高考数学一轮复习精品题集之函数
函数
必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.1.1 函数的概念和图象
重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f（x）”的含义，掌握函数定义
域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示
分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．
考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函
数；
③了解简单的分段函数，并能简单应用；
经典例题：设函数 f（x）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：
（1）H（x）=f（x2+1）；
（2）G（x）=f（x+m）+f（x－m）（ m＞0）.
当堂练习：w.w.w.g.k.x.x.c.o.m
1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）
A．
2( ) , ( )f x x g x x B．
2( ) , ( ) ( )f x x g x x
C．
2 1( ) , ( ) 1
1
xf x g x x
x
D．
2( ) 1 1, ( ) 1f x x x g x x
2 函数 ()y f x 的图象与直线 xa 交点的个数为（ ）
A．必有一个 B．1 个或 2 个 C．至多一个 D．可能 2 个以上
3．已知函数
1()
1
fx
x
，则函数 [ ( )]f f x 的定义域是（ ）
A． 1xx B． 2xx C． 1, 2xx D． 1, 2xx
4．函数
1()
1 (1 )
fx
xx
的值域是（ ）
A．
5[ , )
4
B．
5( , ]
4
C．
4[ , )
3
D．
4( , ]
3
5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中： 1l 表示产品各年年
产量的变化规律； 2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）
（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( )
A．（ 1），（2），（3） B．（ 1），（3），（4） C．（ 2），（ 4） D．（ 2），（ 3）
6．在对应法则 , , ,x y y x b x R y R 中,若 25 ,则 2 ， 6．
7 ．函数 ()fx 对 任 何 xR 恒有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x ， 已 知 (8) 3f ，则
( 2)f ．
8．规定记号“ ”表示一种运算，即 a b a b a b a b R ，、 . 若13k，则函数
f x k x的值域是___________．
9．已知二次函数 f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是 x=1； (2) f(x)的最大值为 15；(3) f(x)
的两根立方和等于 17．则 f(x)的解析式是 ．
10．函数 2
5
22
y
xx
的值域是 ．
11． 求下列函数的定义域 ： (1)
() 12
1
xfx
x
(2)
0( 1)() xfx
xx
12．求函数 32y x x 的值域．
13．已知 f(x)=x2+4x+3，求 f(x)在区间[t,t+1]上的最小值 g(t)和最大值 h(t)．
14．在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有动点 M，从点 B
开始，沿折线 BCDA 向 A 点运动，设 M 点运动的距离为 x，
△ABM 的面积为 S．
（1）求函数 S=的解析式、定义域和值域；
（2）求 f[f(3)]的值．
必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
A B
C D
§2.1.2 函数的简单性质
重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义
证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单
调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象
函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．
考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇
偶性的含义；并了解映射的概念；
②会运用函数图像理解和研究函数的性质．
经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数 f（x）为增函数，偶函数 g（x）在［0，
＋∞ )上图象与 f（x）的图象重合.设 a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是
f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）
③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
当堂练习：
1．已知函数 f(x)=2x2-mx+3，当 2,x 时是增函数，当 ,2x 时是减函数，则 f(1)
等于 （ ）
A．-3 B．13 C．7 D．含有 m 的变量
2．函数
2
2
11()
11
xxfx
xx
是（ ）
A． 非奇非偶函数 B．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C． 偶函数 D． 奇函数
3．已知函数(1) ( ) 1 1f x x x , (2) ( ) 1 1f x x x ,(3)
2( ) 3 3f x x x
(4)
0( )
()
1( )R
xQ
fx
x C Q
,其中是偶函数的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．奇函数 y=f（x）（ x≠0），当 x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数 f（x－1）的图象
为 （ ）
5．已知映射 f:A B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f
下的象,且对任意的 Aa ,在 B 中和它对应的元素是 a ,则集合 B 中元素的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．函数
2( ) 2 4f x x tx t 在区间[0, 1]上的最大值 g(t)是 ．
7 ． 已 知 函 数 f(x) 在 区 间 (0, ) 上 是 减 函 数 , 则
2( 1)f x x 与
()
3
4
f
的 大 小 关 系
是 ．
8．已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x<0 时, f(x)是增函数,若 x1<0,x2>0,且 12xx ,则 1()fx
和 2()fx 的大小关系是 ．
9．如果函数 y=f(x+1)是偶函数，那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称．
10．点(x,y)在映射 f 作用下的对应点是
33( , )
22
x y y x
,若点 A 在 f 作用下的对应点是
B(2,0),则点 A 坐标是 ．
13. 已知函数
2 12
2()
xx
fx
x
,其中 [1, )x ，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．
14．已知函数
2
2 1 1() afx
a a x
，常数 0a 。
（1）设 0mn，证明：函数 ()fx在[]mn， 上单调递增；
（2）设 0 mn且 ()fx的定义域和值域都是[]mn， ，求 nm 的最大值．
13.(1)设 f(x)的定义域为 R 的函数,求证:
1( ) [ ( ) ( )]
2
F x f x f x
是偶函数；
1( ) [ ( ) ( )]
2
G x f x f x
是奇函数.
