【数学】2019届一轮复习苏教版直线和圆的方程学案

【数学】2019届一轮复习苏教版直线和圆的方程学案

专题06 直线和圆的方程 一、直线的倾斜角与斜率 ‎1．直线的倾斜角 ‎（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．（2）范围：直线l倾斜角的范围是．‎ ‎2．斜率公式 ‎（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．‎ ‎（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率 ＝．‎ 二、直线方程的五种形式 方程 适用范围 ‎①点斜式：‎ 不包含直线 ‎②斜截式：‎ 不包含垂直于x轴的直线 ‎③两点式：‎ 不包含直线和直线 ‎④截距式：‎ 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 ‎⑤一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎【必记结论】常见的直线系方程：（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)还可以表示为y－y0＝ (x－x0)，斜率不存在时可设为x＝x0．‎ ‎（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．‎ ‎（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0．‎ ‎（4）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．‎ 三、两条直线的位置关系 斜截式 一般式 与相交 与垂直 与平行 且 或 与重合 且 四、两条直线的交点 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，‎ 与的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；‎ ‎（2）方程组无解；‎ ‎（3）方程组有无数解与重合．‎ 五、距离问题 ‎（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．‎ ‎（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．‎ ‎（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．‎ 六、圆的方程 ‎1．表示圆的条件 当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．‎ ‎2．圆的标准方程与一般方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 区别与 联系 ‎（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；‎ ‎（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；‎ ‎（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程 七、点与圆的位置关系 标准方程的形式 一般方程的形式 点（x0，y0）在圆上 点（x0，y0）在圆外 点（x0，y0）在圆内 ‎【必记结论】①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．‎ 八、直线与圆的三种位置关系 ‎（1）相离：没有公共点；（2）相切：只有一个公共点；（3）相交：有两个公共点．‎ 九、圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 外切 相切 两圆有唯一公共点 内切 内含 相离 两圆没有公共点 外离 相交 两圆有两个不同的公共点 十、直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 直线与圆的位置关系 几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 方程无实数解，直线与圆相离 方程有唯一的实数解，直线与圆相切 方程有两个不同的实数解，直线与圆相交 十一、圆与圆的位置关系的判断方法 圆与圆的位置关系的判断方法有两种：‎ ‎（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中）．‎ ‎ ‎ ‎（2）代数法：设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，‎ 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，‎ 联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；‎ 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；‎ 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．‎ 十二、两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，‎ 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0③．‎ 方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．‎ ‎1．直线的倾斜角为________________．‎ ‎2．已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为________________．‎ ‎3．若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于________________．‎ ‎4．经过两点P(1，4)，Q(m，5)的直线的斜率是，则实数m的值是________________．‎ ‎5．如果实数，满足等式，那么的最大值是________________．‎ ‎6．若表示圆，则实数的取值范围是________________．‎ ‎7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为________________．‎ ‎8．圆上的点到直线的距离最大值是________________．‎ ‎9．若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行，则两直线间的距离为________________．‎ ‎10．若直线y= x+2 与圆x2+y2+mx+4=0至少有一个交点，则实数m的取值范围是________________．‎ ‎11．