2019-2020学年湖南省常德市高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年湖南省常德市高二上学期期末考试数学试题

湖南省常德市2019-2020学年高二上学期期末考试数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德市 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 命题“若a>－3，则a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2. 已知命题p：，则为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3. 高三（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是(　　)‎ A．8 B．13 C．15 D．31‎ ‎4. 已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：‎ x/吨 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y/吨 ‎2.5‎ t ‎4‎ ‎4.5‎ 根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表格中t的值为 A．3 B．3.15 C．3.25 D．3.5‎ ‎6. 已知a，b是非零实数，则“a>b”是“lna>ln|b|”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7. 已知向量a=(λ+1,0,2)，b=(6,2μ-1,2λ)，若a∥b，则λ+的值可以是(　　)‎ A． B． C．-3 D．2 （第8题图）‎ ‎8. 如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则x+y的值为(　　)‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎9. 已知点A是圆M的圆周上一定点，若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B，连接AB，则“线段AB的长度大于圆M的半径”的概率约为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则C的方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋y2＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ ‎11. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，‎ CB⊥AB，PA⊥平面ABC，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为(　　) ‎ A．- B．- C． D． ‎ ‎（第11题图）‎ ‎12.已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交虚轴于点C，若，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C．2 D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13. 某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为 .‎ ‎ （第13题图） （第15题图）‎ ‎14. 在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=8x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=　　　　　. ‎ ‎15. 如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=2，AC=3，BD=4，则CD的长为　　　　　. ‎ ‎16. 已知椭圆的右焦点为F2，点M在⊙O：x2＋y2＝3上，且M在第－象限，过点M 作⊙O的切线交椭圆与P，Q两点，则△PF2Q的周长为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分) ‎ ‎（1）已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；‎ ‎（2）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”若命题 “p∧q”是真命题，求实数a的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分) ‎ 某高校在2019年的自主招生笔试成绩(满分200分)中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎[90,110)‎ ‎15‎ a 第二组 ‎[110,130)‎ ‎25‎ ‎0.25‎ 第三组 ‎[130,150)‎ ‎30‎ ‎0.3‎ 第四组 ‎[150,170)‎ b c 第五组 ‎[170,190]‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎（1）求频率分布表中a,b,c的值；‎ ‎（2）估计笔试成绩的平均数及中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（精确到0.1） ‎ ‎（3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分) ‎ 在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，△SAB是等边三角形，已知AC=2AB=4，BC=2.‎ ‎(1) 求证：平面SAB⊥平面SAC；‎ ‎(2) 求直线SA与平面SBC所成角的正弦值. ‎ ‎20.(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 当DAMN的面积为时，求k的值.‎ ‎21.(本小题满分12分) ‎ 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到DBC'D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=2，如图2.‎ ‎(1) 求证：FA∥平面BC'D；‎ ‎(2) 求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；‎ ‎(3) 在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC'？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分) ‎ 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点.‎ ‎(1) 求抛物线的标准方程；‎ ‎(2) 如果直线l过抛物线的焦点，求的值；‎ ‎(3) 如果=-4，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由.‎ 数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B D B A B A C D C D B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.9； 14.2 ； 15. ； 16.4.‎ 三、解答题：共20分，每小题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解：（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0=.‎ 则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为.‎ ‎(3)解 假设在线段AD上存在M(a,b,c),使得C'M⊥平面FBC',‎ 设=λ,则(a,b+,c)=λ(-1,,0)=(-λ,λ,0),‎ ‎∴a=-λ,b=(λ-1),c=0.而=(-λ,(λ-1),-).‎ 由m∥,可知λ不存在,‎ ‎∴线段AD上不存点M,使得C'M⊥平面FBC'.‎ ‎22解 (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1,‎ ‎∴=1,p=2.‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=4x.‎ ‎(2)若直线l斜率存在,则设l:my=x-1,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎∴y1+y2=4m,y1y2=-4.‎ ‎∴=x1x2+y1y2=(m2+1)·y1y2+m(y1+y2)+1=-3.‎ 若直线l斜率不存在,则易得A(1,2),B(1,-2),‎ ‎∴=1-4=-3.‎ 综上可得=-3.‎ ‎(3)假设直线l过定点且斜率存在,‎ 设l:my=x+n,‎ 得y2-4my+4n=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎∴y1+y2=4m,y1y2=4n.‎ 由=(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n=-4,解得n=-2.‎ 满足Δ=16m2-16n>0,‎ ‎∴l:my=x-2过定点(2,0).‎ 若直线l过定点且斜率不存在,则设l:x=t(t>0),‎ 则A(t,2),B(0,-2),‎ ‎∴=t2-4t,‎ 由t2-4t=-4得t=2,‎ ‎∴直线l过定点(2,0).‎