  ； （4） ba ba  cos ， 0 ba ； （5） baba  ； （6）若  yxa , ，则有 222 yxa  ，或 22 yxa  。 4.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系： 1cossin 22   ； （2）商的关系：   cos sintan  ； （3）其他形式：  22 cos1sin  ，  22 sin1cos  ，  tancossin  ，   tan sincos  。 5.三角函数的诱导公式： （1）公式一：当 Zk  时，    sin2sin  k ；    cos2cos  k ；    tan2tan  k 。 （2）公式二：    sinsin  ；    coscos  ；    tantan  。 （3）公式三：    sinsin  ；    coscos  ；    tantan  。 （4）公式四：    sinsin  ；    coscos  ；    tantan  。 （5）公式五：  cos2sin       ；  sin2cos       。 （6）公式六：  cos2sin       ；  sin2cos       。 6.平面向量的坐标运算： （1）加减法：  221 1, yyxxba  ； （2）数乘向量：    1111 ,, yxyxa   ； （3）数量积： 2121cos yyxxbaba   ； （4）模： 2 1 2 1 2 yxaa  ； （5）夹角： 2 2 2 2 2 1 2 1 2121cos yxyx yyxx ba ba     。 7.函数    xAy sin 图像的基本变换： （1）先平移后伸缩： 函数 xy sin 的图像   个单位向左（右）平移  函数   xy sin 的图像   倍，纵坐标不变横坐标变为原来的  1 函数    xy sin 的图像   倍，横坐标不变纵坐标变为原来的A 函数    xAy sin 的图像。 （2）先伸缩后平移： 函数 xy sin 的图像   倍，纵坐标不变横坐标变为原来的  1 函数 xy sin 的图像   个单位向左（右）平移   函数    xy sin 的图像   倍，横坐标不变纵坐标变为原来的A 函数    xAy sin 的图像。 8.向量的有关概念： （1）向量的长度或模：向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或 称模），记作 AB 。 （2）零向量：长度为 0 的向量叫作零向量，记作0 。 （3）单位向量：长度等于 1 个单位的向量，叫作单位向量。 （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量。向量a 与 b 相等，记作 ba  。 （5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。向量a 与 b 平行，记作 ba // 。 我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意 向量a ，都有 a//0 。 （6）共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此， 平行向量也叫作共线向 量。 9.弧长公式、扇形的面积公式： ral  ， 2 2 1 2 1 ralrS 扇形 。其中l 为弧长，r 为圆的半径，a 为圆心 角的弧度数。 必修 5 1.数列的通项公式与前 n 项和的关系: na = 1, 2,1    ns nss nn ( 数列{ na }的前 n 项和为 nn aaas  21 ) . 2.等差数列的通项公式： dnaan )1(1  ； 其前 n 项和公式为： ndanddnnnaaans n n )2 1(22 )1( 2 )( 1 2 1 1  . 3.等比数列的通项公式: );0)((11 1   qNnqq aqaa nn n 其前 n 项和公式为：  ,1,1 )1( 1 1 ,1     qq qa qnan n s 或  ,1,1 .1, 1 1     qq qaa qnan n s 4.若 ,Nqpnm 、、、 且 ,qpnm  那么，当数列{ na }是等差数列时，有 ;qpnm aaaa  当数列{ na }是等比数列时，有 .qpnm aaaa  5.等差数列{ na }中，若 .60,30,10 33  nnn sss 6.等比数列{ na }中，若 ;70,30,10 32  nnn sss 则 7.正弦定理及正弦定理与外接圆半径的关系： ;2sinsinsin RC c B b A a  CRcBRbARa sin2,sin2,sin2  ; ;sin,sin,sin 222 R c R b R a CBA  ;sin:sin:sin:: CBAcba  ;2sinsinsin RCBA cba   正弦定理与面积公式： ,sinsinsin 2 1 2 1 2 1 BacAbcCabsABC  8.余弦定理： .cos2 ,cos2 ,cos2 222 222 222 Cabbac Baccab Abccba    .2cos ,2cos ,2cos 222 222 222 ab cbaC ac bcaB bc acbA    选修 1-1 1.四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 2.若 p q ，则 p 是q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． 