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________________．‎ ‎12．直线截圆:的弦长为4，则________________．‎ ‎13．设点M是圆C:x2+y2-4y+3=0上的一个动点，则M到直线l:x-y+3=0的最大距离为________________．‎ ‎14．已知动直线：，则直线被圆：截得的最短弦长为________________．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是________________．‎ ‎16．已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则直线l的方程为________________．‎ ‎17．若直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程是________________．‎ ‎18．圆的圆心在轴正半轴上，且与轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆的方程为________________．‎ ‎19．已知点P(m，n)到点A(0，4)和B(-8，0)的距离相等，则()m+()n的最小值为________________．‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．‎ ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．‎ ‎（1）由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制．‎ ‎（2）求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tanx的单调性求 的范围．‎ ‎（3）直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．‎ ‎（4）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．‎ ‎（5）由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．‎ ‎（6）求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．‎ ‎（7）解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．‎ ‎（8）求解含有参数的直线过定点问题，应把握以下两点：①任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点；②分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点．‎ ‎（9）用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．‎ ‎（10）对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．‎ ‎（11）在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．‎ ‎1．直线l过点P(2，0)且与直线有相同的纵截距，则直线l的方程为________________．‎ ‎2．点M在上，则点到直线的最短距离为________________．‎ ‎3．若实数m，n满足，则直线必过定点________________．‎ ‎4．已知圆，直线，，若，被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为________________．学 - ‎ ‎5．过点的直线将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________________．‎ ‎6．“a=”是“直线2ax+(a-1)y+2=0与直线(a+1)x+3ay+3=0垂直”的________________条件．‎ ‎7．若为圆的弦的中点，则直线的方程是________________．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，已知双曲线，过的左顶点引的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积为________________．‎ ‎9．已知双曲线的离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是________________．‎ ‎10．已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为________________．‎ ‎11．已知圆：和圆：，若点（，）在两圆的公共弦上，则的最小值为________________．‎ ‎12．已知动直线与圆相交于两点，且满足，点为直线上的一点，且满足，若是线段的中点，则的值为________________．‎ ‎13．已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝4，直线l1过定点A（1，0）．‎ ‎（1）若l1与圆相切，求l1的方程；‎ ‎（2）若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断|AM|·|AN|是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．‎ ‎1．【答案】‎ ‎【解析】直线斜率为，即，因为，所以．‎ ‎4．【答案】3‎ ‎【解析】由题意，得．‎ ‎5．【答案】‎ ‎【解析】过原点作圆的切线，切线斜率．‎ ‎【名师点睛】与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎6．【答案】‎ ‎【解析】由方程可得，此方程表示圆，则 ‎，解得．故实数 的取值范围是．‎ ‎7．【答案】‎ ‎【解析】可化为，由题意可得两条平行线之间的距离d=．‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】因为圆心到直线的距离是，又圆的半径，所以圆上的点到直线的距离最大值是．‎ ‎9．【答案】‎ ‎【解析】由l1∥l2知，≠，解得a=-1，所以l1:x-y+6=0，l2:x-y+=0，两条平行直线l1与l2间的距离d=．‎ ‎11．【答案】9‎ ‎【解析】圆C1的圆心C1（0，0），半径r1＝1，圆C2的方程可化为（x－3）2＋（y－4）2＝25－m，所以圆心C2（3，4），半径r2＝，从而|C1C2|＝＝5，由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9．‎ ‎12．【答案】2‎ ‎【解析】∵圆C：，∴‎ 圆心为，∵直线截圆的弦长为4，‎ ‎∴圆心在直线上即 ‎13．