新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理应用
第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用
探究一 利用正、余弦定理解三角形
例 1 (1)在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,已知 AC=
7
,CD=2,∠CDA=
π
3
,则 AD= ;sin
B= .
(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
cos -2cos
cos
=
2 -
.
①求
sin
sin
的值;
②若 cos B=
1
4
,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.
答案 (1)3;
3 57
38解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理的推论,知
cos∠CDA=
2
+C 2
-A 2
2
·
,
即
1
2
=
2
+4-7
4
,
解得 AD=3(负值舍去).
在△ADB 中,由余弦定理,知
AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=9+4+2×3×2×
1
2
=19,
所以 AB=
19
(负值舍去),
又由正弦定理,知
sin
∠
=
sin
,
所以 sin B=
·
sin
∠
=
3
×
3
2
19
=
3 57
38
.
(2)①由正弦定理,设
sin
=
sin
=
sin
=k,
则
2 -
=
2 sin - sin
sin
=
2sin -sin
sin
,
所以
cos -2cos
cos
=
2sin -sin
sin
,
即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)·cos B,
化简,得 sin(A+B)=2sin(B+C),
又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A.
所以
sin
sin
=2.
②由
sin
sin
=2,得 c=2a.由余弦定理及 cos B=
1
4
,
得 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2×
1
4
=4a2,
所以 b=2a,又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2.
思维突破
与解三角形有关的问题,首先要结合已知条件,选用恰当的余弦定理或正弦定理求解,
过程中注意边角的互化和等式的恒等变形.
1-1 在△ABC 中,已知 A=30°,AB=2,BC=
6
,则 cos∠ACB= ,AC= .
答案
30
6
;
3
+
5解析 根据正弦定理,得
sin
=
sin
∠
,
可得 sin∠ACB=
·
sin
=
2
×
1
2
6
=
6
6
,故 cos∠ACB=
30
6
,
因为 cos A=
2
+A 2
-B 2
2
·
=
22
+A 2
-( 6)2
2
×
2
×
=
3
2
,
所以 AC=
3
+
5
(负值舍去).
1-2 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=
4
5
,cos C=
5
13
,a=1,则 b= .
答案
21
13解析 在△ABC 中,由 cos A=
4
5
,cos C=
5
13
,可得 sin A=
3
5
,sin C=
12
13
,
所以 sin B=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C=
63
65
,
由正弦定理得 b=
sin
sin
=
21
13
.
探究二 判定三角形的形状
例 2 若 a2+b2-c2=ab,且 2cos Asin B=sin C,试确定△ABC 的形状.
解析 解法一:(利用边的关系来判断)
由正弦定理得
sin
sin
=
,
由 2cos Asin B=sin C,得 cos A=
sin
2sin
=
2
.
又由余弦定理的推论,得 cos A=
2
+ 2
- 2
2
,
∴
2
=
2
+ 2
- 2
2
,
即 c2=b2+c2-a2,所以 a2=b2,所以 a=b.
又∵a2+b2-c2=ab,∴2b2-c2=b2,
所以 b2=c2,
∴b=c,∴a=b=c.
∴△ABC 为等边三角形.
解法二:(用角的关系来判断)
∵A+B+C=180°,∴sin C=sin(A+B),
又∵2cos Asin B=sin C,
∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
∴sin(A-B)=0.
又∵A 与 B 均为△ABC 的内角,
∴A=B.
又由 a2+b2-c2=ab,
由余弦定理的推论,得 cos C=
2
+ 2
- 2
2
=
2
=
1
2
,
又 0°
π
2
,
又∠A>0,∴0<∠A<
π
6
,
则 0
3
,
∴
>
1
2
+
3
2
×
3
=2.
故
的取值范围为(2,+∞).
3-2 在△ABC 中,BC=2
3
,AC=3,∠BAC=2∠B,D 是 BC 上一点且 AD⊥AC,则△ABD 的面积
为 .
答案
2
10解析 如图所示,
∵BC=2
3
,AC=3,∠BAC=2∠B,
∴在△ABC 中,由正弦定理
sin
∠
=
sin
=
sin
,
可得
2 3
sin
∠
=
3
sin
=
2 3
2sin cos
,
解得 cos B=
3
3
,可得 sin B=
1-cos
2
B
=
6
3
,
∴cos∠BAC=cos 2B=2cos2B-1=-
1
3
.
∵AD⊥AC,
∴sin∠BAD=sin ∠
-
π
2=-cos∠BAC=
1
3
,
可得 cos∠BAD=
1-sin
2
∠
BAD
=
2 2
3
,
∴sin∠ADB=sin(∠BAD+B)=
1
3
×
3
3
+
2 2
3
×
6
3
=
5 3
9
.
∵在△ABC 中,由余弦定理可得 32=AB2+(2
3
)2-2AB×2
3
×
3
3
,解得 AB=1 或 AB=3.
若 AB=AC=3,则 B=C.
由∠BAC=2∠B 可得 B=C=
π
4
,A=
π
2
,即 B 和 D 重合,矛盾,∴AB=3 舍去.
