高中数学必修5：6_备课资料（1_2_2　解决有关测量高度的问题）

高中数学必修5：6_备课资料（1_2_2　解决有关测量高度的问题）

备课资料 备用例题 ‎1.地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20 m,在A点处测得P点的倾角∠OAP=30°,在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h.（结果保留两个有效数字） 思路分析：在看图时要注意结合实际——旗杆OP垂直地面，所以△AOP和△BOP都是直角三角形．又这两个三角形中各已知一个锐角，那么其他各边均可用h的代数式表示．在△AOB中，已知一边及其对角，另两边均为h的代数式，可利用余弦定理构造方程，解这个方程即求出旗杆高h． 解：在Rt△AOP中，∠OAP=30°，OP=h,‎ ‎∴OA=OP·cot30°=3h. 在Rt△BOP中，∠OBP=45°，∴OB=OP·cot45°=h. 在△AOB中，AB=20，∠AOB=60°， 由余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2×OA×OB·cos60°，‎ 即202=（）2+h2-2·3h·h·,解得h2=≈176.4,∴h≈13. 答：旗杆高度约为13 m． 点评：（1）仰角和俯角是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时称为俯角． ‎（2）由余弦定理（正弦定理）构造方程，是解决此问题的关键．方程思想是解决问题的一种常用思想方法． ‎2.在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？ 解：如图，以AB为边，B为顶点作∠ABP=45° ‎（点P在B点的东北方向上），射线BP即台风中心B的移动方向，以A点为圆心、300千米为半径画弧交射线BP于C、D两点，显然当台风中心从B点到达C点时，A点开始进入台风圈，台风中心在CD上移动的时间即为A处在台风圈中的时间．设台风中心由B到C要t小时，在△ABC中，AB=400（千米），AC=300（千米），BC=40t（千米），∠ABC=45°，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC， 即3002=4002+(40t)2-2×400×40t·cos45°. ‎∴4t2-402t+175=0.‎ ‎∴. ‎∴=4.6（小时）. t2-t1= =5（小时）. 答：经过4.6小时A进入台风圈，A处在台风圈中的时间为5小时．