【答案】+1‎ ‎【解析】化圆的一般方程为标准方程可得x2+(y-2)2=1，半径为1，圆心(0，2)到直线l:x-y+3‎ ‎=0的距离d=，则点M到直线l:x-y+3=0的最大距离为+1．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】因为直线恒过点，圆：的圆心为，半径为3，由平面几何知识，得当直线与线段垂直时，所截得的弦长最短，最小值为．‎ ‎【名师点睛】在处理直线和圆的位置关系问题（如：弦长、中点弦、切线的条数）时，往往借助平面几何知识可起到事半功倍的效果．‎ ‎【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．‎ ‎16．【答案】或 ‎【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得所以直线的方程为，综上，直线的方程为或．‎ ‎【名师点睛】此题考查点到直线的距离公式．解题时容易把斜率不存在的情况遗漏，做题时应注意．‎ ‎17．【答案】‎ ‎【解析】由条件知，可以整理为 故直线过定点，所求圆的方程为，‎ 化为一般方程为．‎ ‎【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．‎ ‎19．【答案】16‎ ‎【解析】因为点P(m，n)到点A(0，4)和B(-8，0)的距离相等，所以=，‎ 即2m+n=-6，又()m>0，()n>0，所以()m+()n≥2=2=2=16，‎ 当且仅当，即2m=n=-3时取等号．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）2x－y+5=0或2x－y－15=0；（3）．‎ ‎【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5．‎ ‎（1）由圆心在直线x=6上，可设．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以，‎ 于是圆N的半径为，从而，解得，所以圆N的标准方程为．‎ ‎（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为，设直线l的方程为y=2x+m，即2x－y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 因为，而，所以，‎ 解得m=5或m=－15，故直线l的方程为2x－y+5=0或2x－y－15=0．‎ ‎（3）设，因为，所以①，‎ 因为点Q在圆M上，所以②，‎ 将①代入②，得，于是点既在圆M上．‎ 又在圆上，‎ 从而圆与圆有公共点，‎ 所以，解得．‎ 因此，实数t的取值范围是．‎ ‎1．【答案】3x＋y－6＝0‎ ‎【解析】设直线l的方程为，又点P(2，0)在直线l上，所以2 +6=0，解得，‎ 故直线l的方程为3x＋y－6＝0．‎ ‎2．【答案】2‎ ‎【解析】由圆的方程，可知圆心坐标，‎ 则圆心C到直线3x+4y−2=0的距离，‎ 所以点到直线的最短距离为．‎ ‎3．【答案】‎ ‎【解析】由题意，知又所以，化简得，过定点，即是与无关，所以令则，．故直线必过定点．‎ ‎5．【答案】‎ ‎【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．‎ 因为过点的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为，即方程为．‎ ‎6．【答案】充分不必要 ‎【解析】当a=时，两直线方程分别为x-2y+5=0，2x+y+5=0，两直线斜率的乘积为×(-2)=-1，两直线垂直，故“a=”是两直线垂直的充分条件；当直线2ax+(a-1)y+2=0与直线(a+1)x+3ay+3=0垂直时，有2a(a+1)+3a(a-1)=0，即5a2-a=0，解得a=0或a=，所以“a=”是两直线垂直的不必要条件． ‎ ‎【名师点睛】用两条直线垂直的充要条件A1A2+B1B2=0求解，可以避免讨论斜率存在性．‎ ‎7．【答案】‎ ‎【解析】由题意，知的圆心为(1，0)，所以过圆心与点P的直线l的斜率 1=，由圆的性质可知，直线l与直线AB垂直，所以AB的斜率为1，因此直线AB的直线方程为．‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】由双曲线方程可得渐近线方程为，‎ 令过的左顶点()引的一条渐近线的平行线，‎ 该直线与另一条渐近线的交点坐标为()，‎ 则该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积S=．‎ ‎9．【答案】相离 ‎【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，‎ 又离心率为，所以，所以渐近线方程为，‎ 由知圆心为，半径为，‎ 圆心(a，0)到直线y-x=0的距离，‎ 所以直线与圆相离．‎ ‎10．【答案】‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】由题意得，圆：和圆：两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线的方程为，又点（，）在两圆的公共弦上，即，则（当且仅当即时，等号成立），即的最小值为．‎ ‎12．【答案】‎ ‎【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，‎ ‎∴，解得，∴，‎ ‎∴．‎ ‎13．【答案】（1）x＝1或；（2）6．‎ ‎【解析】（1）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．‎ ‎②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝ （x－1），即 x－y－ ＝0．‎ 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，‎ 即＝2，解得 ＝．‎ ‎∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0．‎ ‎（2）方法1：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为 由得N．又直线CM与l1垂直，‎ 由得M．‎ ‎∴·‎ ‎＝为定值．‎ 故|AM|·|AN|是定值，且为6．‎ 方法2：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为 x－y－ ＝0．‎ 由得N．再由 得．‎ ‎∴x1＋x2＝，得M．‎ ‎∴·‎ ‎＝为定值．‎ 故|AM|·|AN|是定值，且为6．‎ 方法3：几何法 连接CA并延长交l2于点B， AC＝2，，‎ ‎∴CB⊥l2．如图所示，，则，‎ 可得·＝6，是定值．‎ 个人总结 ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