宁夏银川一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

宁夏银川一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

银川市第一中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. ‎“x>‎0”‎是“x≠‎0”‎的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 3. 椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　） ‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6 ‎ 5. 命题“若AB=AC，则△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（　　）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 0‎ 6. 椭圆的焦距为（　　）‎ A. 10 B. ‎5 ‎C. D. ‎ 7. 袋中有3个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，则至少摸出1个黑球的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 双曲线-=1上P点到左焦点的距离是6，则P到右焦点的距离是（　　）‎ A. 12 B. ‎14 ‎C. 16 D. 18‎ 9. 集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为（　　）‎ A. 10组 B. 9组 C. 8组 D. 7组 11. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(    ) ‎ A. B. C. D. ‎ 1. 过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆 x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 2. 利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为______．‎ 3. 已知命题p：∀x∈R，x2-x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0+cosx0=，则p∨q，p∧q，￢p，￢q中是真命题的有______．‎ 4. 已知椭圆的离心率，则a的值等于______．‎ 5. 已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 6. 已知命题p：m∈R且m+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立，若p∧q为假命题且p∨q为真命题，求m的取值范围． ‎ 7. 为了了解四川省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“四川省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如表．‎ 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第1组 ‎[15，25）‎ a ‎0.5‎ 第2组 ‎[25，35）‎ ‎18‎ x 第3组 ‎[35，45）‎ b ‎0.9‎ 第4组 ‎[45，55）‎ ‎9‎ ‎0.36‎ 第5组 ‎[55，65]‎ ‎3‎ y ‎（1）分别求出a，b，x，y的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （3）通过直方图求出年龄的众数，平均数．‎ ‎ ‎ 1. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（h）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 可能用到的计算结果：xiyi=52.5，=3.5，=3.5，=54． 线性回归方程=x中=，=． （1）求出y关于x的线性回归方程=x； （2）试预测加工10个零件需要多少时间？ ‎ 2. 已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求证：OA⊥OB； （2）当k=2时，求AB的弦长． ‎ 1. 已知p：x2-8x-20＜0，q：x2-2x+1-a2＜0（a＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ 2. 已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）． （1）求椭圆的方程； （2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：对于“x＞0”⇒“x≠0”； 反之不一定成立， 因此“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件， 故选：A． 由题意看命题“x＞0”与命题“x≠0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断． 本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：命题“有些实数的绝对值是正数”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是： ∀x∈R，|x|≤0， 故选：C． 根据特称命题的否定是全称命题进行否定即可． 本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：椭圆+=1，可得a=2，b=，c=1，所以椭圆的离心率是：e==． 故选：B． 直接利用椭圆的方程，求出a，c，即可得到椭圆的离心率． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：模拟执行程序框图的运行过程，如下； k=0，a=3×=， k=1，a=×=， k=2，a=×=， k=3，a=×=， k=4，此时满足a＜， 所以输出的k值为4． 故选：B． 模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的k值． 