2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

5.4.1 　正弦函数、余弦函数的图象 必备知识 · 自主学习 1. 正弦曲线 (1) 正弦曲线 正弦函数 y=sin x ， x∈R 的图象叫正弦曲线 . (2) 正弦函数图象的画法 ①几何法： (ⅰ) 利用正弦线画出 y=sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象； (ⅱ) 将图象向左、向右平行移动 ( 每次 2π 个单位长度 ). ②“ 五点法”： (ⅰ) 画出正弦曲线在 [0 ， 2π] 上的图象的五个关键点 (0 ， 0) ， ______ ， (π ， 0) ， _______ ， (2π ， 0) ，用光滑的曲线连接； (ⅱ) 将所得图象向左、向右平行移动 ( 每次 2π 个单位长度 ). (3) 本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函数的一种直观表示 . (4) 应用：根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正弦函数，进而根据正弦 曲线，推导正弦函数的一些常用性质 . 【 思考 】 在作 y=2+sin x 的图象时，应抓住哪些关键点？ 提示： 作正弦函数 y=2+sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象时，起关键作用的点有以 下五个： (0 ， 2) ， ， (π ， 2) ， ， (2π ， 2). 2. 余弦曲线 (1) 余弦曲线 余弦函数 y=cos x ， x∈R 的图象叫余弦曲线 . (2) 余弦函数图象的画法 ①要得到 y=cos x 的图象，只需把 y=sin x 的图象向 ___ 平移 个单位长度即 可 . ② 用“五点法”画余弦曲线 y=cos x 在 [0 ， 2π] 上的图象时，所取的五个关键 点分别为 (0 ， 1) ， ， _________ ， ， _________ ，再用光滑的曲线 连接 . 左 (π ， -1) (2π ， 1) 【 思考 】 y=cos x(x∈R) 的图象可由 y=sin x(x∈R) 的图象平移得到的原因是什么？ 提示： 因为 cos x=sin ，所以 y=sin x(x∈R) 的图象向左平移 个单位 长度可得 y=cos x(x∈R) 的图象 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1)“ 五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五 点 .( 　　 ) (2) 余弦函数 y=cos x 的图象与 y=sin x 的图象形状和位置都不一样 .( 　　 ) (3) 函数 y=sin x 与 y=sin(-x) 的图象完全相同 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 取的五个点的横坐标分别为 0 ， ， π ， π ， 2π. (2)×. 函数 y=cos x 的图象与 y=sin x 的图象形状一样，只是位置不同 . (3)×. 二者图象不同，关于 x 轴对称 . 2. 以下对正弦函数 y=sin x 的图象描述不正确的是 ( 　　 ) A. 在 x∈[2kπ ， 2(k+1)π](k∈Z) 上的图象形状相同，只是位置不同 B. 介于直线 y=1 与直线 y=-1 之间 C. 关于 x 轴对称 D. 与 y 轴仅有一个交点 【 解析 】 选 C. 画出 y=sin x 的图象 ( 图略 ) ，根据图象可知 A ， B ， D 三项都正确 . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 函数 y=-xcos x 的部分图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 因为 y=-xcos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除 A ， C 项；当 x∈ 时， y=-xcos x<0 ，所以排除 B 项 . 关键能力 · 合作学习 类型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 用“五点法”作 y=sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 ， ， π ， ， 2π B.0 ， ， ， ， π C.0 ， π ， 2π ， 3π ， 4π D.0 ， ， ， ， 2. 下列图象中，是 y=-sin x 在 [0 ， 2π] 上的图象的是 ( 　　 ) 3. 下列函数图象相同的是 ( 　　 ) A.f(x)=sin x 与 g(x)=sin(π+x) B.f(x)=sin 与 g(x)=sin C.f(x)=sin x 与 g(x)=sin(-x) D.f(x)=sin(2π+x) 与 g(x)=sin x 【 解析 】 1. 选 B. 分别令 2x=0 ， ， π ， ， 2π ，可 x=0 ， ， ， ， π. 2. 选 D. 函数 y=-sin x 的图象与函数 y=sin x 的图象关于 x 轴对称 . 3. 选 D.A 中 g(x)=-sin x ； B 中 f(x)=-cos x ， g(x)=cos x ； C 中 g(x)=-sin x ； D 中 f(x)=sin x. 【 解题策略 】 利用正弦、余弦函数图象解题 (1) 熟练掌握正余弦函数的图象，必要时用“五点法”作出图象观察 . (2) 熟练应用诱导公式变形，通过函数解析式的关系确定图象关系 . (3) 掌握常见的图象变换，如 -f(x) ， f(-x) ， f(|x|) 等 . 【 补偿训练 】 函数 y=sin |x| 的图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B.y=sin |x|= 故选 B. 类型二　用“五点法”作三角函数的图象 ( 直观想象 ) 【 典例 】 用“五点法”作出下列函数的简图 . (1)y=1-sin x(0≤x≤2 π ) ； (2)y=2+cos x ， x∈[0 ， 2 π ]. 【 思路导引 】 求作三角函数的图象，需要先列表，再描点，最后用平滑曲线连线 . 【 解析 】 (1)① 列表： ② 描点连线，如图所示 . (2)① 列表： ② 描点连线，如图所示 . 【 解题策略 】 “ 五点法”画函数 y=Asin x+b(A≠0) 在 [0 ， 2π] 上的简图的步骤 (1) 列表 (2) 描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点： (0 ， y 1 ) ， ， (π ， y 3 ) ， ， (2π ， y 5 ). (3) 连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来 . 