高考数学创新题小题汇编答案

高考数学创新题小题汇编答案

高考数学创新题小题汇编 ‎1.在平面直角坐标系中，为坐标原点．定义、两点之间的“直角距离”为．若点，则= ；已知点，点是直线上的动点，的最小值为 ．‎ 【解析】 ‎；．‎ 先把直线方程改写成：，则直线是过定点且斜率为正的直线．设直线与轴交于点，与交于点，则构成直角三角形．如右图所示．‎ 先考虑的情形：此时若介于间例如点，我们有：，也就是处在间时在点取最小值；若在延长线上例如点：，所以此时在点取最小值；若在延长线上例如点：，所以此时在点取最小值；又由于时，所以综合知；‎ 类似地可以知道：若，则分别在延长线上、间、延长线上时，分别在点，点，点取最小值，又此时，故；‎ 若则，在间任意一点都取到最小值．‎ ‎ 2.在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”．则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 ．‎ 【解析】 ‎，．‎ 第一问，可直接利用折线距离的几何定义：‎ 设直线与轴、轴分别交于点、：则，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，；当点在之间时，，，当点与点重合时取到等号．‎ 第二问，类似第一问可知，当在单位圆上固定一点时，对于直线上任一点，当且仅当轴时取最小；‎ 为了求水平距离的最小值，如图所示，过作轴的平行线交直线于，过作直线的垂线垂足为；则为定值，为直线的倾角的正弦：‎ ‎∴；求水平距离的最小值即为求的最小值；‎ 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为，则当且仅当与重合时，‎ 取到最小值；此时过作轴的平行线交直线于，则也取到最小值；‎ ‎∵，，∴，，‎ ‎∴，当分别与重合时取到等号．‎ ‎3在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：‎ ‎①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形；‎ ‎②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆；‎ ‎③到两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形；‎ ‎④到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线．‎ 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）‎ 【解析】 ‎①③④．‎ ‎①设点的坐标为，根据定义有，这是条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点的“折线距离”等于的点的集合同样也是以为中心半对角线长为的斜正方形，这是欧氏距离下圆的近似；‎ ‎③设点的坐标为，根据定义有，整理得，画出其图像是上图所示的六边形，面积为．更一般地不难证明：若纵坐标相同，，则到两点的“折线距离”和为的点的集合也是类似的对称六边形，以为对称轴，以中点为对称中心，长为，高为，水平边长为，面积，这是欧氏距离下椭圆的近似；若横纵坐标均不同时情况将异常复杂．‎ ‎④设点的坐标为，根据定义有，解得，这是两条竖直直线，如上图所示．更一般地不难证明：若纵坐标相同，，则到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合也是两条竖直直线，与中点距离为，这是欧氏距离下双曲线的近似；若横纵坐标均不同时情况将异常复杂．‎ ‎4.已知函数的定义域为R，若存在常数，对任意，有，则称为函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数均有．其中是函数的序号为（ ）‎ A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤‎ 【解析】 C．‎ 时，时，即过原点的弦斜率有界．‎ ‎①显然满足上面性质；‎ ‎②，但时无界； ‎ ‎③，；‎ ‎④，且时；‎ ‎⑤如右图所示，是奇函数则；又恒成立，所以所有的弦斜率绝对值有界，自然也是过原点的弦的界，所以（也可以直接取得到）．‎ ‎．‎ ‎ 5.定义方程的实数根叫做函数的 “新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是 ．‎ ‎（）‎ ‎，，∴；‎ ‎ ，，∴；‎ ‎，，∴，∵，∴‎ 因为在内单调递减且从趋向于，在区间内单调递增从趋向于，∴两者有唯一交点，即有唯一解；‎ ‎∵，，∴‎ ‎∴‎ ‎6.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合：‎ ‎①；②；‎ ‎③；④．‎ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是 ．‎ 【解析】 ‎②④．‎ ‎①不是拓扑，因为，，但；‎ ‎②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；‎ ‎③不是拓扑，因为全集；‎ ‎④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．‎ ‎7.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数．下列函数：‎ ‎①；②；③ ； ④；‎ ‎⑤，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）‎ 答案：②④．‎ ‎①：∵，∴在上，经过无穷个格点；‎ ‎②：，当时易见为无理数，∴只经过 这个格点；‎ ‎③： 当时都为整数，∴经过无穷个格点；‎ ‎④：；若，则，由于互素，左边当且仅当时才为整数，∴只经过原点这个格点；‎ ‎⑤：若，则，解得或，∴经过两个格点．