(2)利用上述结论，你能把函数
32( ) 3 2 3f x x x x 表示成一个偶函数与一个奇函数之和的
形式．
14. 在集合 R 上的映射:
2
1 :1f x z x ,
2
2 : 4( 1) 1f z y z .
(1)试求映射 :f x y 的解析式;
(2)分别求函数 f1(x)和 f2(z)的单调区间;
(3) 求函数 f(x)的单调区间.
必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.1.3 单元测试
1． 设集合 P= 04xx ,Q= 02yy ,由以下列对应 f 中不能构成 A 到 B 的映射的是
（ ）A．
1
2
yx
B．
1
3
yx
C．
2
3
yx
D．
1
8
xy
2．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y=
1
x ,其中定义域与值域相同的是
（ ） A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．2)(3) D．(2)(3)(4)
3．已知函数
7( ) 2cf x ax bx
x
,若 (2006) 10f ,则 ( 2006)f 的值为（ ）
A．10 B． -10 C．-14 D．无法确定
4．设函数
1( 0)
()
1 ( 0)
x
fx
x
，则
( ) ( ) ( ) ()
2
a b a b f a b ab
的值为（ ）
A．a B．b C．a、b 中较小的数 D．a、b 中较大
的数
5．已知矩形的周长为 1,它的面积 S 与矩形的长 x 之间的函数关系中,定义域为（ ）
A． 10
4
xx
B． 10
2
xx
C． 11
42
xx
D． 1 1
4
xx
6．已知函数 y=x2-2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是（ ）
A．0
f(-1) B．f(-1)>f(-2) C．f(1)>f(2) D．f(-2)>f(2)
6．计算.
3 8 15 211[( ) ] ( 4) ( )
28
．
7．设
2 21
mn
mnx x a
，求
2
1xx ．
8．已知
1
()
31x
f x m
是奇函数，则 ( 1)f = ．
9．函数
1( ) 1( 0, 1)xf x a a a 的图象恒过定点 ．
10 ．若函数 0, 1xf x a b a a 的 图 象 不 经 过 第 二 象 限 ， 则 ,ab满 足 的 条 件
是 ．
11．先化简,再求值: (1)
23
2
a b a
b a b ,其中 256, 2006ab；
(2)
1 1 3
1 2 1 22 2 2[ ( ) ( ) ]a b a b a
,其中
1
3
8
12,
2
ab
．
12．(1)已知 x[-3,2]，求 f(x)=
111
42xx
的最小值与最大值．
(2)已知函数
2 33() xxf x a 在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 的值．
(3)已知函数
2 2 1( 0, 1)xxy a a a a 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值．
13．求下列函数的单调区间及值域:
(1)
( 1)2( ) ( )
3
xxfx
； (2)
12
4
x
xy
； (3)求函数
2 32( ) 2 xxfx 的递增区间．
14．已知
2( ) ( 1)
1
x xf x a a
x
(1)证明函数 f(x)在 ( 1, ) 上为增函数；(2)证明方程 0)( xf 没有负数解．
必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.3 对数函数
重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换
底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较
同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；
③知道对数函数是一类重要的函数模型；
④了解指数函数
xya 与对数函数 logay x 互为反函数 ,1a o a ．
经典例题：已知 f（logax）=
2
2
( 1)
( 1)
ax
xa
，其中 a＞0，且 a≠1．
（1）求 f（x）； （2）求证：f（x）是奇函数； （3）求证：f（x）在 R 上为增函数．
当堂练习：
1．若 lg 2 ,lg3ab,则 lg 0.18 （ ）
A． 22ab B． 22ab C．32ab D． 31ab
2．设 a 表示
1
35 的小数部分，则 2log (2 1)a a 的值是（ ）
A． 1 B． 2 C．0 D．
1
2
3．函数
2lg( 3 6 7)y x x 的值域是（ ）
A．[1 3,1 3] B．[0,1] C．[0, ) D．{0}
4．设函数
2
00
,0
( ) , ( ) 1,
lg( 1), 0
xx
f x f x x
xx
若 则
的取值范围为（ ）
A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．( ,9) D．( , 1) (9, )
5．已知函数
1( ) ( )
2
xfx
，其反函数为 ()gx，则
2()gx 是（ ）
A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减 B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增