∴AB=1,
∴在△ABD 中,由正弦定理,得
sin
∠
=
sin
,
∴AD=
·
sin
sin
∠
=
3 2
5
,
∴S△ABD=
1
2
AB·AD·sin∠BAD=
1
2
×AB×AD×
1
3
=
2
10
.
1.在△ABC 中,内角 C 为钝角,sin C=
3
5
,AC=5,AB=3
5
,则 BC=( )
A.2 B.3 C.5 D.10
答案 A 由题意知,cos C=-
4
5
,设 BC=x,
由余弦定理,得(3
5
)2=52+x2-2×5x·
-
4
5
,
化简,得 x2+8x-20=0,解得 x1=2,x2=-10(舍去),所以 BC=2.
2.在△ABC 中,已知 BC=1,B=
π
3
,则△ABC 的面积为
3
,则 AC 的长为 .
答案
13解析 由三角形面积公式得
1
2
·BC·AB·sin B=
3
,
解得 AB=4,
由余弦定理,得 AC2=1+16-2×1×4×
1
2
=13,
所以 AC 的长为
13
.
3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=
7
,b=2,A=60°,则 sin
B= ,c= .
答案
21
7
;3
解析 因为 a=
7
,b=2,A=60°,
所以由正弦定理,得 sin B=
sin
=
2
×
3
2
7
=
21
7
.
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,
可得 c2-2c-3=0,所以 c=3(负值舍去).
4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sin2C-sin2B=sin2A-
3
sin Asin B.
(1)求角 C;
(2)若 A=
π
6
,△ABC 的面积为 4
3
,M 为 AB 的中点,求 CM 的长.
解析 (1)由正弦定理,知 sin2C-sin2B=sin2A-
3
sin A·sin B 可化为
c2-b2=a2-
3
ab,
即 c2=a2+b2-
3
ab.
又由余弦定理,得 cos C=
2
+ 2
- 2
2
=
3
2
,00,
∴sin A=1,即 A=
π
2
,
∴△ABC 为直角三角形.
2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 asin B·cos C+csin Bcos A=
1
2
b,且 a>b,
则 B=( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6答案 A 由正弦定理,
得 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A
=
1
2
sin B.
∵sin B≠0,
∴sin Acos C+sin Ccos A=
1
2
,
即 sin(A+C)=
1
2
,
∴sin B=
1
2
,
∵a>b,∴B 为锐角,
∴B=
π
6
.
3.在平行四边形 ABCD 中,AC=
65
,BD=
17
,周长为 18,则平行四边形 ABCD 的面积是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
答案 C 设平行四边形 ABCD 的两邻边 AD=b,AB=a,∠BAD=α,
则 a+b=9,a2+b2-2abcos α=17,
a2+b2-2abcos(180°-α)=65,
解得 a=5,b=4,cos α=
3
5
,
或 a=4,b=5,cos α=
3
5
,
所以 S▱ABCD=absin α=16.
4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b2+c2=a2+bc.若 sin B·sin C=sin2A,则△ABC
是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案 C 由 b2+c2=a2+bc,得 b2+c2-a2=bc,
∴cos A=
2
+ 2
- 2
2
=
1
2
,
∵A∈(0,π),∴A=
π
3
.
若 sin B·sin C=sin2A,
则 bc=a2,∴b2+c2-2bc=0,
∴(b-c)2=0,
即 b=c,∴△ABC 是等边三角形.
5.如图,在△ABC 中,C=
π
3
,BC=4,点 D 在边 AC 上,AD=DB,DE⊥AB,E 为垂足,若 DE=2
2
,则 cos
A= .
答案
6
4解析 在△ADE 中,∵DE⊥AB,DE=2
2
,
∴AD=
2 2
sin
.
∵AD=BD,∴BD=
2 2
sin
,∠A=∠ABD,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,
∴在△BCD 中,
sin
π
3
=
sin2
,
∴ 2 2
sin
3
2
=
4
sin2
,化简整理得 cos A=
6
4
.
6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 b2=ac,a2-c2=ac-bc,则
sin
= .
答案
2 3
3解析 由 a2-c2=ac-bc 与 b2=ac,
得 a2-c2=b2-bc,
∴b2+c2-a2=bc,
∴cos A=
2
+ 2
- 2
2
=
1
2
.
∵A∈(0,π),∴A=
π
3
,
由 b2=ac,得 bsin B=csin A,
∴
sin
=
1
sin
=
2 3
3
.
7.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 b=acos C+
1
2
c.
(1)求角 A;
(2)若
·
=3,求 a 的最小值.
解析 (1)∵在△ABC 中,b-acos C=
2
,
∴由正弦定理知,sin B-sin Acos C=
1
2
sin C,
∵A+B+C=π,
∴sin B=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin Acos C+cos Asin C-sin Acos C=
1
2
sin C,
∴cos Asin C=
1
2
sin C,
∵sin C≠0,∴cos A=
1
2
,∴A=
π
3
.
(2)由(1)及
·
=3 得 bc=6,
∴a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-6≥2bc-6=6,
当且仅当 b=c 时取等号,
∴a 的最小值为
6
.
8.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=
2
,则
C=( )
A.
π
12
B.
π
6C.