若 p q ，则 p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 3.逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式 p q ；⑵或（or）：命题形式 p q ； ⑶非（not）：命题形式 p . p q p q p q p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4.椭圆的几何性质： 焦点的位 置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程   2 2 2 2 1 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0y x a ba b     范围 a x a   且 b y b   b x b   且 a y a   顶点  1 ,0a  、  2 ,0a  1 0, b  、  2 0,b  1 0, a  、  2 0,a  1 ,0b  、  2 ,0b 轴长 短轴的长 2b 长轴的长 2a 焦点  1 ,0F c 、  2 ,0F c  1 0,F c 、  2 0,F c 焦距  2 2 2 1 2 2F F c c a b   对称性 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 离心率   2 21 0 1c be ea a      5、双曲线的几何性质： 焦点的位 置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b     范围 x a  或 x a ， y R y a  或 y a ， x R 顶点  1 ,0a  、  2 ,0a  1 0, a  、  2 0,a 轴长 虚轴的长 2b 实轴的长 2a 焦点  1 ,0F c 、  2 ,0F c  1 0,F c 、  2 0,F c 焦距  2 2 2 1 2 2F F c c a b   对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称 离心率   2 21 1c be ea a     渐近线方 程 by xa   ay xb   5.抛物线的几何性质： 标准方 程 2 2y p x  0p  2 2y p x   0p  2 2x p y  0p  2 2x p y   0p  图形 顶点  0,0 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 , 02 pF      , 02 pF     0 , 2 pF      0 , 2 pF     准线方 程 2 px   2 px  2 py   2 py  离心率 1e  范围 0x  0x  0y  0y  6.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于  、  两点的线段  ，称为抛物线的“通径”，即 2p  ． 7.焦半径公式： 若点  0 0,x y 在抛物线  2 2 0y px p  上，焦点为 F ，则 0 2 pF x   ； 若点  0 0,x y 在抛物线  2 2 0x py p  上，焦点为 F ，则 0 2 pF y   ； 8.函数  f x 从 1x 到 2x 的平均变化率：    2 1 2 1 f x f x x x   9.导数：  f x 在点 0x 处的导数记作 x xfxxfxfy xxx    )()(lim)( 00 000 ． 10.函数  y f x 在点 0x 处的导数的几何意义是曲线  y f x 在点   0 0,x f x 处的切线的斜率． 11.常见函数的导数公式： ① 'C 0 ；② 1')(  nn nxx ； ③ xx cos)(sin '  ；④ xx sin)(cos '  ； ⑤ aaa xx ln)( '  ；⑥ xx ee ')( ； ⑦ axxa ln 1)(log '  ；⑧ xx 1)(ln '  12.导数运算法则：  1        f x g x f x g x       ；  2            f x g x f x g x f x g x       ；  3                 2 0f x f x g x f x g x g xg x g x            ． 13.在某个区间 ,a b 内，若   0f x  ，则函数  y f x 在这个区间内单 调递增； 若   0f x  ，则函数  y f x 在这个区间内单调递减． 必修 1-2 1 线性回归方程： abxy   （最小二乘法） 其中， 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx a y bx             注意：线性回归直线经过定点 ),( yx . 2.相关系数（判定两个变量线性相关性）：          n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 1 1 22 1 )()( ))(( 注：⑴ r >0 时，变量 yx, 正相关；r <0 时，变量 yx, 负相关； ⑵① || r 越接近于 1，两个变量的线性相关性越强；② || r 接近 于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3.