C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减 D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增
6．计算 2008 3 2log [log (log 8)] = ．
7．若 2.5x=1000,0.25y=1000,求
11
xy
．
8．函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 3[log (3 )]fx 的定义域为 ．
9．已知 y=loga(2－ax)在［0，1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是 ．
10．函数 ( )( )y f x x R图 象 恒 过 定 点 (0,1) ，若 ()y f x 存在反函数
1()y f x ，则
1( ) 1y f x的图象必过定点 ．
11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则 log8（x2＋y2）的值为多少．
12．(1) 求函数 22(log )(log )
34
xxy
在区间[2 2,8] 上的最值．
(2)已知
2
11
22
2log 5log 3 0,xx
求函数
21
2
4( ) (log ) (log )
8
xfx
x
的值域．
13．已知函数
1( ) log ( 0, 1)
1a
mxf x a a
x
的图象关于原点对称． (1)求 m 的值；
(2)判断 f(x) 在 (1, ) 上的单调性,并根据定义证明．
14．已知函数 f(x)=x2－1(x≥1)的图象是 C1，函数 y=g(x)的图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对
称．
(1)求函数 y=g(x)的解析式及定义域 M；
(2)对于函数 y=h(x)，如果存在一个正的常数 a，使得定义域 A 内的任意两个不等的值 x1，
x2 都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数 y=h(x)为 A 的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：
y=g(x)是 M 上的利普希茨Ⅰ类函数．
必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.4 幂函数
重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．
考纲要求：①了解幂函数的概念；
②结合函数
1
23 21, , , ,y x y x y x y y x
x
的图像，了解他们的变化情况．
经典例题：比较下列各组数的大小：
（1）1.5 3
1
，1.7 3
1
，1； （2）（－
2
2 ） 3
2
，（－
10
7 ） 3
2
，1.1 3
4
；
（3）3.8 3
2
，3.9 5
2
，（－1.8） 5
3
； （4）31.4，51.5.
当堂练习：
1．函数 y＝（x2－2x） 2
1－
的定义域是（ ）
A．{x|x≠0 或 x≠2} B．（－∞，0） （2，＋∞） C．（－∞，0） ［2，＋∞ ） D．（ 0，
2）
3．函数 y＝ 5
2
x 的单调递减区间为（ ）
y
x0
c1
c2
A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［ 0，＋∞ ］ D．（－∞，
＋∞）
3．如图，曲线 c1, c2 分别是函数 y＝xm 和 y＝xn 在第一象限的图象，
那么一定有（ ）
A．nn>0 D．n>m>0
4．下列命题中正确的是（ ）
A．当 0 时，函数 yx 的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0），（ 1，1）
两点
C．幂函数的 yx 图象不可能在第四象限内 D．若幂函数 yx 为奇函数，则在定义域
内是增函数
5．下列命题正确的是（ ）
幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数
如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同
如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数
6．用“<”或”>”连结下列各式： 0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8 0.40.6 ．
7．函数 y＝
22
1
mmx － － 在第二象限内单调递增，则 m 的最大负整数是_______ _．
8．幂函数的图象过点(2,
1
4 ), 则它的单调递增区间是 ．
9 ．设 x ∈ (0, 1) ， 幂 函 数 y ＝ ax 的 图 象 在 y ＝ x 的 上 方 ， 则 a 的 取 值 范 围
是 ．
10．函数 y＝
3
4x
在区间上 是减函数．
11．试比较
53
0.75380.16 ,1.5 , 6.25 的大小．
12．讨论函数 y＝x 5
4
的定义域、值域、奇偶性、单调性。
13．一个幂函数 y＝f (x)的图象过点(3,
4 27 ),另一个幂函数 y＝g(x)的图象过点(－8, －2),
(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函
y
x0
y
x0
y
x0
（1） （2） （3）
数的图象，观察得 f (x)< g(x)的解集.
