高考新课标丙卷全国Ⅲ理科数学试题附答案

高考新课标丙卷全国Ⅲ理科数学试题附答案

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试·丙卷(全国卷Ⅲ)‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）设集合，则=‎ ‎(A) [2，3] (B)（，2] [3,+）‎ ‎(C) [3，+） (D)（0，2] [3，+）‎ ‎（2）若，则 ‎ ‎(A) 1 (B) 1 (C) i (D) i ‎（3）已知向量 , ,则=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。下面叙述不正确的是 ‎(A) 各月的平均最低气温都在0℃以上 ‎(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 ‎(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 ‎(D) 平均气温高于20℃的月份有5个 ‎（5）若 ，则 ‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎（6）已知，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）执行如图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=‎ ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎（8）在中，，BC边上的高等于，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎（10）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若ABBC，AB=6，BC=8，，则的最大值是 ‎（A）4π （B） （C）6π （D） ‎ ‎（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有 ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎（13）若，y满足约束条件 ，则的最大值为___________．‎ ‎（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎（15）已知为偶函数，当时，，则曲线，在点处的切线方程是_______________．‎ ‎（16）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点．若，则=____________．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和，其中．‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 ‎（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：，，，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.‎ ‎（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设函数，其中，记的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求；‎ ‎（Ⅲ）证明．‎ 请考生在（22）、（23）、（24）题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．‎ ‎（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；‎ ‎（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试·丙卷（新课标Ⅲ）‎ 理科数学答案 ‎(1)D【解析】，所以，故选D．‎ ‎(2)C【解析】，故选C．‎ ‎(3)A【解析】由题意得，‎ 所以，故选A．‎ ‎(4)D【解析】由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个，D不正确，故选D．‎ ‎(5)A【解析】由，，得，或 ‎，，所以，‎ 则，故选A．‎ ‎(6)A【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．‎ ‎(7)B【解析】第一次循环，得；第二次循环，得，；第三次循环，得；第四次循环，得，此时，退出循环，输出的，故选B．‎ ‎(8)C【解析】设△中角，，的对边分别是，，，由题意可得 ‎，则．在△中，由余弦定理可得 ‎，则．‎ 由余弦定理，可得，故选C．‎ ‎(9)B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为和3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+)=54 +．‎ ‎(10)B【解析】由题意可得若y最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径，该球的体为 ‎，故选B．‎ ‎(11)A【解析】设，则直线的方程为，由题意可知，‎ 和三点共线，则，化简得，‎ 则的离心率．故选A．‎ ‎(12)C【解析】由题意可得，，，，…，中有3个O、3个1，且满足对任意≤8，都有，，…，中O的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．‎ ‎(13)【解析】约束条件对应的平面区域是以点、和 为顶点的三角形，当目标函数经过点时，取得最大值．‎ ‎(14)【解析】函数的图像可由函数 的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎(15)【解析】由题意可得当时,，则，‎ ‎，则在点处的切线方程为，即．‎ ‎(16)4【解析】设圆心到直线的距离为，则弦长 ‎，得，即，解得，‎ 则直线，数形结合可得．‎ ‎（17）【解析】（Ⅰ）由题意得，故，，.‎ 由，得，即.‎ 由，且得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，‎ 解得．‎ ‎（18）【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，‎ ‎.‎ 所以，关于的回归方程为：.‎ 将2016年对应的代入回归方程得：.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.‎ ‎（19）【解析】（Ⅰ）由已知得，‎ 取的中点，连接．‎ 由为中点知，. ‎ 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 设为平面的法向量，则，即，‎ 可取，‎ 于是.‎ ‎（20）【解析】由题设.设，则，且 ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为.‎ ‎（Ⅰ）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则 ‎.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.‎ ‎（21）【解析】（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 因此，．‎ 当时，将变形为．‎ 令，则是在上的最大值，，‎ ‎，且当时，取得极小值，‎ 极小值为．‎ 令，解得（舍去），．‎ ‎（ⅰ）当时，在内无极值点，，，‎ ‎，所以．‎ ‎（ⅱ）当时，由，知．‎ 又，所以．‎ 综上，．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得.‎ 当时，.‎ 当时，，所以.‎ 当时，，所以.‎ ‎22. 【解析】（Ⅰ）连结，则.‎ 因为，所以，又，所以.‎ 又，所以， 因此.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.‎ ‎23.【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，‎ 所以 的最小值，即为到的距离的最小值，‎ ‎. ‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，‎ 此时的直角坐标为. ‎ ‎24. 【解析】（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式，得.‎ 因此，的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，当时等号成立，‎ 所以当时，等价于 ① ‎ 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是.‎