【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）选修4-4第1讲　坐标系学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）选修4-4第1讲　坐标系学案

知识点 考纲下载 坐标系 ‎ 理解坐标系的作用．‎ ‎ 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎ 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．‎ ‎ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.‎ 参数方程 ‎ 了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎ 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．‎ ‎ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．‎ ‎ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.‎ 第1讲　坐标系 ‎[学生用书P213]‎ ‎1．坐标系 ‎(1)伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．‎ ‎(2)极坐标系 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．‎ ‎2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎3．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos__θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin__θ＝b．‎ ‎4．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos__θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin__θ.‎ ‎ 极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为(　　)‎ A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 解析：选C.由ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，得，cos θ＝0或ρ＝4sin θ.当cos θ＝0时，θ＝(ρ∈R)，极坐标方程表示一条直线；当ρ＝4sin θ时，极坐标方程表示一个圆．故选C.‎ ‎ 若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析：选A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝，由0≤x≤1，得0≤y≤1，所以θ∈.故选A.‎ ‎ 在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则|AB|＝________．‎ 解析：将ρcos θ－ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x－y－1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，又(1，0)在直线x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.‎ 答案：2‎ ‎ 在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．‎ 解析：由知极坐标可化为(1，)，直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6可化为x＋y－6＝0.故所求距离为d＝＝＝1.‎ 答案：1‎ ‎ 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为、，求△AOB(其中O为极点)的面积．‎ 解：由题意知A，B的极坐标分别为、，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3.‎ ‎ 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，求a的值．‎ 解：由ρ＝4sin θ，可得x2＋y2＝4y，‎ 即x2＋(y－2)2＝4.‎ 由ρsin θ＝a，可得y＝a.‎ 设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．‎ 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.‎ 在Rt△DOB中，易求DB＝a，‎ 所以B点的坐标为.‎ 又因为B在圆x2＋y2－4y＝0上，所以＋a2－4a＝0，‎ 即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.故a的值为3.‎ ‎　　　　　　平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎[学生用书P214]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1.‎ ‎【解】　设伸缩变换为 由题知＋＝1，‎ 即x2＋y2＝1.‎ 与x2＋y2＝1比较系数，‎ 得故 所以伸缩变换为 即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆＋y2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆＋＝1.‎ 求经伸缩变换后的曲线方程的方法 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．‎ 解：由题意，把变换公式代入曲线 y′＝3sin 得 ‎3y＝3sin，‎ 整理得y＝sin，‎ 故f(x)＝sin.‎ 所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.‎ ‎2．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．‎ 解：设变换为代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即因此，经过变换后，直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4.‎ ‎　　　　　　极坐标与直角坐标的互化 ‎[学生用书P215]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【解】　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ 直角坐标与极坐标互化的方法 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只需运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可．‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(ρ≥0，0≤θ<2π)‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，‎ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，‎ 将两方程联立得解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．‎ ‎2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎　　　　　　曲线极坐标方程的应用 ‎[学生用书P215]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解】　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sin(α－)|‎ ‎＝2|sin(2α－)－|≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2016·高考全国卷Ⅰ改编)在直角坐标系xOy中，曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0(a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)将C1的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎2．(2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)求出圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′，若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．‎ 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0，故圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.‎ ‎(2)l：y＝2x关于点M(0，m)对称的直线l′的方程为y＝2x＋2m，而AB为圆C的直径，‎ 故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，故≤2，解得－2－≤m≤－2，于是，实数m的最大值为－2.‎ ‎ 曲线的极坐标方程化成直角坐标方程 对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．‎ ‎ 直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤 ‎(1)运用ρ＝，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎(2)在[0，2π)内由tan θ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)．‎ ‎ 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点 ‎(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．‎ ‎(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．‎ ‎[学生用书P347(单独成册)]‎ ‎1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1，‎ 从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2.‎ θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．‎ θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为.‎ 所以点P的直角坐标为，‎ 则点P的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为，点Q为线段PM的中点．‎ ‎(1)求点Q的轨迹C1的方程；‎ ‎(2)试判定轨迹C1和⊙C的位置关系，并说明理由．‎ 解：(1)由⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，‎ 所以⊙C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 又点M的极坐标为，‎ 所以点M的直角坐标为(0，4)．‎ 设点P(x0，y0)，点Q(x，y)，‎ 则有x＋(y0－1)2＝1.(*)‎ 因为点Q为线段PM的中点，‎ 所以 代入(*)得轨迹C1的方程为 x2＋＝.‎ ‎(2)因为⊙C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，‎ 而轨迹C1是圆心为，半径为的圆，‎ 所以两圆的圆心距为，等于两圆半径和，所以两圆外切．‎ ‎3．在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．‎ 解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，‎ 在Rt△OAM中，∠OMA＝90°，‎ ‎∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4.‎ 因为cos∠AOM＝，‎ 所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，‎ 即ρ＝4cos＝4cos，‎ 验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，‎ 故ρ＝4cos 为所求．‎ ‎(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，‎ 在Rt△OAP中，∠OPA＝90°，‎ 易得∠AOP＝，‎ 所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2.‎ 法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，‎ 所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos.‎ ‎(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，得ρ＝2，‎ 所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2.‎ ‎4．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos＝1.‎ ‎(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；‎ ‎(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．‎ 解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆．C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，‎ 由于圆心到直线的距离为d＝＝>1，‎ 所以直线与圆相离，‎ 即曲线C1和C2没有公共点．‎ ‎(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则，‎ 即①‎ 因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，‎ 所以ρ0cos＝1.②‎ 将①代入②，得cos＝1，‎ 即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为＋＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．‎ ‎1．已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程； ‎ ‎(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．‎ 解：(1)依题意得ρ＝2cos＝2，‎ 即ρ2＝2，‎ 可得x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 故C2的直角坐标方程为＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为 ρcos＝－1，‎ 即ρ＝－1，‎ 化为直角坐标方程为x＋y＋2＝0，‎ 由(1)知曲线C2是以(1，1)为圆心，为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝＝>r＝，‎ 于是直线与圆相离，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝5，射线OM：θ＝与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，‎ 则有 解得 设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，‎ 则有 解得 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，‎ 所以线段PQ的长为4.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的方程为y＝(tan α)x，其中α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求tan α的值．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ ‎4．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A、B都在曲线C1上，求＋的值．‎ 解：(1)因为C1的参数方程为 所以C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos θ(a为半径)，将D代入，‎ 得2＝2a×，‎ 所以a＝2，‎ 所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.‎ 所以ρ＝，‎ ρ＝ ‎＝.‎ 所以＋＝＋＝.‎