条件概率 对于任何两个事件 A 和 B，在已知 B 发生的条件下，A 发生的概 率称为 B 发生时 A 发生的条件概率. 记为 P(A|B) , 其公式为 P(A|B) ＝P（AB） P（A） 4 相互独立事件 (1)一般地，对于两个事件 A，B，如果_ P(AB)＝P(A)P(B) ，则称 A、B 相互独立． (2)如果 A1，A2，…，A n 相互独立，则有 P(A1A2…An)＝_ P(A1)P(A2)…P(An). (3)如果 A，B 相互独立，则 A 与 B－，A－与 B，A－与 B－也相互独立． 5．独立性检验（分类变量关系）： (1)2×2 列联表 设 ,A B 为 两 个 变 量 ， 每 一 个 变 量 都 可 以 取 两 个 值 ， 变 量 1 2 1: , ;A A A A 变量 1 2 1: , ;B B B B 通过观察得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为 2×2 列联 表． (2)独立性检验 根据 2×2 列联表中的数据判断 两个变量 A，B 是否独立的问题叫 2×2 列联表的独立性检验． (3) 统计量χ2 的计算公式χ2= n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 6.复数相关结论 .(1) z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R)  z= z  z2≥0； (2) z=a+bi 是虚数  b≠0(a,b∈R)； (3) z=a+bi 是纯虚数  a=0 且 b≠0(a,b∈R)  z＋ z ＝0（z≠0） z2<0； (4) a+bi=c+di  a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R)； 7．复数的代数形式及其运算 设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则： (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i； (2) z1·z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i； (3) z1÷z2 =   ))(( ))(( dicdic dicbia i dc adbc dc bdac 2222     (z2≠0) ; 8．几个重要的结论 (1) ii 2)1( 2  ； ;1 1;1 1 ii iii i    (2) i 性质：T=4； iiiiii nnnn   3424144 ,1,,1 ； ;03424144   nnn iiii (3) zzzzz 111  。 9．运算律：（1） );,())(3(;))(2(; 2121 Nnmzzzzzzzzz mmmmnnmnmnm   选修 2-1 1.如果闭区间 ba, 上函数 )(xf 的图像是连续曲线，且满足 0)()( bfaf ， 那么 )(xf 在开区间 ),( ba 内至少存在一个零点。 2.如果一条直线垂直于一个平面内两天相交直线，那么这条直线垂直 于这个平面。 3.如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线平行于另一个 平面。 4.若向量 .,0, bababa  则满足 5. ; );()( abba baccba   交换律： 结合律： 6.设 为实数，那么、 ).,)(())(3( );,()(,)()2( );()1( RRaa RRaaababa Raa       7.空间两个向量 8.空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律： ).()()()3( ;)()2( ;)1( Rbaba cabacba abba     分配律 交换律 ).0,0(,cos)3( ;0)2( ;)1(    baba baba baba aaa 9. ).b(cos 的夹角与为 的数量积：与 ababa ba  10.平面向量的坐标运算：       );(),,(),,(5 ;,,),,(4 );,(),,(),,()3( );,(),,(),,()2( );,(),,(),,()1( 21212211 12122211 21212211 21212211 yyxxbayxbyxa yxaRyxa yyxxOAOBAByxByxA yyxxbayxbyxa yyxxbayxbyxa      则设 则设 则设 则设 则设  11.点到直线的距离： .22 OSPAPAd  点到平面的距离: .0nPAd  选修 2-2 1．推理与证明 （1）合情推理与类比推理： ①根据一类事物的部分对象具有某种性质，退出这类事物的所有 对象都具有这种性质的 推理，叫做归纳推理，归纳是从特殊到一般 的过程，它属于合情推理； ②根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中 一类事物具有与另外一类 事物类似的性质的推理，叫做类比推理。 （2）类比推理的一般步骤: ①找出两类事物的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的 命题（猜想）； ③一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互制 约的.