14．已知函数 y＝
4 2215 xx－－ ．
（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．
必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
基本初等函数Ⅰ单元测试
1．碘 —131 经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是 8 天(即经过 8 天的时间，有 一
半的碘—131 会衰变为其他元素)．今年 3 月 1 日凌晨，在一容器中放入一定量的碘 —131，
到 3 月 25 日凌晨，测得该容器内还 剩有 2 毫克的碘—131，则 3 月 1 日凌晨，放人该容器
的碘—131 的含量是（ ）
A．8 毫克 B．16 毫克 C．32 毫克 D．64 毫克
2．函数 y＝0.5x、 y＝x－2 、y＝log0.3x 的图象形状
如图所示,依次大致是 （ ）
A．（ 1）（ 2）（ 3） B．（ 2）（ 1）（ 3）
C．（ 3）（ 1）（ 2） D．（ 3）（ 2）（ 1）
3．下列函数中，值域为(－∞,＋∞)的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝x－2 D．y＝log ax (a>0, a
≠1)
4．下列函数中，定义域和值域都不是(－∞,＋∞)的是（ ）
A．y＝3x B．y＝3x C．y＝x－2 D．y＝log 2x
5．若指数函数 y=ax 在［－1，1］上的最大值与最小值的差是 1，则底数 a 等于
A．
15
2
B．
15
2
C．
15
2
D．
5
2
1
6．当 0(1－a)b B．(1＋a)a>(1＋b)b C．(1－a)b>(1－a) 2
b
D．(1－a)a>(1－
b)b
7．已知函数 f（x）=
2log ( 0)
3 ( 0)x
xx
x
，则 f［f（
1
4 ）］的值是（ ）
A．9 B．
1
9 C．－9 D．－
1
9
8．若 0＜a＜1，f(x)＝|logax|，则下列各式中成立的是（ ）
A．f(2)＞f(
1
3 )＞f(
1
4 ) B．f( )＞f(2)＞f( ) C．f( )＞f(2)＞f( ) D．f( )＞f( )＞f(2)
9．在 f1（x）=
1
2x ，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log
1
2 x 四个函数中，当 x1>x2>1 时，
使 2
1
［f（x1）+f（x2）］ 0 的解集是（ ）
A． (-1,3) B．[-1,3] C．( , 1) (3, ) D． ( , 1] [3, )
2．已知 f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且 m，n 是方程 f(x)=0 的两根，则实数 a,b,m,n 的大小关系可能
是（ ）
A． m4 C．x<1 或 x>3 D．x<1
4． 设方程 2x+2x=10 的根为 ,则 （ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
5．如果把函数 y=f(x)在 x=a 及 x=b 之间的一段图象近似的看作直线的一段，设 a≤c≤b，那
么 f(c)的近似值可表示为（ ）
A．
1 [ ( ) ( )]
2
f a f b
B． ( ) ( )f a f b C.f(a)+
[ ( ) ( )]caf b f a
ba
D.f(a)－
[ ( ) ( )]caf b f a
ba
6．关于 x 的一元二次方程 x2+2(m+3)x+2m+14=0 有两个不同的实根,且一根大于 3,一根小于
1,则 m 的取值范围是 ．
7． 当 a 时，关于 x 的一元二次方程 x2+4x+2a-12=0 两个根在区间[-3,0]中．
8．若关于 x 的方程 4x+a·2x+4=0 有实数解，则实数 a 的取值范围是___________．
9．设 x1,x2 分别是 log2x=4-x 和 2x+x=4 的实根,则 x1+x2= ．
10．已知
32()f x x bx cx d ,在下列说法中：
(1)若 f(m)f(n)<0,且 m0,且 m0,且 m2； (2)求实数 a 的取值范围．
必修 1 必修 1 综合测试
1．设全集 U=R，集合 { }| 1 1A x x x或= < - ? ， { }| ln 0B x x=?，则 ()U ABð 为（ ）
A．{ }| 1 0xx-? B．{ }| 0 1xx-2
时, g(t)=f(t)．
(2) ①当 -2-t (t+1)-(-2), 即 t
5
2
时, h(t)= f(t); ②当-2-t< (t+1)-(-2), 即 t
5
2
时, h(t)=
f(t+1)．
综上所述:
2
2
6 8( 3)
( ) 1( 3 2)
4 3( 2)
t t t
g t t
t t t
,
2
2
54 3( )
2()
56 8( )
2
t t t
ht
t t t
14. 解：（1）当 02x时，S=x；当 24x时，S=2；当 46x时，S=6-x。 定义域是
（0，6），值域是（0，2） (2) f[f(3)]=f(2)=2．
§2.1.2 函数的简单性质
经典例题：
解析：本题可采用三种解法.