【 跟踪训练 】 请补充完整下面用“五点法”作出 y=-sin x(0≤x≤2π) 图象的列表 . ①_______ ；② _______ ；③ _______.  【 解析 】 用 “ 五点法 ” 作 y=-sin x(0≤x≤2π) 的图象的五个关键点为 (0 ， 0) ， ， (π ， 0) ， ， (2π ， 0) ，故①为 π ，②为 0 ，③为 1. 答案： ① π 　② 0 　③ 1 类型三　正弦、余弦函数图象的应用 ( 逻辑推理 ) 　角度 1 　零点个数问题  【 典例 】 在同一坐标系中，作函数 y=sin x 和 y=lg x 的图象，根据图象判断出方程 sin x=lg x 的解的个数 . 【 解析 】 建立平面直角坐标系 xOy ，先用五点法画出函数 y=sin x ， x∈R 的图 象 . 描出点 (1 ， 0) ， (10 ， 1) ，并用光滑曲线连接得到 y=lg x 的图象，如图所示 . 由图象可知方程 sin x=lg x 的解有 3 个 . 【 变式探究 】 根据函数图象求方程根的个数问题，是常见的考查模式；将典例中问题改 为：方程 sin x= 的根的个数是 ( 　　 ) 　　　　　　 A.7 B.8 C.9 D.10 【 解析 】 选 A. 在同一坐标系内画出 y= 和 y=sin x 的图象如图所示 . 根据图象可知方程有 7 个根 . 　角度 2 　利用正、余弦函数的图象解不等式  【 典例 】 在 [0 ， 2π] 内，不等式 2sin x-1≥0 的解集为 ( 　　 ) A. B. C. D. 【 思路导引 】 在 [0 ， 2π] 上，作出 y=sin x 的图象，再在这个平面直角坐标系 中作出直线 y= ，观察图象，找到满足 sin x≥ 的 x 的取值范围 . 【 解析 】 选 D. 因为 2sin x-1≥0 ，所以 sin x≥ . 在同一坐标系下，作函数 y=sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象以及直线 y= . 由函数的图象知， sin =sin π= . 所以根据图象可知， sin x≥ 的解集为 【 解题策略 】 用三角函数图象解三角不等式的步骤 (1) 作出正弦函数在 [0 ， 2π] 或 的图象，余弦函数在 [0 ， 2π] 或 [-π ， π] 上的图象 . (2) 写出适合不等式在给定区间上的解集 . 【 题组训练 】 1. 方程 x 2 -cos x=0 的实数解的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 使不等式 -2sin x≥0 在 [-π ， π] 上成立的 x 的取值范围是 ( 　　 ) A. B. C. ∪ D. 3. 在 (0 ， 2π) 内，使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围是 _______.  【 解析 】 1. 选 B. 作函数 y=cos x 与 y=x 2 的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个实数解 . 2. 选 C. 不等式可化为 sin x≤ . 作图，正弦曲线及直线 y= 如图所示 . 又 x∈[-π ， π] ，结合图象可知 x 的解集为 3. 在同一坐标系中画出 y=sin x ， x∈(0 ， 2π) 与 y=cos x ， x∈(0 ， 2π) 的图 象如图所示， 由图象可观察出当 x∈ 时， sin x>cos x. 答案： 【 补偿训练 】 y=1+sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象与直线 y= 交点的个数是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.3 【 解析 】 选 C. 用 “ 五点法 ” 作出函数 y=1+sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象，作出 直线 y= 的图象如图所示， 由图可知，这两个函数的图象有 2 个交点 . 1. 用“五点法”画函数 y=2-3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 ， ， ， ， π B.0 ， ， π ， ， 2π C.0 ， π ， 2π ， 3π ， 4π D.0 ， ， ， ， 【 解析 】 选 B. 所描出的五点的横坐标与函数 y=sin x 的五点的横坐标相同，即 0 ， ， π ， ， 2π ，故选 B. 课堂检测 · 素养达标 2. 函数 y=cos x 与函数 y=-cos x 的图象 ( 　　 ) A. 关于直线 x=1 对称 B. 关于原点对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 【 解析 】 选 C. 由解析式可知 y=cos x 的图象过点 (a ， b) ，则 y=-cos x 的图象必过点 (a ， -b) ，由此推断两个函数的图象关于 x 轴对称 . 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 在同一平面直角坐标系内，函数 y=sin x ， x∈[0 ， 2π] 与 y=sin x ， x∈[2π ， 4π] 的图象 ( 　　 ) A. 重合 B. 形状相同，位置不同 C. 关于 y 轴对称 D. 形状不同，位置不同 【 解析 】 选 B. 根据正弦曲线的作法可知函数 y=sin x ， x∈[0 ， 2π] 与 y= sin x ， x∈[2π ， 4π] 的图象只是位置不同，形状相同 . 4. 如图是下列哪个函数的图象 ( 　　 ) A.y=1+sin x ， x∈[0 ， 2π] B.y=1+2sin x ， x∈[0 ， 2π] C.y=1-sin x ， x∈[0 ， 2π] D.y=1-2sin x ， x∈[0 ， 2π] 【 解析 】 选 C. 把 这一点代入选项检验，即可排除 A 、 B 、 D. 5. 在 [0 ， 2π] 内，不等式 sin x<- 的解集是 ( 　　 ) A.(0 ， π) B. C. D. 【 解析 】 选 C. 画出 y=sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象如图： 因为 sin = ，所以 sin =- ， sin =- . 即在 [0 ， 2π] 内，满足 sin x=- 的是 x= 或 x= . 可知不等式 sin x<- 的解集是 . 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 正弦函数的图象 几何法 五点法 余弦函数的图象 平移法 五点法 利用五点法作图：（ 1 ）列表；（ 2 ）描点；（ 3 ）画图 正、余弦曲线形状相同，位置不同 直观想象：通过正、余弦函数图象的运用，培养直观想象的核心素养 正弦函数、余 弦函数的图象