如果两个事物在 某些性质上相同或相似，那么他们在另一写 性质上也可能相同或类似，类比的结论可是 真的； ④一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性 质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。 （3）演绎推理（俗称三段论）：由一般性的命题推出特殊命题的过程， 这种推理称为演绎推 理。 （4）数学归纳法： ①它是一个递推的数学论证方法； ②步骤: .a 命题在 1n （或 0n ）时成立，这是递推的基础； .b 假设在 kn  时命题成立； .c 证明 1 kn 时命题也成立； 完成这三步，就可以断定对任何自然数（或 0nn  ，且 Nn ）结论 都成立。 （5）反证法: ①反证法的证题模式可以简要的概括为“否定  推理  否 定”。即从否定结论 开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到 新的否定，可以认为反证法的基本思想 就是“否定之否定”； ②应用反证法证明的主要三步是：否定结论  推导出矛 盾  结论成立。 （6）分析法: ①所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发， 不断地去寻找需知，直 至达到已知事实为止的方法； ②分析法的思维全貌可概括为：结论  需知 1  需知 2  已知。 （7）综合法: ①所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出 发，不断地展开思考， 去探索结论的方法； ②综合法的思维过程的全貌可概括为：已知  可知 1  可知 2  结论。 2．导数及其运算 （1）导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数  xfy  在 0xx  处 的瞬时变化率是     x xfxxf x    00 0 lim ，我们称它为函数  xfy  在 0xx  处 的导数，记作  xf ' 或 0 ' xxy  ，即       x xfxxfxf x    00 0 lim' 。 （2）导数的几何意义：曲线的切线。通过图像，我们可以看出当 点 nP 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线 nPP 的斜率是     0 0 xx xfxfk n n n   ，当点 nP 趋近于 P 时，函数  xfy  在 0xx  处的导数就是 切线 PT 的斜率 k ，即      0 0 0 0 'lim xfxx xfxfk n n x    。 （3）导函数：当 x 变化时，  xf ' 便是 x 的一个函数，我们称它为  xf 的导函数。  xfy  的导函数有时也记作 'y ，即       x xfxxfxf x    0 lim' 。 （4）基本初等函数的导数公式: ①若   cxf  （c 为常数），则   0' xf ； ②若   xxf  ，则   1'  axxf  ； ③若   xxf sin ，则   xxf cos'  ； ④若   xxf cos ，则   xxf sin'  ； ⑤若   xxf  ，则    ln' xxf  ； ⑥若   xexf  ，则   xexf ' ； ⑦若   xxf log ，则   ln 1' xxf  ； ⑧若   xxf ln ，则   xxf 1'  。 （5）导数的运算法则： ①         xgxfxgxf ''  ； ②             xgxfxgxfxgxf ''  ； ③               2 '' xg xgxfxgxf xg xf       。 （6）复合函数求导：  ufy  和  xgu  ，称则 y 可以表示成为 x 的 函数,即   xgfy  为一个复合函数，         xgxgfxgufy '''''  。 3．导数在研究函数中的应用 （1）函数的单调性与导数: 一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间  ba, 内 ①如果   0' xf ，那么函数  xfy  在这个区间单调递增； ②如果   0' xf ，那么函数  xfy  在这个区间单调递减。 （2）函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小 情况。 求函数  xfy  的极值的方法是: ①如果在 0x 附近的左侧   0' xf ，右侧   0' xf ，那么  0xf 是极大 值； ②如果在 0x 附近的左侧   0' xf ，右侧   0' xf ，那么  0xf 是极小 值。 （3）函数的最大(小)值与导数： 求函数  xfy  在 ba, 上的最大值与最小值的步骤： ①求函数  xfy  在 ba, 内的极值； ②将函数  xfy  的各极值与端点处的函数值  af ，  bf 比较，其 中最大的是一个 最大值，最小的是最小值。 4．数系的扩充和复数的概念 （1）复数：形如 bia  （ RbRa  , ）的数叫做复数， a 和b 分别叫 它的实部和虚部； （2）分类：复数 bia  （ RbRa  , ）中， ①当 0b ，就是实数； ② 0b ，叫做虚数； ③当 0,0  ba 时,叫做纯虚数。 （3）复数相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复 数相等。 （4）共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数互为共轭复数。 （5）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴除 去原点的部分叫做虚轴。 （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能 比较大小。 5．复数的运算：设 biaz 1 ， dicz 2 （ Rdcba ,,, ） （1）    idbcazz  21 ； （2）    ibcadbdaczz  21 ； （3）     22 2 1 dc ibcadbdac z z   （ 02 z ）。 6．几个重要的结论： （1）  2 2 2 1 2 21 2 21 2 zzzzzz  ； （2） 22 zzzz  ； （3）若 z 为虚数,则 22 zz  。 7、乘法运算律： （1） nmnm zzz  ；（2）  mnnm zz  ；（3）  nnn zzzz 21 21  （ Rnm , ）。 8、关于虚数单位i 的一些固定结论： （1） 12 i ；（2） ii 3 ；（3） 14i ；（4） 0321   nnnn iiii 。 选修 2－3 1．计数原理： （1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第 一类办法中有 1M 种 不同的方法，在第二类办法中有 2M 种不同的方 法，……，在第 N 类办法中有 NM 种 不同的方法，那么完成这件事 情共有 NMMM  21 种不同的方法。 （2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第 一类办法中有 1M 种 不同的方法，在第二类办法中有 2M 种不同的方 法，……，在第 N 类办法中有 NM 种 不同的方法，那么完成这件事 情共有 NMMM 21 种不同的方法。 （4）排列：从 n 个不同的元素中任取 m （ nm  ）个元素，按照一．．． 定顺序．．．排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排 列。 （5）排列数：      ! !11 mn nmnnnAm  （ Nnmnm  ,, ） 。 （6）组合：从n 个不同的元素中任取 m（ nm  ）个元素并成一组， 叫做从 n 个不同 元素中取出m 个元素的一个组合。 （7）组合数： ①      !! ! ! 11 mnm n m mnnn A AC m m m nm n  ； ② mn n m n CC  ； ③ m n m n m n CCC 1 1    。 （8）二项式定理：   n n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 1222110   。 （9）二项式通项公式： rrnr nr baCT   1 （ nr ,,1,0  ）。 2．随机变量及其分布 （1）随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是 随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量 叫做随机变量。随机变量常用大写字母 X 、Y 等或希腊字母 、 等 表示。 （2）离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于 随机变量 X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量。 （3）离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量 X 可能取的 值为 ni XXXX  ,,,, 21 ， X 取每一个值 iX （  ,2,1i ）的概率   ii PXP   ，则称表为离 散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列。 （4）分布列性质：① 0iP ，  ,2,1i ；② 121  nPPP 。 （5）二点分布：如果随机变量 X 的分布列为： 其中 10  p ， pq 1 ，则称离散型随机变量 X 服从参数 P 的二点 分布。 （6）超几何分布：一般地，设总数为 N 件的两类物品，其中一类 有 M 件，从所有物 品中任取 n （ Nn  ）件，这 n 件中所含这类 物品件数 X 是一个离散型随机变量，则 它取值为 k 时的概率为   n N kn MN k M C CCkXP   （ mk ,,2,1,0  ），其中  nMm ,min ，且 Nn  ， NM  ， *,, NNMn  。 （7）条件概率：对任意事件 A 和事件 B ，在已知事件 A 发生的条 件下事件 B 发生的 概率，叫做条件概率.记作  ABP ，读作 A 发生的 条件下 B 的概率。 （8）条件概率公式：      AP ABPABP  ，   0AP 。 （9）相互独立事件：事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生 的概率没有影响,这 样 的 两 个 事 件 叫 做 相 互 独 立 事 件 。      BPAPABP  。 （10） n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互 独立的一种试验。 （11）二项分布：设在n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数， A 发生次数 是 一个随机变量。如果在一次试验中某事件发生的概 率是 p ，事件 A 不发生的概率为 pq 1 ，那么在n 次独立重复试验 中   knkk n qpCkP  ， （其中 nk ,,1,0  ， pq 1 ）。 