全国各地中考数学分类解析159套63专题专题39直角三角形与勾股定理

全国各地中考数学分类解析159套63专题专题39直角三角形与勾股定理

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题39：直角三角形与勾股定理 今升数学工作室 编辑 一、选择题 ‎1. （2012广东广州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【 】‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积。‎ ‎【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示。‎ 在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，‎ 根据勾股定理得：。‎ 过C作CD⊥AB，交AB于点D，‎ 则由S△ABC=AC•BC=AB•CD，得。‎ ‎∴点C到AB的距离是。故选A。‎ ‎2. （2012浙江湖州3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【 】‎ A．20 B．‎10 ‎‎ C．5 D． ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线性质。‎ ‎【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，‎ ‎∴CD=AB=5。故选C。‎ ‎3. （2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】‎ ‎　　A．90　　B．‎100　‎　C．110　　D．121‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】勾股定理的证明。‎ ‎【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，‎ 所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。‎ 所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，‎ 因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。‎ ‎4. （2012福建漳州4分）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】‎ ‎ A．45o B．60o C．75o D．90o ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】三角形的外角性质，直角三角形的性质。‎ ‎【分析】如图，∵∠1=90°-60°=30°，‎ ‎∴∠α=45°+30°=75°。故选C。‎ ‎5. （2012四川绵阳3分）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【 】。‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】如图，作DE⊥AB于点E。‎ ‎∵∠CBD=∠A，∴。‎ 设CD=a，则BC=‎2a，AC=‎4a，AD=AC-CD=‎3a，‎ 在Rt△BCD中，。‎ 在Rt△ABC中，。‎ 在Rt△ADE中，设DE=x，则AE=2x，‎ ‎∵AE2+DE2=AD2，即x2+（2x）2=‎9a2，解得：x= ，即DE=。‎ 在Rt△BDE中，。故选A。‎ ‎6. （2012辽宁本溪3分）如图 在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为【 】‎ A、16 B、‎15 ‎ C、14 D、13‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】连接AE，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，‎ ‎∴。‎ ‎∵DE是AB边的垂直平分线，∴AE=BE。‎ ‎∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16。故选A。‎ ‎7. （2012辽宁营口3分）在Rt△ABC中，若∠C=，BC=6，AC=8，则A的值为【 】‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】∵在Rt△ABC中，∠C=，BC=6，AC=8，‎ ‎ ∴根据勾股定理，得AB=10。‎ ‎　　　　∴A＝。故选C。‎ ‎8. （2012贵州贵阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【 】‎ A．3 B．‎2 C． D．1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】连接AF，‎ ‎∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF。‎ ‎∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°。‎ ‎∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°。‎ ‎∵DE=1，∴AE=2DE=2。‎ ‎∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2。故选B。‎ ‎9. （2012贵州毕节3分）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是【 】 ‎ A.2 B‎.2 ‎‎ C.4 D.4‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°－30°－90°=60°。‎ ‎∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD。∴∠A=∠ACD=30°。∴∠DCB=60°－30°=30°。‎ ‎∵BD=1，∴CD=2=AD。∴AB=1+2=3。‎ 在△BCD中，由勾股定理得：CB=。‎ 在△ABC中，由勾股定理得：。故选A。‎ ‎10. （2012广西河池3分）如图，在△ABC中，∠B=300，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=5，‎ 则CE的长为【 】‎ A．10 B．‎8 ‎‎ C．5 D．2.5‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长：‎ ‎∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BDE=90°。‎ ‎∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10。∴CE=BE=10。故选A。‎ ‎11. （2012广西来宾3分）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】‎ A．② B．①② C．①③ D．②③‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】勾股定理的逆定理。‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形，因此，对各选项逐一计算即可判断：‎ ‎ ①∵22+32=13≠42，∴以2，3，4为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；‎ ‎②∵32+42=52 ，∴以3，4，5为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；‎ ‎③∵12+（）2=22，∴以1，，2为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意。‎ 故构成直角三角形的有②③。故选D。‎ ‎12. （2012吉林长春3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE∥AB，‎ ‎∠ADE=42°，则∠B的大小为【 】‎ ‎(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平行线的性质，直角三角形两锐角的关系．‎ ‎【分析】∵DE∥AB，∠ADE=42°，∴∠CAB=∠ADE=42°。‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠B=90°－∠CAB=90°－42°=48°。故选C。‎ 二、填空题 ‎1. （2012四川资阳3分）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ▲ ．‎ ‎【答案】8或10。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心，勾股定理。‎ ‎【分析】由勾股定理可知：‎ ‎①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；‎ ‎②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= ，因此这个三角形的外接圆半径为10。‎ 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10。‎ ‎2. （2012四川南充3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是‎24cm2.