方法一：直接根据奇、偶函数的定义．
由 f（x）是奇函数得 f（－a）=－f（a）， f（－b）=－f（b）， g（a）=f（a）， g（b）=f（b），
g（－a）=g（a）， g（－b）=g（b）．
∴以上四个不等式分别可简化为①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.
又∵f（x）是奇函数又是增函数，且 a＞b＞0，故 f（a）＞f（b）＞f（0）=0，从而以上不
等式中①、③成立.故选 C.
方法二：结合函数图象．
由下图，分析得 f（a）=g（a）=g（－a）=－f（－a）， f（b）=g（b）=g（－b）=－f（－b）．
从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选 C．
方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型 f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值 a、
b.如 a=2，b=1.可验证正确的是①与③，故选 C．
答案：C
当堂练习：
B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6.
2
( 0)
( ) 2 (0 1)
5 2( 1)
tt
g t t t t
tt
;7.
2 3( 1) ( )
4
f x x f
;
8. 1()fx > 2()fx ;9. x=-1; 10. ( 3,1 );
11. 解: (1)函数
1( ) 2
2
f x x
x
，设 121 xx时， 12( ) ( )f x f x
12
12
11( ) ( )
22
xx
xx
12
12
1( )(1 ) 0
2
xx
xx
，所以 ()fx在区间[1, ) 上单调递增；
(2)从而当 x=1 时， )(xf 有最小值
7
2 ．
12. 解:（1）任取 1x ， ],[2 nmx ，且 12xx ，
12
122
12
1( ) ( ) xxf x f x
a x x
， 因为 12xx ，
1x ， ，所以 12 0xx ，即 12( ) ( )f x f x ，故 )(xf 在 ],[ nm 上单调递增．
（2）因为 在 上单调递增， )(xf 的定义域、值域都是 ],[ nm ( ) , ( )f m m f n n，
即 nm, 是方程 2
21 1a
a ax x 的两个不等的正根 01)2( 222 xaaxa 有两个不等的正根．
所以 04)2( 222 aaa ，
2
2
2 0aa
a
1
2a
∴ ),(,)(3344 2
1
3
162
3
2121 aaamn aa ，
∴ 2
3a 时， mn 取最大值 3
34
．
13.解: (1)利用定义易证之； (2)由(1)得 ( ) ( ) ( )f x F x G x=
23(2 3) (3 )x x x ．
14. 解: (1)
22( ) 4( 2) 1f x x ； (2)当 ( ,0]x 时， f1(x)单调递减， 当 [0, )x 时， f1(x)
单调递增； 当 ( ,1]z 时， f2(z) 单调递减， 当 [1, )z 时， f1(x)单调递增．
(3) 当 ( , 2]x 和 [0, 2]x 时， f(x)分别单调递减；
当 [ 2, )x 和 [ 2, 0]x 分别单调递增．
§2.1.3 单元测试
1.C; 2. A; 3.C; 4.C; 5.B; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.D; 11.D; 12.B;
13. 2.5; 14. g(x)=2x-3; 15. 1 或 2; 16. x6-6x4+9x2-2;
17.解: (1)在 ( , 1] 和[1,3] 上分别单调递减; 在[-1,1]和[3, ) 上分别单调递增.
(2) 值域是[0,4]
18.(1)证明：对任意 x1、x2∈R，∵a＞0，∴f(x1)+f(x2)－2f(
12
2
xx
)
=ax12+x1+ax22+x2－2［a(
12
2
xx
)2+
12
2
xx
］
=
1
2 a(x1－x2)2≥0.∴f(
12
2
xx
)≤ ［f(x1)+f(x2)］， ∴f(x)是凹函数.
19.(1)证明：令 x＝y＝0，则 f(0)＋f(0)＝f(0)，故 f(0)＝0.
令 y＝－x，则 f(x)+f(－x)=f( 21
xx
x
)=f(0)=0.∴f(－x)＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数．
(2)证明：设 x1＜x2∈(－1，1)，则 f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(
12
121
xx
xx
).
∵x1＜x2∈(－1，1)，∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.因此
12
121
xx
xx
＜0，∴f(
12
121
xx
xx
)＞0，
即 f(x1)＞f(x2).∴函数 f(x)在(－1，1)上是减函数．
20.解：(1)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)是函数 f(x)=
31x
xa
的图象上的两个“稳定点”，
∴
1
1
1
2
2
2
31
31
x
x
xa
x
x
xa
，即有 x12+ax1=3x1－1(x1≠－a)，x22+ax2=3x2－1(x2≠－a).