‎ ‎8.点在直线上，若存在过的直线交抛物线于，两点，且，则称点为“A点”，那么下列结论中正确的是（ ）‎ A．直线上的所有点都是“A点”‎ B．直线上仅有有限个点是“A点”‎ C．直线上的所有点都不是“A点”‎ D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A点”‎ 【解析】 A 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．‎ 本题采作数形结合法易于求解，如图，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∵，在上，‎ ‎∴‎ 消去，整理得关于的方程 ①‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴方程①恒有实数解，∴应选A．‎ ‎9.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，；‎ 表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第棵树种植点的坐标应为 ；第棵树种植点的坐标应为 ．‎ 【解析】 ‎，‎ ‎，，…，，，……，‎ 于是，，，，；‎ ‎，，……，‎ 于是．‎ 故第棵树的种植点的坐标为；，，，故第棵树的种植点坐标为．‎ ‎10.在平面直角坐标系中，点集，，则 ‎⑴ 点集所表示的区域的面积为_____；‎ ‎⑵ 点集所表示的区域的面积为 ．‎ 【解析】 ‎；；‎ 点集就是整个单位圆；点集所表示的区域是如图所示的直角三角形，其中，．‎ ‎⑴ 点集是将点集中的所有点横坐标加纵坐标加得到的，即都进行了一个向量的平移，所以整体上集合也按照向量进行了平移，得到的点集还是一个半径为的圆，圆心在，所以面积依旧是；‎ ‎⑵ 点集实际上可以写成：，其中看成是按照向量的平移得到的点集．‎ 而得到的是以为圆心半径为的圆，所以就是所有圆心在里半径为的圆的并；如图所示：当半径为的圆在边界上滑动时，分别得到矩形，矩形，矩形；在顶点滚动时，得到三个扇形；所以最终就是图示阴影部分．不难求得面积 ‎11.一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数生成两个数，一个是 ，另一个是．设第次生成的数的个数为，则数列的前项和　 ；若，前次生成的所有数中不同的数的个数为，则　 ．‎ 【解析】 ‎；．‎ ‎，，，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以，；‎ 为了研究所有生成数中不同数的个数，我们用一个双排单链表来考察一下生成数的过程：‎ 时，只有1个数；‎ 时，共有3个数：‎ 起，生成的所有数形成了一个双排单链表，其中箭头代表生成过程：‎ 时的链表如下：‎ 这个链表具有这样的规律：‎ ‎①第一排从左往右，第二排从右往左，都是公差为3的等差数列；第一排的与第二排的对应；‎ ‎②两排项数相同但是错开1项，除掉第一排的尾项与第二排的首项以外，其余项一一对应且互为相反数；‎ ‎③在生成数的过程中，第一排的数只能生成其右边和下边的数，第二排的数只能生成其左边和上边的数，箭头表明了生成的过程；‎ ‎④从到时，根据③，链表的中间段不可能再生成新数，只有第一排尾项与第二排首项能生成新数，第一排尾项为两排右边各加一项，变成两排的新尾项；‎ 第二排首项为两排左边各加一项，变成两排的新首项；‎ ‎⑤根据④，的链表每排项数比的链表多2，每排有3项，每排有5项，∴每排有项；‎ ‎⑥当时，的第一排被3除余1，第二排被3除余2，所以两排的项不会重复，从而列出了前次生成的所有不同的数；∴为链表的项数，即；另外，．‎ 下面给出了链表：‎ ‎12.如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在函数的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“Л型函数”．则下列函数：‎ ‎①； ② ； ③ ，‎ 是“Л型函数”的序号为　 ．‎ 【解析】 ‎①③；‎ 若，，则，故①满足；若，，则，，故③满足；②反例：，时，构成三角形，但，故不构成三角形．‎ ‎13.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．‎ 如果定义域是的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是　 ．‎ 如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是　 ．‎ 【解析】 ‎；．‎ 第一问，依定义，在上恒成立，即在上恒成立；由于，分两种情况讨论：‎ ‎①时，若，，矛盾；所以这种情形不存在；‎ ‎②时，在上，一次函数在处取到最小值，根据题意，只需要最小值即可，解得；‎ ‎∴实数的取值范围是；‎ 第二问，用数形结合的思想来解决．‎ 如图所示，先作出的图象，其图象是由三条直线构成的折线，与轴有三个交点、、；极大值点；极小值点；‎ 而是沿轴向左平移个单位得到的图象，当且仅当的右端直线整体处于的左端直线上方时，才有恒成立（如图所示的实线与虚线）；即当且仅当时才是高调函数，解得的取值范围是．‎ ‎14.我们可以利用数列的递推公式 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则　 ；‎ 研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第个是该数列的第　 项．‎ 【解析】 ‎，．‎ ‎，同时，因此；‎ 第个出现在第项，因此第个是该数列的第．‎ ‎15.给定集合，映射满足：‎ ‎①当时，；‎ ‎②任取若，则有．‎ 则称映射：是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”．