高考数学一轮复习讲义—18

高考数学一轮复习讲义—18

‎ ‎ 第18讲 随机抽样 一．【课标要求】‎ ‎1．能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；‎ ‎2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；‎ ‎3．在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法；‎ ‎4．能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据 二．【命题走向】‎ 统计是在初中数学统计初步的深化和扩展，本讲的主要内容是随机抽样的方法在总体中抽取样本。‎ 预测2010年高考对本讲的考察是：‎ ‎（1）以基本题（中、低档题为主），多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础的知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；‎ ‎（2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法 三．【要点精讲】‎ 三种常用抽样方法：‎ ‎1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法 ‎（1）抽签法 制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；‎ 抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取次；‎ 成样：对应号签就得到一个容量为的样本。‎ 抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法 ‎（2）随机数表法 编号：对总体进行编号，保证位数一致；‎ 数数：当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。‎ 成样：对应号签就得到一个容量为的样本 结论：‎ ‎ ① 用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；‎ ‎② 基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；‎ ‎③ 简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样。‎ ‎2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。‎ 系统抽样的步骤可概括为：‎ ‎（1）将总体中的个体编号。采用随机的方式将总体中的个体编号；‎ 第 6 页 共 6 页 ‎ ‎ ‎（2）将整个的编号进行分段。为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔.当是整数时，；当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N´能被整除，这时；‎ ‎（3）确定起始的个体编号。在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号；‎ ‎（4）抽取样本。按照先确定的规则（常将加上间隔）抽取样本：。‎ ‎3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层 结论：‎ ‎（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于；‎ ‎（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛 四．【典例解析】‎ 题型1：统计概念及简单随机抽样 例1．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）‎ A．1000名运动员是总体 B．每个运动员是个体 C．抽取的100名运动员是样本 D．样本容量是100‎ 解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。‎ 答案：D 点评：该题属于易错题，一定要区分开总体与总体容量、样本与样本容量等概念。‎ 例2．今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。问：① 总体中的某一个体在第一次抽取时被抽到的概率是多少?② 个体不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?③ 在整个抽样过程中，个体被抽到的概率是多少?‎ 解析：（1），（2），（3）。‎ 点评：由问题(1)的解答，出示简单随机抽样的定义，问题( 2 )是本讲难点。基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性 题型2：系统抽样 例3．为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本。‎ 解析：（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．‎ ‎（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行．‎ 点评：总体中的每个个体被剔除的概率相等，也就是每个个体不被剔除的概率相等.采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是 第 6 页 共 6 页 ‎ ‎ ‎，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是。‎ 例4．（2008年湖南理，15）‎ ‎.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体 和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从 每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样 本中的概率，则= ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于 .‎ ‎【答案】 , 6‎ ‎【解析】第二空可分:‎ ‎①当 时, ;‎ ‎②当 时, ;‎ ‎③当时, ;‎ 所以 点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行 ‎(2009年广东卷文)（本小题满分13分）‎ 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图 如图7.‎ ‎(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;‎ ‎(2)计算甲班的样本方差 ‎(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 ‎173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.‎ 解析 （1）由茎叶图可知：甲班身高集中于 之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平 第 6 页 共 6 页 ‎ ‎ 均身高高于甲班;‎ ‎ (2) ‎ ‎ 甲班的样本方差为 ‎ ＝57‎ ‎ （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；‎ ‎ 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）‎ ‎ （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）‎ ‎ (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；‎ ‎ ；‎ 题型3：分层抽样 例5．（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；‎ 乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核 ‎（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；‎ ‎（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率 ‎ 解析 本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率.‎ 解 （1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽 取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人.‎ ‎（2）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则 ‎ 第 6 页 共 6 页 ‎ ‎ ‎（3）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，‎ 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，‎ ‎ 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。 ‎ ‎ 与独立， ，且 故 点评：本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。‎ 例6．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）‎ A．30人，30人，30人　　 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，10人　 D．30人，50人，10人 解析：B；‎ 点评：根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数。‎ 题型4：综合问题 例7．（1）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 分析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.‎ 依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.‎ 答案：B ‎（2）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎ ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；‎ ‎ ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；‎ ‎ ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；‎ ‎ ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；‎ ‎ 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） ‎ 第 6 页 共 6 页 ‎ ‎ ‎ A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样 解析：D。‎ 点评：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。‎ 五．【思维总结】‎ 常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：‎ 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 从总体中逐个抽取 总体中的个数比较少 系统抽样 将总体均匀分成几个部分，按照事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个数比较多 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单抽样或者相同抽样 总体由差异明显的几部分组成 不放回抽样和放回抽样：在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样。‎ 随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样 第 6 页 共 6 页