本题考查了程序框图的运行问题，是基础题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵原命题“若AB=AC，则△ABC为等腰三角形”，为真命题； ∴其逆命题为：“若△ABC为等腰三角形，则AB=AC”，为假命题； 其否命题为“若AB≠AC，则△ABC不是等腰三角形”，为假命题； ∴其逆否命题为：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题； 故真命题的个数是2个 故选：C ‎． 由已知中命题“若AB=AC，则△ABC为等腰三角形”，我们易根据四种命题的定义写出它的逆命题、否命题和逆否命题，然后根据判断命题真假的办法，逐一进行判断，即可得到答案． 本题考查的知识点是四种命题的真假关系，其中根据已知中的原命题写出的逆命题、否命题和逆否命题是解答本题的关键． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵椭圆方程为 ∴a2=16，b2=9，得c== 由此，可得椭圆的焦距等于‎2c=2 故选：D． 根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9．再根据椭圆基本量的关系得c==，由此即可得到该椭圆的焦距． 本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：所有的摸球方法共有=10种，其中没有黑球的摸法有=3种，故没有黑球的概率为． 故至少摸出1个黑球的概率为1-=， 故选B． 所有的摸球方法共有=10种，其中没有黑球的摸法有=3种，由此求得没有黑球的概率，再用1减去此概率，即得所求． 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 利用双曲线的定义，即可求得点P到双曲线的右焦点的距离．本题考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查． 【解答】 设点P到双曲线的右焦点的距离是t（t＞0）． ∵双曲线-=1上一点P到左焦点的距离是6， ∴|t-6|=2×4 ∵t＞0，∴t=14． 故选B． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查古典概型及其概率公式，属于基础题． 总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】 解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种方法， 而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法， 故所求的概率为：=． 故选C． ‎ ‎10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵数据中的最大值是l40，最小值是51， 故该组数据的极差为140-51=89 又∵组距为l0， 89÷10=8.9 故可将该组数据分成9组， 故选：B． 求得最大值与最小值的差，除以组距后合理取整，就是组数． 本题考查了数据分组的方法，是绘制频率分布直方图的基础，需要熟练掌握的内容． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查与面积有关的几何概型的概率计算，属于基础题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键． 根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】‎ 解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=， 则对应概率P==， 故选B．‎ ‎ 12.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 由题设知|EF|=，|PF|=2，|PF′|=a，再由|PF|-|PF′|=‎2a，知2-a=‎2a，由此能求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答. 【解答】 解：设右焦点为F' ∵|OF|=c，|OE|=，∴|EF|=， ∵，∴|PF|=2，|PF'|=a， ∵|PF|-|PF′|=‎2a，∴2-a=‎2a， ∴， 故选：C． 13.【答案】78 ‎ ‎【解析】解：样本间隔为80÷16=5， 若抽出的产品中有一件产品的编号为13， 则13=3+5×2，即第一组抽到的编号为3， 则抽到产品的最大编号为3+15×5=78， 故答案为：78 先求出样本间隔，然后结合抽出的编号为13，求出第一组抽到的编号，结合系统抽样的性质进行求解即可． 本题主要考查系统抽样的应用，结合条件求出样本间隔，以及第一组抽到的编号是解决本题的关键．比较基础． ‎ ‎14.【答案】p∨q，￢p ‎ ‎【解析】解：∵当x=1时x2-x+=＞0，∴命题p：∀x∈R，x2-x+＜0为假命题， 当x0=时，sinx0+cosx0=+=， 故命题q：∃x0∈R，sinx0+cosx0=为真命题， 则p∨q为真命题，p∧q为假命题，￢p为真命题，￢q为假命题， 故答案为：p∨q，￢p， 根据条件分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 本题主要考查复合命题的真假关系，根据条件判断命题的真假是解决本题的关键，比较基础． 15.【答案】4或 ‎ ‎【解析】解：当焦点在x轴上时： 则c2=a+8-9=a-1 又∵ ∴a=4 当焦点在y轴上时： 则c2=9-8-a=1-a 又∵ ∴a=- 故答案为：4或 由于焦点位置不确定，所以要分两种情况，当焦点在x轴上时：则有c2=a+8-9=a-1；当焦点在y轴上时：则有c2=9-8-a=1-a，再分别结合离心率求解． 本题主要考查椭圆的标准方程，焦点的位置以及椭圆离心率的应用． 16.【答案】x=-1 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识． 先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程． 【解答】 解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2， 两式相减得：（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2）， 又因为直线的斜率为1，所以=1， 所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2， 即y1+y2=4，所以p=2， 所以抛物线的准线方程为x=-=-1． 