‎ ‎ 表1 表2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎⑴ 已知表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；‎ ‎⑵ 若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是　 ．‎ 【解析】 ‎⑴ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 或 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎⑵．‎ 考虑怎样的映射才能构成优映射，设是一个优映射，则：‎ 若，不难知道此时，即是恒等映射；‎ 若，则可知，此时如果，则又有；‎ 若，则又有，此时又转化成对还是的讨论：若，则；‎ 若，类似地；‎ 如此过程反复进行，至多进行次，最终我们可以得到：是的优映射，当且仅当存在一个单增序列，使得在该序列上是右轮换映射，在其余值是恒等映射，即：，，…，，，．‎ 在本题中，满足的解恰有个的优映射，其轮换序列为，有种情形，所以满足题意的优映射有个．‎ ‎16.已知满足条件的点构成的平面区域的面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为，（其中、分别表示不大于、的最大整数），则点一定在（ ）‎ A．直线左上方的区域内 B．直线上 ‎ C．直线右下方的区域内 D．直线左下方的区域内 ‎ 【解析】 A．‎ 就是单位圆面，所以．而求就要费一番周折了：‎ ‎，根据取整函数的定义可以画出其图像如下：‎ 可见代表的区域是一个十字，所以．所以A，B，C中只有A对，D也是错误的，．‎ 注：此题如果直接根据而试图得到是错误的（虽然结果正确）．由图示可以看到，两块区域并不是互相包含的关系，各自都含有对方没有的部分，是错误的，例如．‎ ‎17.对于任意两个正整数，定义运算（用表示运算符号）：当，都是正偶数或都是正奇数时，；而当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，．例如，．在上述定义中，集合的元素有 个．‎ 答案：15；‎ 同奇偶时有11组：；异奇偶时有4组：．‎ ‎18.示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3．图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作．‎ ‎⑴ 方程的解是 ；‎ ‎⑵ 下列说法中正确命题的序号是 ．（填出所有正确命题的序号）‎ ‎①；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④的图象关于点对称．‎ 【解析】 ‎；③④．‎ 解法一（根据的映射方式）：‎ ‎⑴ 象点与原点重合是直径点的初始坐标是；‎ ‎⑵①所对的圆心角为直线的倾角为的斜率为点在原点左侧且点坐标为；‎ ‎②的定义域是，所以肯定不是奇函数；‎ ‎③增大弧长增大所对的圆心角增大直线的倾角增大直线的截距即点坐标增大的值增大；‎ ‎④如右图，设将点映射到，点映射到，设所对的值分别为．则 关于轴对称当且仅当也关于轴对称当且仅当当且仅当当且仅当的图象关于点对称．‎ 解法二（写出的解析式）：‎ 如图所示，的映射方式是将弧长映射到的有向长度．‎ 设圆心为，若点对应的值为，即弧长，注意到圆周长为1，则弧长所对的圆心角，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 根据正切函数的定义，，其中，；解得；‎ ‎∴．根据的解析式，易知的解为，命题①②③④中只有③④成立．‎ ‎19.个函数：①； ②； ③．‎ 其中满足性质：“对于任意，，若，，，则有成立”的函数是 ．（写出全部正确结论的序号）‎ 【解析】 ‎②③．‎ 设 ，又记，，，则_________．‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 A．‎ ‎① 容易举出反例：∵，∴取，则，显然；‎ ‎② 注意到在上单调递减，∴，恒成立；‎ ‎③ 在上单调递增，∴，恒成立．‎ ‎20.满足：，，则 ；若有一个形如 的通项公式，其中均为实数，且，，，则此通项公式可以为 （写出一个即可）．‎ 【解析】 ‎2，．‎ ‎，，，，…，是以3为周期的数列，‎ ‎∵，∴3是的周期，而的最小正周期是，∴存在正整数，使得，∴且（否则通项公式为常数）．‎ ‎∴．这里利用了恒等式当时，．‎ 由和可得：，于是存在整数，使得；‎ 由和可得，：‎ ‎① 若，化为，，由知只能有且为奇数；此时都确定，只差．由的形式以及知 ‎∴‎ ‎② 若，即有，，同上可得且为偶数；但此时，不可能处在的范围内；所以这种情况不存在．‎ ‎（注意：答案必列出全部情形，如写成即可）‎ ‎21.集中定义一种运算“*”，具有性质：‎ ‎①对任意；②对任意；‎ ‎③对任意；‎ 则 ；函数的最小值为 ．‎ 答案：；．‎ ‎22.已知函数由下表给出 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 其中等于在中所出现的次数．则 ； ．‎ 【解析】 ‎．‎ 因为等于在总共个数中出现的次数，由于次数必定为整数且最多为，所以必定有；‎ ‎①不存在的情形；即；‎ 否则若，则代表出现次，于是这个数为；而又，所以这个数只能为；于是但出现次，矛盾；‎ ‎②；‎ 一方面，中共个数，这些数的和为；‎ 另一方面，中只有个，个，个，个，个，除此之外没有别的数（由①），所以总共只有个数，这些数的和为；‎ 两方面对比即得；‎ ‎③；；‎ 由②知（否则）；下面我们证明；‎ 不然，若，则，‎ 这个方程组只有唯一解（由①）：，于是这里但出现次，矛盾；‎ ‎∴，这里已经可以解答原题，如果想求出每个数的值，还要继续往下：‎ ‎④；‎ 由③得，∴；‎ 若，则，解得 或，这两个解都能轻松导出矛盾；∴；‎ ‎⑤；‎ 由③④得，解得 或或，前两个解都能轻松导出矛盾，只有最后一组解经检验符合题意：此时中正好恰有个，个，个，个，个．‎