有 x12+(a－3)x1+1=0(x1≠－a)，x22+(a－3)x2+1=0(x2≠－a)．
∴x1、x2 是方程 x2+(a－3)x+1=0 两根，且 ∵x1， x2≠－a，∴x≠－a，
∴方程 x2+(a－3)x+1=0 有两个相异的实根且不等于－a．
∴
2
2
( 3) 4 1 0,
( ) ( 3)( ) 1 0.
a
a a a
∴a＞5 或 a＜1 且 at≠－
1
3 ．
∴a 的范围是(－∞，－ )∪(－ ，1)∪(5， ∵f(x)是 R 上的奇函数，
∴f(－0)=－f(0)，即 f(0)=0.∴原点(0，0)是函数 f(x)的“稳定点”，若 f(x)还有稳定点(x0，y0)，
则∵f(x)为奇函数，f(－x0)=－f(x0)，f(x0)=x0，∴f(－x0)=－x0，这说明：(－x0，－x0)也是
f(x)的“稳定点”．综上所述可知，f(x)图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的，而且原点
也是其“稳定点”，
∴它的个数为奇数．
§2.2 指数函数
经典例题：
解：由题意可知，函数 y=3 322 xx 的定义域为实数 R．设 u=－x2+2x+3（x∈R），则 f（u）
=3u，
故原函数由 u=－x2+2x+3 与 f（u）=3u 复合而成．∵f（u）=3u 在 R 上是增函数，而 u=－
x2+2x+3
=－（x－1）2+4 在 x∈（－∞，1）上是增函数，在［1，+∞］上是减函数．
∴y=f（x）在 x∈（－∞，1）上是增函数，在［1，+∞］上是减函数．
又知 u≤4，此时 x=1，∴当 x=1 时，yam=f（1）=81，而 3 ＞0，
∴函数 y=f（x）的值域为（0，81）
当堂练习：
1.A ; 2. C ; 3. B ;4. A ;5. A ; 6. 1 ;7. 2
nm
mna
;8.
1
4 ;9. （1，0）;10. 1, 1ab;
11.(1) 原式=
1
1 1 1 1 12 3 2 3 2
872 2 2 2 2
2{ [ ( ) ] } { [ ] } 128a b a a b a a
b a b b a b
(2)原式= 1 2 2 3 3 4a b ab a a b
4
8
122 ( )
42
12. (1) 解：f(x)=
21 1 1 31 4 2 1 2 1 (2 )
4 2 2 4
x x x x
xx
, ∵ x [-3,2], ∴
1 28
4
x
．则当 2-x= 2
1
,即 x=1 时,f(x)有最小值 4
3
；当 2-x=8,即 x=-3 时，f(x)有最大值 57．
(2)解:设
2233( ) 3 3 ( )
24
g x x x x
,当 x [0,2]时,
max min
3( ) 3, ( )
4
g x g x
,
当 01 时,
3 8, 2aa.综上所述,a=2．
(3)原函数化为
2( 1) 2xya ,当a>1时，因 [ 1,1]x ,得
1[ , ]xa a a ,从而
2( 1) 2 14, 3aa ,
同理, 当 01 时，f(x) 在 (1, ) 上单调递减;
当 01 从而 -lga>lgc,得 lg(ac)<0, 01ac ．
19.(1)它是偶函数； (2) 函数 f (x)在 x∈[0, ＋∞]上是单调递增函数；
(3) 2y＝ex＋e－x, ∴e2x－2yex＋1＝0, 解得 ex＝y＋
2 1y , ∴
12( ) ln( 1)f x x x ,
x≥1．
20.（1）由 0xxab,∴
( ) 1xa
b
,
1a
b
．∴ x＞0, ∴ 定义域为（0，＋∞）．
（2）设 210xx，a＞1＞b＞0,∴ 21xxaa 12xxbb 21xxbb
∴ 2 2 1 1 0x x x xa a a b ∴
22
11
1
xx
xx
ab
ab
．∴ 21( ) ( ) 0f x f x．
∴ ()fx在（0，＋∞）是增函数．
（3）当 (1x ，＋∞) 时， ( ) (1)f x f ，要使 ( ) 0fx ，须 (1) 0f ， ∴ a-b≥1．
§2.5 函数与方程
经典例题：解：设 y=|x2－2x－3|和 y=a，利用 Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作
出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数．如下图，当 a=0 或 a
＞4 时，有两个实根；当 a=4 时，有三个实根；当 0＜a＜4 时，有四个实根．
当堂练习：
1.C ; 2. A ; 3. C ;4. C ;5. C ; 6.
