【数学】2020届一轮复习苏教版函数的单调性学案
§2.2 函数的单调性
考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有填空题，又有解答题．
函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1
f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对∀x1，x2∈D，>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似．
2．写出对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间．
提示 (－∞，－]和[，＋∞)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
答案 f(－3)>f(－π)
解析 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，
可知函数f(x)为增函数，
又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．
5．函数的单调递减区间为________．
答案 (2，＋∞)
6．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
答案 －6
解析 由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是，
令－＝3，得a＝－6.
题型一 求函数的单调区间
1．函数的单调递减区间为________．
答案 (1，＋∞)
解析 由2x2－3x＋1>0，
得函数的定义域为∪(1，＋∞)．
令t＝2x2－3x＋1，x∈∪(1，＋∞)．
则，
∵t＝2x2－3x＋1＝22－，
∴t＝2x2－3x＋1的一个单调递增区间为(1，＋∞)．
又是减函数，
∴函数的单调递减区间为(1，＋∞)．
2．函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．
答案 [－1,0]，[1，＋∞)
解析 由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
二次函数的图象如图．
由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
3．函数的单调增区间为________．
答案 (－∞，1]
解析 易得函数的定义域为R，
令u＝x2－2x＝(x－1)2－1，
则u在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．
又y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴的单调增区间为(－∞，1]．
4．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案 [0,1)
解析 由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．
题型二 判断函数的单调性
命题点1 证明函数单调性
例1 求证：f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数．
证明 设x1>x2>0，则
∵x1>x2>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数．
引申探究
如何用导数法求解本例？
解 f′(x)＝ex－，
∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数．
命题点2 讨论函数单调性
例2 判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．
解 任取x1，x2∈(－1,1)，且x10，
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－1,1)上单调递减；
同理，当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
思维升华 证明或判断函数的单调性要严格按照函数单调性的定义，尤其在判断符号时可将f(x1)－f(x2)转化为几个因式积商的形式，也可利用导数法证明或判断函数的单调性．
跟踪训练1 判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中10,20，
从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．
答案 b>a>c
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ＝f ，且2<<3，所以b>a>c.
命题点2 解函数不等式
例4 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．
答案 (－，－2)∪(2，)
解析 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为10恒成立．当a＝0时，g(x)＝x在(0,1)上单调递增且g(x)>0，符合题意；当a>0时，g(x)图象的对称轴为x＝－<0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，且有g(x)>0，符合题意；当a<0时，需满足g(x)图象的对称轴x＝－≥1，且有g(x)>0，解得a≥－，则－≤a<0.
综上，a≥－.
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
答案
解析 对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f ＝0，则不等式的解集为________________．
答案
解析 由题意知，f ＝－f ＝0，
f(x)在(－∞，0)上也单调递增．
∴或，
∴或，
解得00，得－2b>c
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，
∴a＝－f ＝f ＝f(log25)．
又f(x)在R上是增函数，
且log25>log24.1>log24＝2>20.8，
∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c.
4．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－2＋(－1≤x≤2)，当x＝时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g＝，因此a>.
9．若函数f(x)＝x2＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [0，＋∞)
解析 因为f(x)＝x2＋|x－a|＋b＝
由图象知(图略)，若函数f(x)＝x2＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则应有a≥0.
10．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
解析 作函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，
即a≤1或a≥4.
11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
(1)证明 当a＝－2时，f(x)＝.
设x10，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2－x1>0，
所以要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
所以a≤1.综上所述，00且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，
∴a＝1.
从而f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
答案 (－2,1)
解析 ∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，
∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上单调递减，
∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，
即2x2的解集为____________．
答案
解析 由题意知，f(－x)＋f(x)＝2，
∴f(2x－1)＋f(2x)>2可化为f(2x－1)>f(－2x)，
又由题意知函数f(x)在R上单调递增，∴2x－1>－2x，∴x>，
∴原不等式的解集为.
16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)是增函数，f(1)＝0，f(3)＝1.
(1)解不等式0
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