则AC长是 ▲ cm. ‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，将△ADC旋转至△ABE处，则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为‎24cm2，,这时三角形△AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF，则AF=EC=FC, ‎ ‎∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。‎ ‎∴AC2=2AF2=‎48 AC=4。‎ ‎3. （2012山东烟台3分）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　 ▲ 　度．‎ ‎【答案】85。‎ ‎【考点】三角形内角和定理。‎ ‎【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可：‎ ‎∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°。‎ ‎∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°。‎ ‎4. （2012山东枣庄4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ▲ _．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。‎ ‎【分析】由于DE为△ABC的中位线，BC＝8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得DE＝4；又由于∠AFB＝90°，点D为AB的中点，AB＝5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得DF＝。因此EF＝DE－DF＝4－＝。‎ ‎5. （2012广西柳州3分）一个圆锥形的漏斗，小李用三角板测得其高度的尺寸如图所示，那么漏斗的斜 壁AB的长度为 ▲ cm．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】勾股定理。‎ ‎【分析】因为圆锥的底面半径、高及圆锥的母线构成直角三角形，所以根据题意知：圆锥的底面半径为‎3cm，‎ 高为‎4cm，故圆锥的母线长（cm）。‎ ‎6. （2012河北省3分）如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A= ▲ 。‎ ‎【答案】520。‎ ‎【考点】对顶角的性质，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】∵∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠AOC=，∠BOD=38°。‎ 又∵在Rt△ACO中，两锐角互余，∴。‎ ‎7. （2012新疆区5分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2=2π，则S3是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】勾股定理。‎ ‎【分析】如图，由圆的面积公式得，，‎ ‎ 解得，。‎ ‎ 根据勾股定理，得。‎ ‎ 。‎ ‎8. （2012甘肃白银4分）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】网格问题，勾股定理，割补法求面积。‎ ‎【分析】求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高：‎ ‎ 如图，根据正方形的性质，知面积①=面积②，面积③=面积④，从而得 ‎△ABC的面积为一个半正方形的面积。‎ 由勾股定理可得BC=，∴BC边上的高是。‎ ‎9. （2012吉林省3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为 半径画弧，交AB于点D，则BD= _ ▲____.‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】勾股定理，圆的性质。‎ ‎【分析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=。‎ ‎∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD=AC=3。∴BD=AB－AD=5－3=2。‎ ‎10. （2012青海省2分）如图，直线l1∥l2且l1，l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3=‎ ‎ ▲ 度．‎ ‎【答案】55。‎ ‎【考点】平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。190187‎ ‎【分析】如图，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°。‎ ‎ ∵∠1=∠2=35°，∴∠3+∠4=110°。‎ ‎∵∠P=90°，∠2=35°，∴∠4=90°﹣35°=55°。‎ ‎∴∠3=110°﹣55°=55°。　‎ ‎11. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，∠A=900，BC=4,有一个内角为600，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=300，则PB的长为 ▲ ．‎ ‎【答案】4或或。‎ ‎【考点】含30度角的直角三角形性质，直角三角形两锐角的关系，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。‎ ‎【分析】分两种情况考虑：‎ 当∠ABC=60°时，如图所示： ∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°。‎ 又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。‎ 又∵∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形。‎ 又∵BC=4，∴PB=4。‎ 当∠ABC=30°时， ‎ ‎（i）当P在A的右边时，如图所示：‎ ‎∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°。‎ 又∠B=30°，BC=4，‎ ‎∴，即 。‎ ‎（ii）当P在A的左边时，如图所示： ‎ ‎∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°。‎ 又∠B=30°，∴∠BCP=∠B。∴CP=BP。‎ 在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2。‎ 根据勾股定理得：，‎ ‎∴AP=AB－PB=－PB。‎ 在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（－PB）2=BP2，‎ 解得：BP=。‎ 综上所述，BP的长为4或或。‎ 三、解答题 ‎1. （2012北京市5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．‎ ‎【答案】解：过点D作DH⊥AC，‎ ‎∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。‎ 又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=。‎ ‎∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，‎ ‎∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ =3+。‎ ‎∴ 。‎ ‎【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，‎ ‎【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积。‎ ‎2. （2012浙江绍兴12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。‎ ‎【思考题】如图，一架‎2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为‎0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑‎0.4米，那么点B将向外移动多少米？‎ ‎（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：‎ 解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，‎ 则B‎1C=x+0.7，A‎1C=AC﹣AA1=‎ 而A1B1=2.5，在Rt△A1B‎1C中，由得方程 ，‎ 解方程得x1= ，x2= ，‎ ‎∴点B将向外移动 米。‎ ‎（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：‎ ‎【问题一】在“思考题”中，将“下滑‎0.4米”改为“下滑‎0.9米”，那么该题的答案会是‎0.9米吗？为什么？‎ ‎【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？‎ 请你解答小聪提出的这两个问题。‎ ‎【答案】解：（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8。‎ ‎（2）①不会是‎0.9米，理由如下：‎ 若AA1=BB1=0.9，则A‎1C=2.4﹣0.9=1.5，B‎1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，‎ ‎∵，∴该题的答案不会是‎0.9米。‎ ‎②有可能。理由如下：‎ 设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，‎ 则有，解得：x=1.7或x=0（舍去）。‎