21
4
m
; 7.
15 8
2
a
; 8.a≤－4; 9. 4; 10. (2);
11.设 f(x)= mx2+2(m+3)x+2m+14,根据图象知当
0
(4) 0
m
f
或
0
(4) 0
m
f
时,符合题意
从而得
19 0
13
m
.
12. （1）设抛物线与 x 轴相交于点(x1,0),(x2,0),则
12
21,
( 1)
axx
aa
12
1
( 1)
xx
aa
,
得
2
2 1 2 1 1 2
1( ) 4
( 1)
l x x x x x x
aa
；
（2）
1 2 3
1 1 1
1 2 2 3 ( 1)nl l l l
nn
=
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
1 2 2 3 1nn
= 1
n
n
13.（1）由
22( ) ( ) 2 0, (1) 0g x bx f x ax bx c ax bx c f a b c 与 得 ，
2, 0, 0, 4 0,a b c a c b ac 从而 即函数 ( ) ( )f x g x与 的图象交于不同两点 A，B；
（2）
, , , 2 , 2,bc a b a b c a c a b a b
a
即 得
知函数 F（x）在[2，3]上为增函
数， (2) 3 3 9, (3) 8 5 21, 2, 1;F a b F a b a b 解得
（3）设方程
12
2
12
12
2
( ) 2 0 , ,
bxx
aF x ax bx c x x
cxx
a
的两根为 得
2 2 2
1 1 1 2 1 2
13| | ( ) 4 4[( ) ],
24
cA B x x x x
a
1, , , ( 2, ),
2
ca b c b a c a a c c
a
由 得
设
22
11
13| | ( ) 4[( ) ],
24
ccA B h
aa
的 对 称 轴 为
11, ( ) ( 2, )
22
ccxh
aa
在
上 是 减 函 数
2
1 1 1 1| | (3,12), | | ( 3, 2 3).A B A B 得
14.解:原方程转化为
10
30
0
( 1)(3 )
x
x
ax
x x a x
,即方程 x2-5x+a+3=0 在区间（1,3）内是否有根,由
0 得:
13
4
a
,设 f(x)= x2-5x+a+3,对称轴是
5
2
x
,若
(1) 1 0
(3) 3 0
fa
fa
得有一根在区间（1,3）
内,即当 13(1,3)
4
a
时,原方程有一根; 若
(1) 1 0
(3) 3 0
0
fa
fa
得
13(3, )
4
a
时,原方程有两根;
13(1, ]
4
a
时, 原方程无解．
§2.6 函数模型及其应用
经典例题：解：设 x 年后我国人口总数为 y，则有 y=12·（ 1+0.0125）x，依题意，得 y＞14，
即 12·（ 1+0.0125）x＞14，即（1+0.0125）x＞
14
12 ．
两边取对数，得 xlg1.0125＞lg14－lg12.所以 x＞
lg14 lg12
lg1.125
≈12.4．
答：13 年后，即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿．
当堂练习：
1.A ; 2. C ; 3. D ;4. A ;5. C ; 6. 神州行; 7. y= -10x+560,31, 6250; 8. 2500; 9. 大于 34; 10.
600
2cm ;
11. (1)依题得，
6 0 1
2 20 1 10
33
tt
y
tt
(2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时，则 44 13
2013
2 tt ,因而第二次服药应在
11:00； 设第三次服药在第一次服药后 t2 小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，
即有 ,4)4( 3
2023
2
3
2023
2 tt 解得 t2=9 小时，故第三次服药应在 16:00；设第四次服药在第
一次后 t3 小时（t3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、
三次的和， ,4)9()4( 3
2023
2
3
2023
2 tt 解得 t3=13.5 小时，故第四次服药应在 20:30．
12.设每日来回 y 次，每次挂 x 节车厢，由题意，y=kx+b，且当 x=4 时，y=16;当 x=7 时，y=10.
