中考数学压轴题破解策略专题23平行四边形的存在性

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中考数学压轴题破解策略专题23平行四边形的存在性

专题23《平行四边形的存在性》‎ 破解策略 ‎ 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知 识覆盖面广,综台性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高,‎ ‎ 这类题,一般有两个类型:‎ ‎ (1)“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题:‎ ‎ 以A,B,C三点为顶点的平行四边形构造方法有:‎ ①_x0001_ 作平行线:如图,连结AB,BC,AC,分别过点A,B,C作其对边的平行线,三条直线的交点为D,E,F.则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎ ②倍长中线:如图,延长边AC,AB,BC上的中线,使延长部分与中线相等,得点D,‎ E,F,连结DE,EF,FD.则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.‎ ‎ (2)“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题:‎ ‎ 先确定其中一个动点的位置,转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题,再构造平行四边形.‎ ‎ 解平行四边形存在性问题,无论是以上哪种类型,若没有指定四边形顶点顺序,都需 要分类讨论.‎ ‎ 通常这类问题的解题策略有:‎ ‎ (1)几何法:先分类,再画出平行四边形,然后根据平行四边形的性质来解答.‎ 如图,若AB∥CD且AB=CD,分别过点B,C作一组平行线BE,CF,分别过点A,D作一组平行线AE,DF,则△AEB ≌△DFC,从而得到线段间的关系式解决问题.‎ ‎ (2)代数法:先罗列四个顶点的坐标,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.‎ 如图.已知平行四边形ABCD.连结AC,BD交于点O.设顶点坐标为A(xA,yA).B(xB,‎ yB),C(xC,yC),D(xD,yD). ‎ ①_x0001_ 用平移的性质求未知点的坐标:‎ ‎②利用中点坐标公式求未知点的坐标:‎ 有时候几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好.‎ 例题讲解 例1 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0),B(0,﹣3),P是直线AB上的一个动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.‎ ‎ (1)分别求出直线AB和这条抛物线的表达式;‎ ‎(2)是否存在这样的点P,使得以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)将点A,B的坐标代入抛物线的表达式,得y=x2-2x+3.设直线AB的表达式为y=kx+b,将点A,B的坐标代入,得y=x-3.‎ ‎(2)存在.‎ 因为PM∥OB,所以当PM=OB时,四边形即为平行四边形.‎ 根据题意设点P的坐标为(p,p-3),则点M的坐标为(p,p2-2p-3).‎ 所以.‎ 解得,故满足条件的点P的横坐标为.‎ ‎ 例2 边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,D是OA 边的中点,连结CD,点E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC,以直线AB为对称轴的抛物线过C,E两点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)M为直线上一动点,N为抛物线上一动点,问:是否存在点M,N,使得以点M,N,D,E为顶点的四边形是平形四边形?若存在,请求出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 解 (1)如图1,过点E作EG⊥x轴于点G.‎ ‎ 易证△ODC≌△GED(AAS),所以.‎ ‎ 所以点E的坐标为(3,1).‎ ‎ 而直线AB为抛物线的对称轴,直线AB的表达式为x=2,‎ ‎ 所以可设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+k,‎ ‎ 将C,E两点的坐标代入表达式,得解得 所以抛物线的表达式为 ‎(2)存在.‎ 由题意可设点M的坐标为(2,m),N的坐标为.‎ 以点M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能:‎ ‎①当DE为平行四边形的边时,‎ ‎(i)如图2,若DE∥MN,MD∥NE,‎ 由平移的性质可得 解得 此时点M的坐标为(2,1),N的坐标为(4,2).‎ ‎(ii)如图3,若DE∥MN,ME∥ND.‎ 由平移的性质可得 解得 此时点M的坐标为(2,3),N的坐标为(0,2).‎ ‎②当DE为平行四边形的对角线时,如图4.‎ 由平行四边形对角线互相平分性质可得 解得 此时点M的坐标为,N的坐标为 例3 如图,抛物线的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)将点C,D的坐标代入抛物线的表达式,得 ‎(2)存在.‎ 令 所以点A的坐标为(-3,0),B的坐标为(1,0).‎ 由点F在抛物线上可设点F的坐标为.‎ 方法一:①如图1、图2,当AC为平行四边形的边是,‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 过点F作FP垂直于抛物线的对称轴,垂足为P.‎ 易证△PEF≌△OCA.‎ 所以PF=AO=3,‎ 从而点F的坐标为(2,5)或(-4,5).‎ ‎②如图3,当AC为平行四边形的对角线时,‎ 过点F作FP⊥y轴于点P.令抛物线的对称轴交x轴于点Q,‎ 易证△PCF≌△QEA.‎ 所以PF=AQ=2,从而点F的坐标为(-2,-3),此时点F与点C纵坐标相同,所以点E在x轴上.‎ ‎ ‎ 图3‎ 方法二:①如图3,当AC,EF为平行四边形的对角线时,‎ 可得 又因为点E在抛物线的对称轴上,‎ 所以m=-2,‎ 则点F的坐标为(-2,-3).‎ ‎②如图1,当AE,CF为平行四边形的对角线时,‎ 可得 又因为点E在抛物线的对称轴上,‎ 所以m=-4,‎ 则点F的坐标为(-2,-3).‎ ‎③如图2,当AF,CE为平行四边形的对角线时,‎ 可得 又因为点E在抛物线的对称轴上,所以m=2.‎ 则点F的坐标为(2,5).‎ 综上可得,满足平行四边形的点F的坐标为(-2,-3)(-4,5)(2,5)‎ 进阶训练 ‎1.如图,四边形ABCD是直角梯形,AD//BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=28cm,点P从点A出发,沿AD以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,沿CB以3cm/s的速度向点B运动,其中一个动点到达终点时,另一个点也随之停止运动.问:从运动开始,经过多长时间,四边形PQCD成为平行四边形?‎ ‎2.如图,抛物线y=ax² +bx+c 过A(-3,0),B(1,0),C(0,3) 三点,抛物线的顶点位P.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)直线y=2x+3上是否存在点M,使得以A,P,C,M为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎3.如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在OA边上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐标系.若点N在过O.D.C三点的抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,问是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在.请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 答案:存在满足条件的点M,其坐标为(2,16),(-6,16)或(-2,-).‎ ‎[提示]:易证△DAE∽△EOC,从而点D的坐标为,得到过点O,D,C的抛物线的解析式为.再分类讨论,由对角线互相平分,中点横纵坐标相等列出方程,从而找到符合条件的点M.(参考例3的方法二)‎ ‎4.如图,抛物线与x轴交于点A(-5,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,5).有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P,Q.交直线AC于点M,N.在矩形的平移过程中,当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标.‎ 答案:点M的坐标为(-2,3),‎ ‎[提示].由点A,B,C的坐标可得抛物线的表达式为,直线AC的表达式为y=x+5,设点M的坐标为(t,t+5),则点N(t-1,t+4),P(t,.‎ 在矩形平移的过程中,以P,Q,N,M为顶点的平行四边形有两种情况:①当P,Q在直线AC同侧时,有yP-yM=yQ-yN,得到点M的坐标为(-2,3);②当P,Q在直线AC异侧时,有yP-yM=yN-yQ.得到点M的坐标为(-2-,3-)或(-2+,3+).‎
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