故答案为x=-1． 17.【答案】解：命题p：m∈R且m+1≤0，解得m≤-1． 命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立，∴△=m2-4＜0，解得-2＜m＜2． ∵p∧q为假命题且p∨q为真命题，∴p，q必然一真一假． 当p真q假时，，解得m≤-2， 当p假q真时，，解得-1＜m＜2． ∴m的取值范围是m≤-2或-1＜m＜2． ‎ ‎【解析】分别解出命题p，q的m的取值范围，p∧q为假命题且p∨q为真命题，可得p，q必然一真一假． 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.【答案】解：（1）由频率分布表得第四组人数为：=25人， 由频率分布直方图得第四组的频率为0.025×10=0.25， ∴n==100． ∴第一组抽取的人数为：100×0.01×10=10人， 第二组抽取的人数为：100×0.02×10=20人， 第三组抽取的人数为：100×0.03×10=30人， 第五组抽取的人数为：100×0.15×10=15人， ∴． （2）∵第2，3，4组回答正确的人分别有18、27、9人， 从中用分层抽样的方法抽取6人， ∴第2组抽取：6×=2人， 第3组抽取：6×=3人， 第4组抽取：6×=1人． （3）由频率分布直方图得： 年龄的众数为：=40， 年龄的平均数为：20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10++50×0.025×10+60×0.015×10=41.5． ‎ ‎【解析】（1）由频率分布表得第四组人数为25人，由频率分布直方图得第四组的频率为0.25，从而求出n=100．由此求出各组人数，进而能求出a，b，x，y的值． （2）由第2，3，4组回答正确的人分别有18、27、9人，从中用分层抽样的方法抽取6人，由此能求出第2，3，4组每组各抽取多少人． （3）由频率分布直方图能求出年龄的众数，平均数． 本题考查频率、频数、众数、平均数的求法，考查分层抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用． 19.【答案】解：（1）由已知得：xiyi=52.5，=3.5，=3.5，=54． 代入公式得=0.7，， ∴； （2）将x=10代入线性回归方程， 得=0.7×10+1.05=8.05（h）． ∴预测加工10个零件需要8.05 h． ‎ ‎【解析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求； （2）在（1）中求得的回归方程中，取x=10求得y值即可． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 20.【答案】解：（1）证明：由方程组， 消去x后整理得ky2+y-k=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2‎ ‎）， 由韦达定理，得y1•y2=-1， 由A，B在抛物线y2=-x上， ∴y12=-x1，y22=-x2，y12•y22=x1x2． ∵kOA•kOB== ∴OA⊥OB． （2）由（1）得， 可得|AB|== ==； ‎ ‎【解析】（1）联立直线方程和抛物线方程，可得y的方程，运用韦达定理，由A，B在抛物线y2=-x上，代入抛物线方程，再由直线的斜率公式，结合两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得证． （2）联立直线方程和抛物线的方程，消去x可得y的方程，求得A，B的坐标，运用两点的距离公式，即可得到所求值； 本题考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，同时考查点满足抛物线的方程，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于中档题． 21.【答案】解：由x2-8x-20≤0，解得-2≤x≤10， 即p：-2≤x≤10． 由x2-2x+1-a2≤0（a＞0）， 得[x-（1-a）][x-（1+a）]≤0， 即1-a≤x≤a+1，即q：1-a≤x≤a+1， 要使p是q的充分不必要条件， 则 ，解得a≥9， ∴a的取值范围是[9，+∞）． ‎ ‎【解析】分别求出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义，得到关于a的不等式组，解出即可． 本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题． 22.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则 则故 所以，椭圆方程为． （2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0， 故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由消去y得 （1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0， 则△=64k2b2-16（1+4k2b2）（b2-1）=16（4k2-m2+1）＞0， 且，． 故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2． 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列， 所以=k2， 即+m2=0，又m≠0， 所以k2=，即k=． 由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得 0＜m2＜2且m2≠1． 设d为点O到直线l的距离， 则S△OPQ=d|PQ|=|x1-x2||m|=， 所以S△OPQ的取值范围为（0，1）． ‎ ‎【解析】（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可． （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围． 求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在． ‎