2017-2018学年辽宁省大连市第二十四中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省大连市第二十四中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省大连市第二十四中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】，则的否定是，则,‎ 全称命题的否定是换量词，否结论，不改变条件.‎ 故选D；‎ ‎2．已知平面内动点满足，其中，则点轨迹是（ ）‎ A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 椭圆 ‎【答案】B ‎【解析】满足题意时，点应位于线段上，‎ 即点轨迹是线段.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．数列满足， ， ，则（ ）‎ A. 5 B. 9 C. 10 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，即，则；故选D.‎ ‎4．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】：不等式x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2）， ‎ 根据韦达定理，可得：，x1+x2=4a， ‎ 那么：=4a+． ‎ ‎∵a＜0， ‎ ‎∴-（4a+）≥2=，即4a+≤- ‎ 故的最大值为． ‎ 故选：D． ‎ 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎5．以下选项正确的是（ ）‎ A. 是的充分条件 B. 是的必要条件 C. 是的必要条件 D. 是的充要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，此时，但是不满足，选项A错误；‎ 若，此时，但是不满足，选项C错误；‎ 若，此时，但是不满足，选项D错误；‎ 本题选择B选项.‎ ‎6．定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得， ‎ 当时, ，验证知当时也成立，‎ 本题选择C选项.‎ ‎7．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 7 D. 11‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的图象恒过定点A(−1,−1)，‎ ‎∵点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，∴−m−n+1=0，即m+n=1.‎ 则,‎ 当且仅当时取等号。‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎8．设满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部,其中A(3,0),B(1,2)，C(−1,0)‎ z=|x−3y|,|x−3y|的几何意义是可行域内的点到x−3y=0距离的倍，由图形可知B到x−3y=0的距离最大，∴当x=1,y=2时，z取最大值为5.‎ 本题选择C选项.‎ ‎9．命题，命题，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，所以命题为假；当时，所以命题为真，因此为假； 为假； 为假； 为真，选D.‎ ‎10．正方形的四个顶点都在椭圆 上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可得,即.‎ 可得，解得.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎11．设实数满足，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域.由，设表示可行域中的点与点(0,0)连线的斜率，‎ 由图知取值范围为.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎12．设椭圆的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限内的点，直线交椭圆于点， 为原点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，‎ 于是△OFM∽△AFB,且，即可得.‎ 本题选择C选项.‎ 二、填空题 ‎13．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵方程表示椭圆，‎ 则 解得.‎ 即的取值范围为.‎ ‎14．已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数的值是__________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由题意，‎ ‎15．如图，已知椭圆Ⅰ与椭圆Ⅱ有公共左顶点与公共左焦点，且椭圆Ⅰ的长轴长是椭圆Ⅱ的长轴长的 (，且为常数)倍，则椭圆Ⅰ的离心率的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆II的标准方程为,离心率为.‎ 椭圆I的标准方程为： ,设离心率为.‎ 则 点睛：椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆 ‎16．下列命题中__________为真命题（把所有真命题的序号都填上）.‎ ‎①“”成立的必要条件是“”；‎ ‎②“若成等差数列，则”的否命题；‎ ‎③“已知数列的前项和为，若数列是等比数列，则成等比数列.”的逆否命题；‎ ‎④“已知是上的单调函数，若，则”的逆命题.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】逐一考查所给的命题：‎ 由集合的关系可知，“”成立的必要不充分条件是“”该命题错误；‎ ‎“若成等差数列，则”的否命题为“若不成等差数列，则”，该命题为真命题；‎ 当时，考查： ，该数列为常数列： ，构成等比数列，原命题为假命题，则逆否命题为假命题；‎ 已知是上的单调函数，若,不妨设的反函数为，‎ 则： 恒成立，结合反函数关于直线对称，则函数的解析式只能是，该命题为真命题；‎ 综上可得，真命题的序号为②④.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数， .