2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷(含解析）

2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷(含解析）

‎2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．请按答题卷中的要求作答）‎ ‎1．（5分）下列各数中，是负数的为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．0.2 D．‎‎1‎‎2‎ ‎2．（5分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）下列运算正确的是（　　）‎ A．x2•x3＝x6 B．x6÷x3＝x3 ‎ C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣6x3‎ ‎4．（5分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）‎ A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0‎ ‎5．（5分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）‎ A．x2﹣x‎+‎1‎‎4‎=‎0 B．x2+2x+4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣2x＝0‎ ‎6．（5分）不等式组‎2(x-2)≤2-x，‎x+2‎‎2‎‎＞‎x+3‎‎3‎的解集是（　　）‎ A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2‎ ‎7．（5分）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎3‎‎4‎ ‎8．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y‎=‎cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ 第19页（共19页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（　　）‎ A．2‎5‎ B．5 C．4‎5‎ D．10‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎10．（5分）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝　 　°．‎ ‎11．（5分）分解因式：am2﹣an2＝　 　．‎ ‎12．（5分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：‎ 移植的棵数n ‎200‎ ‎500‎ ‎800‎ ‎2000‎ ‎12000‎ 成活的棵数m ‎187‎ ‎446‎ ‎730‎ ‎1790‎ ‎10836‎ 第19页（共19页）‎ 成活的频率mn ‎0.935‎ ‎0.892‎ ‎0.913‎ ‎0.895‎ ‎0.903‎ 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为　 　．（精确到0.1）‎ ‎13．（5分）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于‎1‎‎2‎AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为　 　．‎ ‎14．（5分）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°．若将扇形BAC剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为　 　．‎ ‎15．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　 　．‎ 三、解答题（本大题共8小题，共75分）‎ ‎16．（6分）计算：（﹣1）2+|‎-‎‎2‎|+（π﹣3）0‎-‎‎4‎．‎ ‎17．（7分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中x‎=-‎‎2‎．‎ ‎18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．‎ ‎（1）求证：AE＝CF；‎ ‎（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．‎ 第19页（共19页）‎ ‎19．（10分）为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10%进行测试，将这些学生的测试成绩（x）分为四个等级：优秀85≤x≤100；良好75≤x＜85；及格60≤x＜75；不及格0≤x＜60，并绘制成如图两幅统计图．‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是　 　；‎ ‎（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；‎ ‎（3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数．‎ ‎20．（9分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）‎ ‎21．（11分）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．‎ ‎（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？‎ ‎（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，‎ 第19页（共19页）‎ B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？‎ ‎22．（11分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：DP是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC＝5，sin∠APC‎=‎‎5‎‎13‎，求AP的长．