【数学】2019届一轮复习北师大版正态分布、统计与统计案例学案

【数学】2019届一轮复习北师大版正态分布、统计与统计案例学案

专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明 第三讲 正态分布、统计与统计案例 高考导航 1．考查正态曲线的性质及正态分布的概率计算． 2．考查系统抽样和分层抽样、样本的频率分布与数字特征、线性回归分析、独立性检 验． 3．与概率知识交汇进行综合考查. 1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整 理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折 线图： 根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 [解析] 折线图呈现出的是一个逐渐上升的趋势，但是并不是每个月都在增加，故 A 说 法错误；折线图中按照年份进行划分，可以看出每年的游客量都在逐年增加，故 B 说法正 确；折线图中每年的高峰出现在每年的 7,8 月，故 C 说法正确；每年的 1 月至 6 月相对于 7 月至 12 月的波动性更小，变化的幅度较小，说明变化比较平稳，故 D 说法正确． [答案] A 2．(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长 x(单位：厘米)和身高 y(单位：厘米)的关系， 从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为y ^ ＝b ^ x＋a ^ ，已知 错误!i＝225，错误!i＝1600，b ^ ＝4.该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为( ) A．160 B．163 C．166 D．170 [解析] 由题意可得 x － ＝22.5，y － ＝160，∴a ^ ＝160－4×22.5＝70，即y ^ ＝4x＋70.当 x＝24 时，y ^ ＝4×24＋70＝166，故选 C. [答案] C 3．(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件．为检验产品的质量 ，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． [解析] 从丙种型号的产品中抽取的件数为 60× 300 200＋400＋300＋100 ＝18. [答案] 18 4．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧 箱养殖方法的产量对比，收获时 各随机抽取了 100 个 箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下： (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg， 新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99 的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01)． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d. [解] (1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产 量不低于 50 kg”． 由题意知 P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故 P(B)的估计值为 0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故 P(C)的估计值为 0.66. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62×0.66＝0.4092. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 K2＝200×62×66－34×382 100×100×96×104 ≈15.705. 由于 15.705>6.635，故有 99 的把握认为箱产量与养殖方法有关． (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg 的直方图面积为(0.004 ＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于 55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋ 0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.34 0.068 ≈52.35(kg)． 考点一 正态分布 1．正态曲线的性质 (1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线关于直线 x＝μ对称，且在 x＝μ处达到峰值． (2)曲线与 x 轴之间的面积为 1. (3)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 2．正态分布 X～N(μ，σ2)的三个常用数据 (1)P(μ－σP(X≤σ1)，故 B 错； 当 t 为任意正数时，由题图可知 P(X≤t)≥P(Y≤t)，而 P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1 －P(Y≥t)， ∴P(X≥t)≤P(Y≥t)， 故 C 正确，D 错． [答案] C 2．某校组织了“2017 年第 15 届希望杯数学竞赛(第一试)”，已知此次选拔赛的数学成 绩 X 服从正态分布 N(72,121)(单位：分)，此次考生共有 500 人，估计数学成绩在 72 分到 83 分之间的人数约为(参数数据：P(μ－σ2.706， 所以有 90 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”． (2)“x

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