于是可得随机变量 的概率分布如下： 这样的随机变量 服从二项分布，记作  pnB ,~ ，其中n ， p 为参 数。 （12）数学期望：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为 则称  ii pxpxpxE 2211 为 的数学期望或平均数、均值， 数学期望又简 称为期望，是离散型随机变量。 （13）方差:       nn pExpExpExD  2 2 2 21 2 1  叫随机 变量 的均方差，简称方差。 （14）集中分布的期望与方差一览： 期望 方差 两点分布 pE  pqpqD  1, 二项分布  pnB ,~ npE  pqqnpqED  1, （ 15 ） 正 态 分 布 ： 若 概 率 密 度 曲 线 就 是 或 近 似 地 是 函 数     2 2 2 2 1      x exf ， Rx 的图像，其中解析式中的实数  、 （ 0 ）是参数，分别表示 总体的平均数与标 准差。则其分布叫正态分布记作：  ,N ，  xf 的图象称为正态曲线。 （16）基本性质： ①曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交； ②曲线关于直线 x 对称，且在 x 时位于最 高点； ③当 x 时，曲线上升；当 x 时，曲线下降， 并且当曲 线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限 靠近。 ④当  一定时，曲线的形状由 确定。 越大，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的 分布越集中。 ⑤当 相同时，正态分布曲线的位置由期望值  来决定。 ⑥正态曲线下的总面积等于 1。 （17） 3 原则： 从上表看到，正态总体在  2,2  以外取值的概率只有 4.6%， 在   3,3  以外取值的概率只有 0.3%，由于这些概率很小，通 常称这些情况发生 为小概率事件。也就是说，通常认为这些情况在 一次试验中几乎是不可能发生的。 3．统计案例 （1）独立性检验： 假设有两个分类变量 X 和Y ，它们的值域分别为 21, xx 和 21, yy ， 其样本频数列联表为： 1y 2y 总计 1x a b ba  2x c d dc  总计 ca  db  dcba  可以利用独立性检验来考察两个变量 X 和Y 是否有关系，并且能 较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算 出随机变量 2K 的值：        dbcadcba bcadnK   2 2 ，其中 dcban  为样本容量， 2K 的 值越大，说明“ X 和Y 有关系”成立的可能性越大。 841.32 K 时， X 和Y 无关； 841.32 K 时，X 和Y 有 95%可能性有关； 635.62 K 时，X 和 Y 有 99%可能性有关。 （2）回归分析： 回归直线方程 xbay  ， 其中                    n i i n i ii n i i n i ii xnx yxnyx xx yyxx b 1 22 1 1 2 1 ， xbya  。 选修 4-1 几何证明选讲 1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线 段成比例. 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 截得的对应线段成比例. 3.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线 段与这个角的两边对应线段成比例. 4.直角三角形的射影定理：直角三角形的每一条直角边是它在斜边上 的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的 比例中项. 5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，圆 周角的角度等于它所对的弧的度数的一半. 6.推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧也相等. 7.推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 090 的圆周角所对的 弧是半圆. 8.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线. 9.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 10.推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点. 11.推论 2：经过切点且垂直于切线的直线经过圆心. 12.切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等. 13.弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆心角；弦切角的度数 等于它所夹弧的度数的一半. 14.切割线定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是 割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项. 15.