‎ ‎23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．‎ ‎①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；‎ ‎②是否存在点P，使S△A′MN‎=‎‎5‎‎6‎S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．‎ 第19页（共19页）‎ ‎2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．请按答题卷中的要求作答）‎ ‎1．（5分）下列各数中，是负数的为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．0.2 D．‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：﹣1是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；‎1‎‎2‎是正数．‎ 故选：A．‎ ‎2．（5分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从上面看是四个正方形，符合题意的是C，‎ 故选：C．‎ ‎3．（5分）下列运算正确的是（　　）‎ A．x2•x3＝x6 B．x6÷x3＝x3 ‎ C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣6x3‎ ‎【解答】解：A、x2•x3＝x5，选项错误．不符合题意；‎ B、x6÷x3＝x3，选项正确，符合题意；‎ C、x3+x3＝2x3，选项错误，不符合题意；‎ D、（﹣2x）3＝﹣8x3，选项错误，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎4．（5分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）‎ A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0‎ ‎【解答】解：如图所示：A、a＜b，故此选项错误；‎ B、|a|＞|b|，正确；‎ C、﹣a＞b，故此选项错误；‎ 第19页（共19页）‎ D、a+b＜0，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎5．（5分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）‎ A．x2﹣x‎+‎1‎‎4‎=‎0 B．x2+2x+4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣2x＝0‎ ‎【解答】解：A．此方程判别式△＝（﹣1）2﹣4×1‎×‎1‎‎4‎=‎0，方程有两个相等的实数根，不符合题意；‎ B．此方程判别式△＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，方程没有实数根，不符合题意；‎ C．此方程判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，不符合题意；‎ D．此方程判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎6．（5分）不等式组‎2(x-2)≤2-x，‎x+2‎‎2‎‎＞‎x+3‎‎3‎的解集是（　　）‎ A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2‎ ‎【解答】解：‎2(x-2)≤2-x①‎x+2‎‎2‎‎＞x+3‎‎3‎②‎，‎ 解不等式①，得：x≤2，‎ 解不等式②，得：x＞0，‎ 则不等式组的解集为0＜x≤2，‎ 故选：A．‎ ‎7．（5分）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎3‎‎4‎ ‎【解答】解：分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形和圆，‎ 画树状图得：‎ 第19页（共19页）‎ ‎∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，‎ ‎∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为：‎6‎‎12‎‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 故选：C．‎ ‎8．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y‎=‎cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：因为二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的正半轴，得出c＞0，利用对称轴x‎=-b‎2a＞‎0，得出b＜0，‎ 所以一次函数y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y‎=‎cx经过一、三象限，‎ 故选：D．‎ ‎9．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（　　）‎ 第19页（共19页）‎ A．2‎5‎ B．5 C．4‎5‎ D．10‎ ‎【解答】解：过A作AH⊥BC于H，‎ ‎∵D是AB的中点，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴AE＝CE，‎ ‎∴DE‎=‎‎1‎‎2‎BC，‎ ‎∵DF⊥BC，‎ ‎∴DF∥AH，DF⊥DE，‎ ‎∴BF＝HF，‎ ‎∴DF‎=‎‎1‎‎2‎AH，‎ ‎∵△DFE的面积为1，‎ ‎∴‎1‎‎2‎DE•DF＝1，‎ ‎∴DE•DF＝2，‎ ‎∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，‎ ‎∴AB•AC＝8，‎ ‎∵AB＝CE，‎ ‎∴AB＝AE＝CE‎=‎‎1‎‎2‎AC，‎ ‎∴AB•2AB＝8，‎ ‎∴AB＝2（负值舍去），‎ ‎∴AC＝4，‎ ‎∴BC‎=AB‎2‎+AC‎2‎=‎2‎5‎．‎ 故选：A．‎ 第19页（共19页）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎10．（5分）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝　70　°．