解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖
挂 W 节车厢，则 W=2xy=2x（－2x+24）=－4x2+48x=－4（x－6）2+144，
∴当 x=6 时，Wmax=144，此时，y=12，最多营运 15840 人．
13.解:依题意，价格上涨 x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)= 10000
ab
［－kx2+100(1
－k)x+10000］. (1)取 k=
1
2 ，y= ［－ x2+50x+10000］,∴x = 50， 即商品价格上
涨 50%时， y 最大为
9
8 ab. (2)因为 y= ［－kx2+100(1－k)x+10000］，此二次函数
开口向下，对称轴为 x=
50(1 )k
k
，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函
数当自变量 x 在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y 也增大.所以 ＞0，解之 0＜k＜1．
14.设二次函数为 y=px2+qx+r，则
1 0.05
4 2 1.2 0.35
9 3 1.3 0.7
p q r p
p q r q
p q r r
,
所以
20.05 0.35 0.7y x x ,当 x=4 时, y=1.3;
对于函数
xy ab c,由
2
3
1 0.8
1.2 0.5
1.41.3
ab c a
ab c b
cab c
,所以
10.8 ( ) 1.4
2
xy
,当 x=4 时, y=1.35,
显然,用函数
10.8 ( ) 1.4
2
xy
作为模拟函数较好．
函数的概念与基本初等函数Ⅰ章节测试
1.D; 2.D; 3.C; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.D; 9.B; 10.D; 11.
5[2, ]
2 ; 12.3; 13. 0，2 或－
1 17
4
;
14. FB; 15.（-∞，-1）∪（1，+∞）;
16. 2
2
11( ) log ( ) log ( )
a a
f x a x ax 11( log 2)( log )
22aaxx 21 3 1(log )
2 2 8a x
,因 x[2，4],
函数的最小值为
1
8
,所以 0
，
1(0) 1 2 2( ) 0
2
f t t= - = - <
，
1 1 1 3( ) (2 1) 1 2 0
2 4 2 4
f t t t= + - + - = - >
，
所以方程 ( ) 0fx= 在区间
( )1,0 )
1及(0,
2
-
上各有一个实数根．
18. (1)函数 ()fx为 R 上的增函数．证明如下：
函数 的定义域为 R，对任意
12,xx RÎ ， 1 2 2 1
1 2 1 2
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1 2 1x x x x
x x f x f x a a，且 有< - = - - - = -
+ + + +
12
21
2(2 2 )
(2 1)(2 1)
xx
xx
-=
++.
因为 2xy = 是 R 上的增函数， 12xx< ，所以 1222xx- ＜０，
所以 12( ) ( )f x f x- ＜０即 12( ) ( )f x f x< ，函数 ()fx为 R 上的增函数．
(2)存在实数 a＝1，使函数 ()fx为奇函数．
证明如下：当 a＝1 时，
2( ) 1
21x
fx=-
+ ＝
21
21
x
x
-
+ .
对任意 x RÎ ， ()fx-=
21
21
x
x
-
-
-
+ ＝
12
12
x
x
-
+ ＝－
21
21
x
x
-
+ ＝－ ()fx，即 ()fx为奇函数．
19. (1)过点 B 作 BD^ AX，D 为垂足，由于 AC＝x，AB＝50，BD＝30 所以 AD＝40，CD
＝40－x，
由勾股定理得 2 2 2 2 2(40 ) 30BC CD BD x= + = - + ．根据题意得：
22
12((40 ) 30 )y k x k x= + - + ，
即
2
2 2 1 2(80 ) 2500y k x k k x k= - - + ( 0x > ).
(2)因为 1220kk= ，所以 y
2
2 2 260 2500k x k x k= - + ,当
2
2
60
30
2
k
x
k
-
= - =
时， min 21600yk .
答：当 x =30km 时，单位重量货物的总运费最小，最小值为 1600 2k 元．
20. （1）∵
1( ) 1fx
ax
，∴
11( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2f a x f a x
xx
，由已知定理
得， ()y f x 的图象关于点 ( , 1)a 成中心对称；
（2）首先证明 ()fx在[ 2, 1]aa上是增函数，为此只要证明 在 ( , )a 上是增函数．
设 12x x a ，则
12
12
1 2 1 2
11( ) ( ) 0
( )( )
xxf x f x
a x a x a x a x
，
∴ 在 ( , )a 上是增函数．
再由 在[ 2, 1]aa上是增函数得，
当 [ 2, 1]x a a 时， ( ) [ ( 2), ( 1)]f x f a f a ，即
1( ) [ , 0]
2
fx
；
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴
1() xaf x a
ax
对任意 xA 恒成立，
∴方程
1xaa
ax
无解，即方程
2( 1) 1a x a a 无解或有唯一解 xa ，
∴
2
10
10
a
aa
或
2
10
1
1
a
aa a
a
，由此得到 1a ．
w.w.w.g.k.x.x.c.o.m