π
4
D.
π
3答案 B 由题意,
得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,
所以 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
则 sin C(sin A+cos A)
=
2
sin Csin
+
π
4
=0.
因为 sin C≠0,所以 sin
+
π
4
=0,
又因为 A∈(0,π),所以 A+
π
4
=π,
所以 A=
3π
4
.
由正弦定理
sin
=
sin
,
得
2
sin
3π
4
=
2
sin
,
所以 sin C=
1
2
,所以 C=
π
6
.
9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 csin A=
3
acos C,则 C= ;若
c=
31
,△ABC 的面积为
3 3
2
,则 a+b= .
答案
π
3
;7
解析 由正弦定理可得
sin Csin A=
3
sin Acos C,
又 sin A≠0,∴tan C=
3
,∴C=
π
3
.
∵
1
2
absin C=
3 3
2
,∴ab=6,由余弦定理得,31=a2+b2-ab,∴31=(a+b)2-3ab,∴a+b=7(负值舍去).
10.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边.若△ABC 的面积为
2
4
,A=15°,则
+
的值
为 .
答案
6解析 因为△ABC 的面积 S=
1
2
bcsin A=
2
4
,
所以 2bc=
2
sin
.
所以 cos A=
2
+ 2
- 2
2
=
2
+ 2
2
-
2
2
=
2
+ 2
2
-
2
2
sin
=
2
+ 2
2
-sin A,
所以
+
=
2
+ 2
=2(sin A+cos A)
=2
2
sin(A+45°)=2
2
×sin 60°=
6
.
11.已知在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 c-a=2acos B,则
sin2
A
sin( - )
的
取值范围是 .
答案
1
2 ,
2
2解析 由 c-a=2acos B,得 sin C-sin A=2sin Acos B,
∴sin(A+B)-sin A=2sin Acos B,
∴sinAcos B+cos Asin B-2sin Acos B-sin A=0,
∴sin(B-A)-sin A=0,
∴sin(B-A)=sin A,
∴B-A=A,即 B=2A.
∵△ABC 为锐角三角形,
∴ 0
π
2 ,
0
π
2 ,
0
π
2 ,
即
π
6
1).
(1)若λ=
3
,证明:△ABC 为直角三角形;
(2)若
·
=
9
8
λ2,且 c=3,求λ的值.
解析 (1)证明:∵λ=
3
,∴a+b=
3
c,
由正弦定理得 sin A+sin B=
3
sin C,
∵C=
π
3
,∴sin B+sin
2π
3 -B
=
3
2
,
即 sin B+
3
2
cos B+
1
2
sin B=
3
2
,
∴
3
2
sin B+
3
2
cos B=
3
2
,
则 sin
+
π
6
=
3
2
,
从而 B+
π
6
=
π
3
或 B+
π
6
=
2π
3
,
解得 B=
π
6
或 B=
π
2
.
若 B=
π
6
,则 A=
π
2
,即△ABC 为直角三角形;
若 B=
π
2
,则△ABC 为直角三角形.
故△ABC 为直角三角形.
(2)若
·
=
9
8
λ2,则
1
2
a·b=
9
8
λ2,
∴ab=
9
4
λ2.
由余弦定理知 a2+b2-c2=2abcos C,
即 a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,
又 a+b=3λ,故 9λ2-
27
4
λ2=9,解得λ2=4,
又λ>1,∴λ=2.
14.已知△ABC 是边长为 3 的等边三角形,点 D 为 BC 边上一点,且 BD=1,E,F 分别为边 AC,AB
上的点(不包括端点),则△DEF 的周长的最小值为 ,此时△BDF 的面积为 .
答案
21
;
5 3
16解析 如图,设 D 关于直线 AB 的对称点为 M,关于 AC 的对称点为 N,连接 DM,交 AB 于点 P,
连接 DN,交 AC 于点 Q,连接 MN,分别与 AB,AC 交于点 F,E,则△DEF 的周长的最小值为 MN.
∵BD=1,即 D 为 BC 的三等分点,
∴DM=2DP=
3
,DN=2DQ=2
3
,
又∠MDN=120°,
∴在△DMN 中,
MN=
3 + 12-2
×
3
×
2 3
×
-
1
2=
21
.
由 Rt△DPF 与 Rt△MPF 全等,得 DF=MF.
在△MDN 中,DM=
3
,DN=2
3
,MN=
21
,
由余弦定理的推论得 cos M=
2
7
,
DF=MF=
3
2
×
7
2
=
21
4
.
在 Rt△DPF 中,DP=
3
2
,DF=
21
4
,
∴PF=
3
4
.易知 BP=
1
2
,
∴△BDF 的面积 S=
1
2
BF×DP=
1
2
×
1
2 +
3
4
×
3
2
=
5 3
16
.
15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).
(1)求 B;
(2)若 AB=8,点 M,N 是线段 BC 的两个三等分点,BM=
1
3
BC,
=2
3
,求 AM 的值.
解析 (1)∵c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a),
∴由正弦定理得 c2-ca=b2-a2,
∴a2+c2-b2=ca,∴cos B=
2
+ 2
- 2
2
=
1
2
,
又 0
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