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠A＝110°．‎ 又∵∠1+∠2＝180°，‎ ‎∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°．‎ 故答案为：70．‎ ‎11．（5分）分解因式：am2﹣an2＝　a（m+n）（m﹣n）　．‎ ‎【解答】解：原式＝a（m2﹣n2）＝a（m+n）（m﹣n），‎ 故答案为：a（m+n）（m﹣n）‎ ‎12．（5分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：‎ 移植的棵数n ‎200‎ ‎500‎ ‎800‎ ‎2000‎ ‎12000‎ 成活的棵数m ‎187‎ ‎446‎ ‎730‎ ‎1790‎ ‎10836‎ 成活的频率mn ‎0.935‎ ‎0.892‎ ‎0.913‎ ‎0.895‎ ‎0.903‎ 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为　0.9　．（精确到0.1）‎ ‎【解答】解：根据表格数据可知：‎ 苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，‎ 所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．‎ 故答案为：0.9．‎ 第19页（共19页）‎ ‎13．（5分）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于‎1‎‎2‎AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为　3　．‎ ‎【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于‎1‎‎2‎AB长为半径画弧，两弧交于点P，‎ ‎∴点P在∠BOA的角平分线上，‎ ‎∴点P到x轴和y轴的距离相等，‎ 又∵点P在第一象限，点P的坐标为（a，2a﹣3），‎ ‎∴a＝2a﹣3，‎ ‎∴a＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎14．（5分）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°．若将扇形BAC剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为　‎3‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．‎ 在直角△OAD中，OA＝2，∠OAD‎=‎‎1‎‎2‎∠BAC＝30°，‎ 则AD＝OA•cos30°‎=‎‎3‎．‎ 则AB＝2AD＝2‎3‎，‎ 则扇形的弧长是：‎60⋅π×2‎‎3‎‎180‎‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎π，‎ 设底面圆的半径是r，则2π×r‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎π，‎ 第19页（共19页）‎ 解得：r‎=‎‎3‎‎3‎．‎ 故答案为：‎3‎‎3‎．‎ ‎15．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　6　．‎ ‎【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，‎ ‎∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，‎ ‎∴BH＝1，AH‎=‎‎3‎，AA'＝2‎3‎，∠C＝30°，‎ ‎∴Rt△CDE中，DE‎=‎‎1‎‎2‎CD，即2DE＝CD，‎ ‎∵A与A'关于BC对称，‎ ‎∴AD＝A'D，‎ ‎∴AD+DE＝A'D+DE，‎ ‎∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，‎ 此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'‎=‎3‎‎2‎×‎2‎3‎‎=‎3，‎ ‎∴AD+DE的最小值为3，‎ 即2AD+CD的最小值为6，‎ 故答案为：6．‎ 第19页（共19页）‎ 三、解答题（本大题共8小题，共75分）‎ ‎16．（6分）计算：（﹣1）2+|‎-‎‎2‎|+（π﹣3）0‎-‎‎4‎．‎ ‎【解答】解：（﹣1）2+|‎-‎‎2‎|+（π﹣3）0‎-‎4‎=‎1‎+‎2‎+‎1﹣2‎=‎‎2‎．‎ ‎17．（7分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中x‎=-‎‎2‎．‎ ‎【解答】解：（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1）‎ ‎＝x2﹣4x+4﹣4x2+4x+4x2﹣1‎ ‎＝x2+3，‎ 当x‎=-‎‎2‎时，原式＝（‎-‎‎2‎）2+3＝5．‎ ‎18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．‎ ‎（1）求证：AE＝CF；‎ ‎（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝CB，AD∥CB，‎ ‎∴∠DAE＝∠BCF，‎ ‎∵DE∥BF，‎ ‎∴∠DEF＝∠BFE，‎ ‎∴∠AED＝∠CFB，‎ 在△ADE和△CBF中，‎ 第19页（共19页）‎ ‎∠DAE=∠BCF‎∠AED=∠CFBAD=CB‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（AAS），‎ ‎∴AE＝CF；‎ ‎（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，‎ 则DE＝BF，‎ 又∵DE∥BF，‎ ‎∴四边形EBFD是平行四边形，‎ ‎∵BE＝DE，‎ ‎∴四边形EBFD为菱形．‎ ‎19．（10分）为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10%进行测试，将这些学生的测试成绩（x）分为四个等级：优秀85≤x≤100；良好75≤x＜85；及格60≤x＜75；不及格0≤x＜60，并绘制成如图两幅统计图．‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是　5%　；‎ ‎（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；‎ ‎（3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数．‎ ‎【解答】解：（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比＝1﹣20%﹣25%﹣50%＝5%，‎ 故答案为5%．‎ ‎（2）所抽取学生测试成绩的平均分‎=‎90×50%+78×25%+66×20%+42×5%‎‎1‎=‎ 第19页（共19页）‎ ‎79.8（分）．‎ ‎（3）由题意总人数＝2÷5%＝40（人），‎ ‎40×50%＝20，‎ ‎20÷10%＝200（人）‎ 答：该校九年级学生中优秀等级的人数约为200人．‎ ‎20．（9分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）‎ ‎【解答】解：在Rt△BDC中，‎ ‎∵tan∠DBC‎=‎CDBC，‎ ‎∴1.60‎=‎CDBC，‎ ‎∴BC‎=‎CD‎1.60‎，‎ 在Rt△ACD中，‎ ‎∵tan∠DAC‎=‎CDAC，‎ ‎∴0.40‎=‎CDAC，‎ ‎∴AC‎=‎CD‎0.40‎，‎ ‎∴AB＝AC﹣BC‎=CD‎0.40‎-CD‎0.60‎=‎30，‎ 解得：CD＝16（米），‎ 答：建筑物CD的高度为16米．‎ ‎21．（11分）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．‎ ‎（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？‎ 第19页（共19页）‎ ‎（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？‎ ‎【解答】解：（1）设A款保温杯的单价是a元，则B款保温杯的单价是（a+10）元，‎ ‎480‎a+10‎‎=‎‎360‎a‎，‎ 解得，a＝30，‎ 经检验，a＝30是原分式方程的解，‎ 则a+10＝40，‎ 答：A、B两款保温杯的销售单价分别是30元、40元；‎ ‎（2）设购买A款保温杯x个，则购买B款保温杯（120﹣x）个，利润为w元，‎ w＝（30﹣20）x+[40×（1﹣10%）﹣20]（120﹣x）＝﹣6x+1920，‎ ‎∵A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，‎ ‎∴x≥2（120﹣x），‎ 解得，x≥80，‎ ‎∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝1440，120﹣x＝40，‎ 答：当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1440元．‎ ‎22．（11分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：DP是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC＝5，sin∠APC‎=‎‎5‎‎13‎，求AP的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵P是BC的中点，‎ ‎∴PC‎=‎PB，‎ 第19页（共19页）‎ ‎∴∠PAD＝∠PAB，‎ ‎∵OA＝OP，‎ ‎∴∠APO＝∠PAO，‎ ‎∴∠DAP＝∠APO，‎ ‎∴AD∥OP，‎ ‎∵PD⊥AD，‎ ‎∴PD⊥OP，‎ ‎∴DP是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接BC交OP于E，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵P是BC的中点，‎ ‎∴OP⊥BC，CE＝BE，‎ ‎∴四边形CDPE是矩形，‎ ‎∴CD＝PE，PD＝CE，‎ ‎∵∠APC＝∠B，‎ ‎∴sin∠APC＝sin∠ABC‎=ACAB=‎‎5‎‎13‎，‎ ‎∵AC＝5，‎ ‎∴AB＝13，‎ ‎∴BC＝12，‎ ‎∴PD＝CE＝BE＝6，‎ ‎∵OE‎=‎‎1‎‎2‎AC‎=‎‎5‎‎2‎，OP‎=‎‎13‎‎2‎，‎ ‎∴CD＝PE‎=‎13‎‎2‎-‎5‎‎2‎=‎4，‎ ‎∴AD＝9，‎ ‎∴AP‎=AD‎2‎+PD‎2‎=‎9‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=‎3‎13‎．‎ 第19页（共19页）‎ ‎23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．‎ ‎①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；‎ ‎②是否存在点P，使S△A′MN‎=‎‎5‎‎6‎S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，‎ ‎∴OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，‎ ‎∴B（3，﹣1），‎ 把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，‎ ‎（2）①如图1中，‎ 第19页（共19页）‎ ‎∵B（3，﹣1），‎ ‎∴直线OB的解析式为y‎=-‎‎1‎‎3‎x，‎ ‎∵A（1，3），‎ ‎∴C（1，‎-‎‎1‎‎3‎），‎ ‎∵P（1，m），AP＝PA′，‎ ‎∴A′（1，2m﹣3），‎ 由题意3＞2m﹣3‎＞-‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴3＞m‎＞‎‎4‎‎3‎．‎ ‎②∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，‎ ‎∵P（1，m），‎ ‎∴M（m‎3‎，m），N（‎5-m‎2‎，m），‎ ‎∴MN‎=‎5-m‎2‎-m‎3‎=‎‎15-5m‎6‎，‎ ‎∵S△A′MN‎=‎‎5‎‎6‎S△OA′B，‎ ‎∴‎1‎‎2‎•（m﹣2m+3）•‎15-5m‎6‎‎=‎5‎‎6‎×‎1‎‎2‎×‎|2m﹣3‎+‎‎1‎‎3‎|×3，‎ 整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|‎ 解得m＝6‎+‎‎19‎（舍弃）或6‎-‎‎19‎，‎ 当点P在x轴下方时，不存在满足条件的点P，‎ ‎∴满足条件的m的值为6‎-‎‎19‎．‎ 第19页（共19页）‎