‎ ‎（1）若对任意，任意都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)原问题等价于，利用导函数研究函数的最值可得关于实数m的不等式，求解不等式可得的范围为 ‎(2)原问题等价于，据此可得m的范围为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题设知： ，‎ ‎∵在上递增，∴‎ 又∵在上递减，∴‎ ‎∴有， 的范围为 ‎（2）由题设知，‎ ‎∴有，即，∴m的范围为.‎ ‎18．已知数列为等差数列，其中， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.‎ ‎【答案】(1) ；(2)1010.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得数列的公差为2，则数列的通项公式为；‎ ‎(2)结合通项公式裂项求和可得.求解不等式， .‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列的公差为，‎ 依题意有，解得， ，‎ 从而的通项公式为；‎ ‎（2）因为，‎ 所以 .‎ 令，解得，故取.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎19．已知经过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆上不同于的一点，直线的斜率均存在，且直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点，若点在以为直径的圆内部，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)设出点的坐标，利用点差法可得椭圆的离心率为；‎ ‎(2)联立直线的点斜式方程与椭圆方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式 ，求解不等式可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设则， ，∵点三点均在椭圆上，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴作差得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵， ，∴， ，‎ 设， ，直线的方程为，记， ，‎ 联立得， ，‎ ‎∴， ，‎ 当点在以为直径的圆内部时，‎ ‎，‎ ‎∴ ，‎ 得 ，‎ 解得.‎ ‎20．设数列的前项和为，且，数列为等差数列，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)分类讨论n=1和两种情况可得；‎ ‎(2)结合通项公式错位相减可得数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以当时，得 当时，因为，代入得 所以，又，即为以为首项， 为公比的等比数列 所以，所以 ‎（2）因为，所以，‎ 因为数列为等差数列，且 所以， ，∴，即公差为1‎ 所以，所以数列的前项和 ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②得 ‎ ‎∴‎ ‎21．已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，离心率为，点，为线段的中点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)点在定直线上.‎ ‎【解析】试题分析: （Ⅰ）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即根据条件建立关于的两个独立条件，再与联立方程组，解出的值，（Ⅱ）先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线，再根据条件证明点横坐标为1.由题意设 两点坐标，用两点坐标表示点横坐标.根据直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得两点坐标关系（用直线斜率表示），并代入点横坐标表达式，化简可得为定值.‎ 试题解析: （Ⅰ）设点，由题意可知：，即 ①‎ 又因为椭圆的离心率，即 ②‎ 联立方程①②可得：，则 所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上．‎ 假设当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点 ，‎ 则联立直线和直线可得点 据此猜想点在直线上，下面对猜想给予证明： ‎ 设，联立方程可得：‎ 由韦达定理可得， （）‎ 因为直线，，‎ 联立两直线方程得（其中为点的横坐标）即证：，‎ 即，即证 ‎ 将（）代入上式可得 此式明显成立，原命题得证．所以点在定直线上上．‎ 方法二：设，两两不等，‎ 因为三点共线，所以，‎ 整理得： ‎ 又三点共线，有： ①‎ 又三点共线，有： ② 将①与②两式相除得：‎ 即，‎ 将即代入得：‎ 解得（舍去）或，所以点在定直线上．‎ 方法三：显然与轴不垂直，设的方程为，.‎ 由得.‎ 设，两两不等，‎ 则，，‎ 由三点共线，有： ①‎ 由三点共线，有： ②‎ ‎①与②两式相除得：‎ 解得（舍去）或，所以点在定直线上．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎22．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线通过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）当（为坐标原点）面积取最大值时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2)此时直线或或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知可得解出即可（2）设，，联立方程写出韦达定理，由， ，．求出表达式然后根据函数 ‎，.求得面积最大值从而确定直线方程 试题解析：‎ ‎（1）由已知可得解得，，‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设，，联立方程 消去得 ．‎ 当，即时，‎ ‎，．‎ 所以，．‎ 当时，线段的垂直平分线显然过点 ‎ ‎ 因为 ,所以 ‎ ，当时，取到等号.‎ ‎ 则:‎ 当时，因为线段的垂直平分线过点，‎ 所以 ，化简整理得．‎ 由得．‎ 又原点到直线的距离为．‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 而且，则，.‎ 所以当，即时，取得最大值．‎ 综上的最大值为，‎ 此时直线: 或或 点睛：先根据定义列出相关等式，求解方程即可，对于直线与椭圆的综合，要熟悉弦长公式，，然后联立方程写出表达式，根据函数特征求出最值从而确定参数的值得出结果.在做此类题型时计算一定要认真仔细.‎