推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个 交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积. 16.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等. 17.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补. 18.推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 19.定理：如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶角 共圆. 20.推论：如果一个四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边 形的四个顶点共圆. 21.*托勒密定理：圆的内接四边形两对边乘积之和等于两条对角线的 乘积. 选修 4-4 坐标系与参数方程 1.点的极坐标 ),(  化为直角坐标 ),( yx 的关系式        sin cos y x 2.点的直角坐标 ),( yx 化为极坐标 ),(  的关系式      )0(tan 222 xx y yx   3.点的直角坐标 ),,( zyx 与柱坐标 ),,( zr  的关系式       zz ry rx   sin cos    z r  20 0 4.点的直角坐标 ),,( zyx 与球坐标 ),,( r 的关系式          cos sinsin cossin rz ry rx   20 0 0    r 5 经过点 ),( 00 yx ，倾斜角是 的直线的参数方程        sin cos 0 0 tyy txx （t 为参数） 6.经过两个定点 ),( 11 yx ， ),( 22 yx （其中 21 xx  ）的直线的参数方程              1 1 21 21 yyy xxx （ 为参数， 1 ） 7.圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程        sin cos ry rx （ 为参数） 8.圆心为 ),( ba 、半径为 r 的圆的参数方程        sin cos rby rax （ 为参数） 9.椭圆 12 2 2 2  b y a x 的参数方程        sin cos by ax （ 为参数） 10.中心在 ),( 00 yx 的椭圆的参数方程        sin cos 0 0 byy axx （ 为参数） 11.双曲线 12 2 2 2  b y a x )0,0(  ba 的参数方程        tan cos by ax （ 为参数） 选修 4-5 不等式选讲 1. .0 ;0 ;0    baba baba baba 2.当 0,0  ba 时 ;1 bab a  ;1 bab a  .1 bab a  3.性质：如果 ba  ，那么 ab  ；如果 ab  ，那么 ba  . 4.性质：如果 ba  ， cb  ，那么 ca  . 5.性质：如果 ba  ，那么 cbca  . 6.推论：如果 dcba  , ，那么 dbca  . 7.性质：如果 ba  ， 0c ，那么 bcac  ；如果 ba  ， 0c ，那么 bcac  . 8.推论：如果 0 ba ， 0 dc ，那么 bcac  . 9.推论：如果 0 ba ，那么 22 ba  . 10.推论：如果 0 ba ，那么 nn ba  （n 为正整数）. 11.推论：如果 0 ba ，那么 nn ba 11  （n 为正整数）. 12.定理：对任意实数 a 和 b，有 baba  . 13.定理：对任意实数 a，b，有 abba 222  ，（此式当且仅当 ba  时取 “=”号）. 14.定理：对任意两个正数 a，b，有 abba  2 ，（此式当且仅当 ba  时取“=”号）. 15.定理：对任意三个正数 a，b，c，有 abccba 3222  ，（此式当且 仅当 cba  时取“=”号）. 16.定理：对任意三个正数 a，b，c，有 3 3 abccba  ，（此式当且仅 当 cba  时取“=”号）. 17.简单形式的柯西不等式定理：对任意实数 a，b，c，d，有 22222 )()dc)(( bdacba  . 18.一般形式的柯西不等式定理：设 naaa ,,, 21  与 nbbb ,,, 21  是两组实数， 则有 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 )())(( nnnn babababbbaaa   ， 当向量 ),,,( 21 naaa  与 ),,,( 21 nbbb  共线时，等号成立. 19.定理：设 a，b 和 c，d 都是实数，如果 dcba  , ，那么 bcadbdac  ， 此式当且仅当 ba  （或 dc  ）时取“=”号. 20.定理（排序不等式）设有两个有序实数组 naaa  21 及 nbbb  21 则 （顺序和）  nnbababa 2211 （乱序和）  njnjj bababa 21 21 （逆序和） 1121 bababa nnn    . 其中 njjj ,, 21 是 1，2，  ，n 的任一排列方式，上式当且仅当 naaa  21 或（ nbbb  21 ）时取“=”号. 21.定理（贝努利不等式）：对任何实数 1x 和任何正整数 n，有 nxx n  1)1( .