高考理科数学复习练习作业25
题组层级快练(二十五)
1．函数y＝tan(－x)的定义域是( )
A．{x|x≠} B．{x|x≠－}
C．{x|x≠kπ＋，k∈Z} D．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
答案 D
解析 y＝tan(－x)＝－tan(x－)，由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故选D.
2．函数y＝2sin(－2x)(x∈[0，π])的增区间是( )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
答案 C
解析 ∵y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z，∴当k＝0时，增区间为[，]．
3．已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋)(θ∈[－，])是偶函数，则θ的值为( )
A．0 B.
C. D.
答案 B
解析 因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又因为θ∈[－，]，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意，故选B.
4．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
答案 D
解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，则T＝＝且为偶函数．
5．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是
( )
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝sinxcosx
C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cos2x－sin2x
答案 D
解析 因为对任意x∈R有f(x)＝f(－x)且f(x－π)＝f(x)，所以f(x)为偶函数且f(x)的最小正周期为π.故A，C错．B项中，f(x)＝sinxcosx＝sin2x为奇函数，故B错，D项中，f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，满足条件，故选D.
6．(2017·北京朝阳区期末)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
f(x2)，则下列结论中，必成立的是( )
A．x1>x2 B．x1＋x2>0
C．x1x22
答案 D
9．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 依题意得3cos(＋φ)＝0，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－π(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.
10．已知函数y＝sinωx在[－，]上是增函数，则ω的取值范围是( )
A．[－，0) B．[－3，0)
C．(0，] D．(0，3]
答案 C
解析 由于y＝sinx在[－，]上是增函数，为保证y＝sinωx在[－，]上是增函数，所以ω>0且·ω≤，则0<ω≤.故选C.
11．(2017·辽宁大连模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
答案 A
解析 因为f(x)的最小正周期为6π，所以ω＝.因为当x＝时，f(x)有最大值，所以×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)．因为－π<φ≤π，所以φ＝.所以f(x)＝2sin(＋)，由此函数验证易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没有单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．故选A.
12．(2016·天津，文)已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，]∪[，1)
C．(0，] D．(0，]∪[，]
答案 D
解析 f(x)＝(1－cosωx)＋sinωx－＝sinωx－cosωx＝sin(ωx－)，当ω＝时，f(x)＝sin(x－)，x∈(π，2π)时，f(x)∈(，]，无零点，排除A、B；当ω＝时，f(x)＝sin(x－)，x∈(π，2π)时，存在x使f(x)＝0，有零点，排除C.故选D.
13．若y＝cosx在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________．
答案 －π<α≤0
14．将函数y＝sin(ωx＋φ)(<φ<π)的图像，仅向右平移，或仅向左平移，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________．
答案
解析 注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有＝π－(－π)＝2π，T＝4π，即＝4π，ω＝.
15．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图像的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的初相是________．
答案 π
解析 f′(x)＝cosx－asinx，∵x＝为函数f(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴，
∴f′()＝cos－asin＝0，解得a＝－.
∴g(x)＝－sinx＋cosx＝(－sinx＋cosx)＝sin(x＋)．
16．(2016·北京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
答案 (1)1 (2)[kπ－，kπ＋](k∈Z)
解析 (1)因为f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋)，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.依意题，＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)．
函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
17．(2016·天津，理)已知函数f(x)＝4tanxsin(－x)cos(x－)－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[－，]上的单调性．
答案 (1){x|x≠＋kπ，k∈Z} T＝π
(2)增区间[－，]，减区间[－，－]
解析 (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
f(x)＝4tanxcosxcos(x－)－＝4sinxcos(x－)－＝4sinx(cosx＋sinx)－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sinz的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝[－，]，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝[－，]．
所以，当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，在区间[－，－]上单调递减．
18．(2016·山东，文)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g()的值．
答案 (1)增区间[kπ－，kπ＋](k∈Z)
(2)
解析 (1)f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝2sin2x－(1－2sinxcosx)
＝(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－cos2x＋－1＝2sin(2x－)＋－1，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(或(kπ－，kπ＋)(k∈Z))
(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x－)＋－1，
把y＝f(x)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y＝2sin(x－)＋－1的图像，再把得到的图像向左平移个单位，
得到y＝2sinx＋－1的图像，即g(x)＝2sinx＋－1.
