2018-2019学年重庆市第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年重庆市第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市第一中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知幂函数的图像经过点，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由待定系数法可得f(x)的解析式，由此能求出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵幂函数y＝f（x）＝xa的图象经过点（2，4），‎ ‎∴2a＝4，解得a＝2，‎ ‎∴y＝x2，‎ ‎∴＝2＝2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．‎ ‎2．函数的图像经过定点（ ）‎ A．(3, 1) B．(2, 0) C．(2, 2) D．(3, 0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由对数函数的性质可知，当真数为1时，对数式的值为0，故令真数x-2＝1可求y,可得定点 ‎【详解】‎ 由对数函数的性质可知，当x-2＝1时，y＝1‎ 即函数恒过定点（3，1）‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令真数为1解得定点的坐标．属于基础题．‎ ‎3．已知集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简集合A，根据补集的定义计算即可．‎ ‎【详解】‎ 集合＝{y|00，所以﹣x<0，代入 f（x）中，由奇函数的定义可得f（x）＝.‎ ‎【详解】‎ 令x>0，所以﹣x<0，所以f（﹣x）＝（﹣x﹣1）=（﹣x﹣1）＝﹣f（x），所以f（x）＝,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的定义和性质的应用，属于基础题.‎ ‎15．已知函数，若，则此函数的单调递增区间是_____________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】令t＝﹣x2+2x﹣3＞0，求得函数的定义域，根据f（0）＜0，可得0＜a＜1，只需求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．‎ ‎【详解】‎ 令t＝﹣x2﹣2x+3＞0，可得﹣3＜x＜1，故函数的定义域为{x|﹣3＜x＜1}．‎ 根据f（0）＝loga3＜0，可得0＜a＜1，‎ f（x）＝g（t）＝logat，需要求函数t在定义域内的减区间，又t＝﹣x2﹣2x+3，开口向下，对称轴为x=-1,所以函数t在定义域内的减区间为(﹣1，1），‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查．‎ ‎16．已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据二次函数的图象和性质，分当a＝0时，当a＞0时和当a＜0时，分类讨论满足条件的实数a的取值范围，综合可得答案．‎ ‎【详解】‎ 当a＝0时，函数f（x）＝2x-1，f[f（x）]＝4x-3，‎ 不满足对任意x∈R，f[f（x）]0恒成立，‎ 当a<0时，f（x）1,且f（x）的对称轴为x=,‎ f[f（x）]f（-1）＝a（-1）2+2（-1）-1＝a1，‎ 解a10得：或 a，又a<0‎ 故，‎ 当a>0时，f（x）1，‎ 不满足对任意x∈R，f[f（x）]0恒成立，‎ 综上可得：,‎ 所以a的最大值为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若,求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）a＝1时，，．由此能求出AB．‎ ‎（2）由A⊆B，直接列出不等关系，能求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 又,且x+1，‎ ‎,,‎ 又a=-1时，，AB=，‎ 即 ‎ ‎（2） ，得 ，得 ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，注意交集、子集性质的合理运用，属于基础题．‎ ‎18．化简求值 ‎（1）； ‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】（1）把0指数幂化为1，利用根式的运算性质化简，其余直接利用有理指数幂的运算进行化简求值；‎ ‎（2）利用对数的性质及运算法则直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）=-+1-3+=-2=.‎ ‎（2）（lg5）2+lg2（1+lg5）‎ ‎＝（lg5）2+lg2+lg2lg5-2‎ ‎＝lg5（lg5+lg2）+lg2-2‎ ‎＝lg5+lg2-2‎ ‎＝-1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查有理指数幂及根式的化简与求值，考查了对数式化简求值，是基础题，解题时注意对数的性质及运算法则的合理运用，属于基础题．‎ ‎19．已知二次函数对任意，有，函数的最小值为，且．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若方程在区间上有两个不相等实数根，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】（1）设，由 得 ，得到的解析式.‎ ‎（2）由题意知 可得 ‎【详解】‎ ‎（1）由知，f（x）的对称轴为x=1,‎ 设，‎ 由 得 ，‎ 所以 .‎ ‎（2）由得方程在区间上有两个不相等实数根.‎ 由 ，解得，可得 ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数解析式的求法，考查了由二次方程根的分布情况求参数范围的问题，要结合二次函数的图象来解决问题，属于中档题．‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数在区间上的值域；‎ ‎（2）若函数在区间上是减函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】（1）先求得的范围，再根据对数函数的单调性求得值域.‎ ‎（2）设 ，由复合函数单调性可知满足，解得a的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）时，由 得 可知,‎ 值域为.‎ ‎（2）设 ，由复合函数单调性可知，‎ 在区间单调递增且恒大于0，‎ 则 ，可得 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数的值域及复合函数的单调性，运用了对数函数的图象和性质，属于中档题．‎ ‎21．已知函数是定义域为R的奇函数．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．‎ ‎【答案】（1） ； （2） .‎ ‎【解析】(1)由 f（0）=0,求得a,根据又，求得b，可得解析式.（2）根据在上单调递增，将原不等式等价变形为在有解，分参得，设,可得的最小值，得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为函数是定义域为R的奇函数，可知f（0）=0,a=-1,‎ 又，则=-，‎ ‎=-，b=1，‎ ‎ ‎ ‎（2） =1-，所以在上单调递增；‎ 由 可得在有解 ‎ 分参得，‎ 设, ，所以,‎ 则的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了指数函数式的运算及最值问题，属于中档题.‎ ‎22．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．‎ ‎（1）若函数是“型函数”，且，求出满足条件的实数对；‎ ‎（2）已知函数．函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，试求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）利用定义，直接判断求解即可．‎ ‎（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）＝4，所以当时,，其中, 所以只需使当时，恒成立即可，即在上恒成立，若，显然不等式在上成立，若，分离参数m，分别求得不等式右边的函数的最值，取交集即可得到m的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，若是“(a,b)型函数”，则,即, ‎ 代入得 ，所求实数对为．‎ ‎（2）由题意得：的值域是值域的子集，易知在的值域为，‎ 只需使当时，恒成立即可，,即，‎ 而当时,, 故由题意可得，要使当时,都有，‎ 只需使当时，恒成立即可，‎ 即在上恒成立，‎ 若，显然不等式在上成立，‎ 若，则可将不等式转化为，‎ 因此只需上述不等式组在上恒成立，显然，当时，不等式（1）成立，‎ 令 在上单调递增，∴，‎ 故要使不等式（2）恒成立，只需即可，综上所述,所求的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的综合应用，新定义的应用，抽象函数以及分类讨论思想的转化思想的应用,属于难题．‎