【数学】云南省曲靖二中2020届高三适应性考试试题（文）

【数学】云南省曲靖二中2020届高三适应性考试试题（文）

云南省曲靖二中2020届高三适应性考试数学试题（文）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求．）‎ ‎1．已知集合，则的真子集的个数为（ ）‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎2．设是虚数单位，若复数是实数，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎3. 命题“”的否定是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设变量满足约束条件 ，则目标函数的最大值为（ ）‎ A．3 B．‎4 ‎C．18 D．40‎ ‎6．某学校为了解高三年级1000名同学宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况，决定将高三年级学生编号为1，2，3……1000，从这1000名学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行网上问卷调查，若46号同学被抽到，则下面4名同学中也被抽到的是（ ）‎ A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 ‎7．已知函数那么f 的值为（ ）‎ A．27 B． C．－27 D．－‎ ‎8．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎9．七巧板由七块板（五个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形）组成的。如图，将七巧板拼成一个正方形，在正方形内任取一点，则该点落在正方形内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”。已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知函数．则关于它有关性质的说法中不正确的是（ ）‎ A．周期为 ‎ B．将其图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称 C．对称中心为（）‎ D．上单调递减 ‎12．已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______．‎ ‎14．已知，，则向量在向量方向上的投影为_______．‎ ‎15．直线过抛物线的焦点，交抛物线于点（点在轴上方），过点作直线的垂线，垂足为，若垂足恰好在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为_______．‎ ‎16．是等边三角形，点D在边的延长线上，且，，则______；______．‎ 三、 解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）‎ ‎17．（本小题满分12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：‎ 健身族 非健身族 合计 男性 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？‎ ‎（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？‎ 参考公式： ，其中. ‎ 参考数据：‎ ‎0. 50‎ ‎0. 40‎ ‎0. 25‎ ‎0. 05‎ ‎0. 025‎ ‎0. 010‎ ‎0. 455‎ ‎0. 708‎ ‎1. 321‎ ‎3. 840‎ ‎5. 024‎ ‎6. 635‎ ‎18．（本小题满分12分）已知数列是等比数列，，是和的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，平面平面，四边形是菱形，，，，．‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）在上有一点，使得，求的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）设（）.‎ ‎（1）求函数的单调区间； ‎ ‎（2）若在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与直线的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；‎ ‎（2）过点作直线与曲线交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），为该曲线上的任意一点.‎ ‎（1）当时，求点的极坐标；‎ ‎（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，，，求证：.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.D 10.B 11.D 12.B ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.解：（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为 小时， ‎ 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，‎ 因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；‎ ‎（2）由联立表可得， ‎ 所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.‎ ‎18. 解：（1）设数列的公比为，因为，所以，．‎ 因为是和的等差中项，所以．即，化简得．‎ 因为公比，所以．所以（）．‎ ‎（2）因为，所以．．‎ 则，①‎ ‎.②‎ ‎①－②得，‎ ‎，所以．‎ ‎19．解：（1）∵四边形是菱形，∴，‎ 又∵平面平面,平面平面,平面 ‎∴平面，在中,,设,计算得，在梯形中,‎ 梯形的面积，∴四棱锥的体积为.‎ ‎（2）在平面内作,且,连接交于，则点满足,证明如下：∵,∴,且,‎ ‎∴四边形是平行四边形.∴,‎ 又菱形中,.∴,‎ ‎∴四边形是平行四边形 ,∴,即.‎ ‎∵,∴,又,∴.‎ ‎20. 解：（1）‎ ‎21. 解：（1）由题设可得，，，则，化简得. ，‎ 所以C为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.‎ ‎（2）存在定点，满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，‎ 由题设知，直线l的斜率不为0，设直线的方程为，‎ 与椭圆C的方程联立整理得，设，，定点（依题意）.‎ 由根与系数的关系可得，，‎ 直线与直线恰好关于x轴对称，则直线与直线的斜率互为相反数，‎ 所以，即.‎ 又，，所以整理得.‎ 从而可得即，‎ 所以当，即时，直线与直线恰好关于x轴对称 所以，在轴上存在点，满足直线与直线恰好关于x轴对称 ‎22. 解：（1）设点在极坐标系中的坐标，由，得，，，或，‎ 所以点的极坐标为或.‎ ‎（2）由题意可设，.由，得，.‎ ‎,故时，的最大值为.‎ ‎23. 解：（1）.‎ 当时，由，解得，此时；‎ 当时，不成立；‎ 当时，由，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为；‎ ‎（2）要证，即证，‎ 因为，，所以，，，‎ ‎.‎ 所以，.故所证不等式成立.‎