所以g()＝2sin＋－1＝.
1．(2017·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是
( )
A．f(0)＝1 B．f(0)＝0
C．f′(0)＝1 D．f′(0)＝0
答案 D
解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)是偶函数，有φ＝kπ＋，k∈Z.∴f(x)＝±cosωx.而f′(x)＝±ωsinωx，∴f′(0)＝0，故选D.
2．已知函数f(x)＝cos·cos(＋2x)，则函数f(x)满足( )
A．f(x)的最小正周期是2π
B．若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2
C．f(x)的图像关于直线x＝对称
D．当x∈[－，]时，f(x)的值域为[－，]
答案 C
解析 因为f(x)＝－(－sin2x)＝sin2x，其最小正周期T＝＝π，所以A项不正确；B
项显然不正确；由2x＝＋kπ，得x＝＋(k∈Z)，当k＝1时，函数f(x)的图像的对称轴为x＝，所以C项正确；当x∈[－，]时，2x∈[－，]，所以－≤sin2x≤，所以D项不正确．故选C.
3．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
答案 C
解析 f(x)＝sinωx＋cosωx＝2(sinωx×＋cosωx×)＝2sin(ωx＋)，
令f(x)＝1，得sin(ωx＋)＝.
∴ωx1＋＝＋2kπ或ωx2＋＝＋2kπ.
∵|x1－x2|min＝，∴ω(x2－x1)＝，∴ω＝2，∴T＝＝π.
4．(2015·天津，文)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
答案
解析 f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，因为函数f(x)的图像关于直线x＝ω对称，所以f(ω)＝sin(ω2＋)＝±，所以ω2＋＝＋kπ，k∈Z，即ω2＝＋kπ，k∈Z，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋≤，即ω2≤，取k＝0，得ω2＝，所以ω＝.
5．(2017·重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为( )
A．2π B.
C．π D.
答案 A
解析 f(x)＝(1＋tanx)cosx＝·cosx＝2cos(x－)，则T＝2π.
6．函数g(x)＝sin22x的单调递增区间是( )
A．[，＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[＋，＋](k∈Z) D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
答案 A
7．将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
答案 B
解析 y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到y＝3sin＝3sin.
令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.
则y＝3sin的增区间为，k∈Z.
令k＝0得其中一个增区间为，故B正确．
画出y＝3sin在上的简图，如图，可知y＝3sin在上不具有单调性，故C，D错误．
8．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
答案 A
解析 对于选项A，注意到y＝sin(2x＋)＝cos2x的周期为π，且在[，]上是减函数，故选A.
9．已知f(x)＝sin2x＋sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )
A．π，[0，π] B．2π，[－，]
C．π，[－，] D．2π，[－，]
答案 C
解析 由f(x)＝sin2x＋(1－cos2x)＝，得该函数的最小正周期是π.当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋]，其中k∈Z.由k＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－，]，结合各选项知，选C.
10．已知函数f(x)＝cos(x＋)·sinx，则函数f(x)的图像( )
A．关于直线x＝对称 B．关于点(，－)对称
C．最小正周期为2π D．在区间(0，)上为减函数
答案 A
解析 化简f(x)＝cos(x＋)·sinx＝(cosx－sinx)·sinx＝(sin2x＋cos2x－1)＝sin(2x＋)－，则该函数图像的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，A正确；其对称中心(－＋，－)，k∈Z，B不正确；其最小正周期为π，C不正确；令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，D不正确，故选A.
11．若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝sin＝sin的图像．
∵g(x)＝sin的图像关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z.
因此当k＝－1时，φ有最小正值.
