2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1

2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1

1.2 　空间向量基本定理 激趣诱思 知识点拨 我们所在的教室是一个立体图形 , 即是一个三维立体图 , 如果以教室的一个墙角为坐标原点 , 沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量 . 这三个空间向量是不共面的 , 那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢 ? 事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形 . 激趣诱思 知识点拨 空间向量基本定理 1 . 定理 : 如果三个向量 a , b , c 不共面 , 那么对任意一个空间向量 p , 存在唯一的有序实数组 ( x , y , z ), 使得 p =x a +y b +z c . 2 . 基底 : 我们把定理中的 叫做空间的一个基底 , a , b , c 都叫做基向量 . 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 . 3 . 单位正交基底 : 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 , 且长度都为 1, 那么这个基底叫做单位正交基底 , 常用 表示 . 由空间向量基本定理可知 , 对空间中的任意向量 a , 均可以分解为三个向量 x i , y j , z k , 使 a =x i +y j +z k , 像这样 , 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量 , 叫做把空间向量进行正交分解 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 . 基底选定后 , 空间的所有向量均可由基底唯一表示 ; 不同基底下 , 同一向量的表达式也有可能不同 . 2 . 一个基底是一个向量组 , 一个基向量是指基底中的某一个向量 , 二者是相关联的不同概念 . 3 . 由于零向量与任意一个非零向量共线 , 与任意两个不共线的非零向量共面 , 所以若三个向量不共面 , 就说明它们都不是零向量 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 可以作为空间向量一个基底的是 ( 　　 ) 答案 : C 　 激趣诱思 知识点拨 微判断 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打 “ √ ”, 错误的打 “ × ” . (1) 空间向量的基底是唯一的 . ( 　　 ) (2) 若 a , b , c 是空间向量的一个基底 , 则 a , b , c 均为非零向量 . ( 　　 ) (3) 已知 A , B , M , N 是空间四点 , 若 不能 构成空间的一个基底 , 则 A , B , M , N 共面 . ( 　　 ) (4) 若 { a , b , c } 是空间的一个基底 , 且存在实数 x , y , z 使得 x a +y b +z c = 0 , 则有 x=y=z= 0 . ( 　　 ) 答案 : (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) √ 探究一 探究二 探究三 当堂检测 基底的判断 例 1 (1) 设 x = a + b , y = b + c , z = c + a , 且 { a , b , c } 是空间的一个基底 , 给出下列向量组 : ① { a , b , x }, ② { x , y , z }, ③ { b , c , z }, ④ { x , y , a + b + c } . 其中可以作为空间一个基底的向量组有 ( 　　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 探究一 探究二 探究三 当堂检测 ( 1) 答案 : C 　 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟 判断基底的基本思路及方法 (1) 基本思路 : 判断三个空间向量是否共面 , 若共面 , 则不能构成基底 ; 若不共面 , 则能构成基底 . (2) 方法 : ① 如果向量中存在零向量 , 则不能作为基底 ; 如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示 , 则不能构成基底 . ② 假设 a = λ b + μ c , 运用空间向量基本定理 , 建立 λ , μ 的方程组 , 若有解 , 则共面 , 不能作为基底 ; 若无解 , 则不共面 , 能作为基底 . 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练 1 若 { a , b , c } 是空间的一个基底 , 试判断 { a + b , b + c , c + a } 能否作为空间的一个基底 . 解 : 假设 a + b , b + c , c + a 共面 , 则存在实数 λ , μ , 使得 a + b = λ ( b + c ) + μ ( c + a ), 即 a + b = μ a + λ b + ( λ + μ ) c . ∵ { a , b , c } 是空间的一个基底 , ∴ a , b , c 不共面 . 即不存在实数 λ , μ , 使得 a + b = λ ( b + c ) + μ ( c + a ), ∴ a + b , b + c , c + a 不共面 . 故 { a + b , b + c , c + a } 能作为空间的一个基底 . 探究一 探究二 探究三 当堂检测 用基底表示空间向量 例 2 思路分析 利用图形寻找待求向量与 a , b , c 的关系 → 利用向量运 算 进行拆分 → 直至向量用 a , b , c 表示 探究一 探究二 探究三 当堂检测 探究一 探究二 探究三 当堂检测 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟 用基底表示空间向量的解题策略 1 . 空间中 , 任一向量都可以用一个基底表示 , 且只要基底确定 , 则表示形式是唯一的 . 2 . 用基底表示空间向量时 , 一般要结合图形 , 运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则 , 以及数乘向量的运算法则 , 逐步向基向量过渡 , 直至全部用基向量表示 . 3 . 在空间几何体中选择基底时 , 通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底 , 例如 , 在正方体、长方体、平行六面体、四面体中 , 一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底 . 探究一 探究二 探究三 当堂检测 答案 : B 　 探究一 探究二 探究三 当堂检测 应用空间向量基本定理证明线线位置关系 例 3 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F 分别是 DD 1 , BD 的中点 , 点 G 在棱 CD 上 , 且 CG = CD . (1) 证明 : EF ⊥ B 1 C ; (2) 求 EF 与 C 1 G 所成角的余弦值 . 探究一 探究二 探究三 当堂检测 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行 , 可求两条异面直线所成的角等 . 首先根据几何体的特点 , 选择一个基底 , 把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示 . (1) 若证明线线垂直 , 只需证明两向量数量积为 0; (2) 若证明线线平行 , 只需证明两向量共线 ; (3) 若要求异面直线所成的角 , 则转化为两向量的夹角 ( 或其补角 ) . 探究一 探究二 探究三 当堂检测 延伸探究 设这个正方体中线段 A 1 B 的中点为 M , 证明 : MF ∥ B 1 C . 探究一 探究二 探究三 当堂检测 1 . 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 可以作为空间向量的一组基底的是 ( 　　 ) 答案 : C 　 解析 : 只有选项 C 中的三个向量是不共面的 , 可以作为一个基底 . 探究一 探究二 探究三 当堂检测 答案 : A 　 探究一 探究二 探究三 当堂检测 3 . 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 基底 { a , b , c } 中基向量与基底 { e , f , g } 中基向量对应相等 答案 : C 　 解析 : A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底 ;B 项 , 空间基底有无数个 ;D 项中因为基底不唯一 , 所以 D 错 . 故选 C. 探究一 探究二 探究三 当堂检测