2014广东（文科数学）高考试题

2014广东（文科数学）高考试题

‎2014·广东卷(文科数学)‎ ‎1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．{0，2} B．{2，3}‎ C．{3，4} D．{3，5}‎ ‎1．B　[解析] ∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．‎ ‎2．[2014·广东卷] 已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝(　　)‎ A．－3－4i B．－3＋4i ‎ C．3－4i D．3＋4i ‎2．D　[解析] ∵(3－4i)z＝25，∴z＝＝＝3＋4i.‎ ‎3．[2014·广东卷] 已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝(　　)‎ A．(－2，1) B．(2，－1) ‎ C．(2，0) D．(4，3)‎ ‎3．B　[解析] b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．‎ ‎4．[2014·广东卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值等于(　　)‎ A．7 B．8 ‎ C．10 D．11‎ ‎4．D　[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线l：2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A(4，3)时，直线l的截距最大，此时z＝zx＋y取得最大值，最大值是11 .‎ ‎5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是(　　)‎ A．2x－ B．x3sin x ‎ C．2cos x＋1 D．x2＋2x ‎5．A　[解析] 对于A选项，令f(x)＝2x－＝2x－2－x，其定义域是R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以A正确；对于B选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x3sin x是偶函数；C显然也是偶函数；对于D选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．‎ ‎6．[2014·广东卷] 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)‎ A．50 B．40 ‎ C．25 D．20‎ ‎6．C　[解析] 由题意得，分段间隔是＝25.‎ ‎7．、[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　)‎ A．充分必要条件 ‎ B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 ‎ D．非充分非必要条件 ‎7．A　[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B．故选A.‎ ‎∵sin≤A sin B，∴2Rsin A≤2Rsin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.‎ ‎8．[2014·广东卷] 若实数k满足00，16－k>0.对于双曲线：－＝1，其焦距是2＝2；对于双曲线：－＝1，其焦距是2＝2.故焦距相等．‎ ‎9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　)‎ A．l1⊥l4 ‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 ‎ D．l1与l4的位置关系不确定 ‎9．D　[解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．‎ 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AD是直线l3，则DD1是直线l4，此时l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，A1D1是直线l3，则C1D1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．‎ ‎10．、[2014·广东卷] 对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：‎ ‎①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；‎ ‎②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；‎ ‎③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；‎ ‎④z1*z2＝z2*z1.‎ 则真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎10．B　[解析] 根据新定义知，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)，所以①‎ 正确；对于②，z1*(z2＋z3)＝z1z2＋z3＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，所以正确；对于③，左边＝(z1z2)*z3＝z1z2　　z3；‎ 右边＝z1*(z23)＝z1z2　　z3＝z1z2z3＝z1z2，不正确；对于④，可以通过举特殊例子进行判断，z1＝1＋i，z2＝2＋i，左边＝z1*z2＝z1z2＝(1＋i)(2＋i)＝3＋i，右边＝z2*z1＝z2z1＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以④不正确．‎ ‎11．、[2014·广东卷] 曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．‎ ‎11．5x＋y＋2＝0　[解析] ∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.‎ ‎12．[2014·广东卷] 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．‎ ‎12.　[解析] 所有事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，其中含有字母a的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4个，所以所求事件的概率是P＝＝.‎ ‎13．、[2014·广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．‎ ‎13．5　[解析] 在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a＝4.因为an>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a＝25，‎ 所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.‎ ‎14．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．‎ ‎14．(1，2)　[解析] 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解．‎ 曲线C1的直角坐标方程是2x2＝y，曲线C2的直角坐标是x＝1.联立方程C1与C2得 解得所以交点的直角坐标是(1，2)．‎ ‎15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图11所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．‎ 图11‎ ‎15．3　[解析] 本题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比．∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴△AEF～△CDF，∴＝＝3.‎ ‎16．（本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数，且 （1） 求的值；‎ （2） 若，求 解析：（1）由题意得，所以 ‎.‎ ‎（2）由（1）得，所以 所以 ‎.因为，所以.‎ 所以 点评：笔者觉得2014年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大，第一问属于送分题，与往年设计求解特殊函数值类似，第二问比往年设计得复杂些，但对于中上层考生来讲，笔者仍觉得这是个容易题，思维受阻的可能性比较小.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 某车间20名工人年龄数据如下表：‎ ‎.‎ （1） 求这20名工人年龄的众数与极差；‎ （2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ （3） 求这20名工人年龄的方差． ‎ 解析：（1）年龄30的的工人数为5，频率最高，故这20名工人年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40-19=21.‎ ‎（2）茎叶图如下: ‎ ‎(3) 这20名工人年龄的平均数为 所以这20名工人年龄的方差 点评：类似于本题的题目其实学生已经不小，所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得学生会遇到几个问题，一是计算容易出错，二是在画茎叶图可能不是很规范。另外关于极差，很可能大部分学生都忘记了.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图2，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2,作如图3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．‎ （1） 证明：CF⊥平面MDF；‎ （2） 求三棱锥M-CDE的体积．‎ ‎18（1）证明：（1）因为面,面,所以.又因为四边形为矩形，所以,因为,所以面.在图3中，因为面，所以即,又因为,,所以面.‎ ‎(2)因为面，面,所以.在图2中，.‎ 因为,所以.所以在中，，.所以在图3中，即.在,.又因为在,,所以,所以,所以 所以.‎ 点评：本次考试的立体几何题基本与近两年较相似，主要汇集在线面位置关系的证明和锥（柱）体的体积求解，本题的第（2）问计算量较大，这也是做立体几何题常常会遇到的一个困难和挑战！‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足 (1) 求的值；‎ (2) 求数列的通项公式；‎ (3) 证明：对一切正整数，有 解析：（1）当时，解得或。因为，所以.‎ ‎（2）由题意得,因为，所以，所以，所以 即 当时，‎ 当，满足上式，故 ‎（3）证明：当时，.‎ 当时，‎ 所以 所以 故对一切正整数，有 ‎ 点评：本道题的第（1）问是基础题，难度较小，第（2）问可能会让部分学生思维受阻，注意到，其本质就是关于的一元二次方程，采用因式分解或求根公式求出是解决本题的关键！第（3）问是数列求和放缩问题，放缩目标为，结合题目特点不难猜测利用这个模型就可以达到目的，而在证明方法很多，分析法和综合法都可以派上用场。与2014年广东理科数列题第19相比，笔者觉得文科的难度其实更大！‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的一个焦点为，离心率为。‎ （1） 求椭圆C的标准方程；‎ （2） 若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ 解析：（1）由题意得，，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为.‎ （3） 由题意可设两条直线的斜率存在，则其中的一条切线方程为，则另一条切线为.联立，消得 因为直线与椭圆相切，所以，化简得.同理可得。又因为 是这两条切线的交点，所以联立解得，所以.所以，，因为，所以，将和代入式，得 ‎.‎ 当与轴垂直，轴时，或与轴垂直轴时，此时满足条件的的坐标为，满足上述方程，所以点P的轨迹方程为 点评：本题的第（2）问与2012年广东文科高考和2011年广东理科第（1）问有几分相似，方法很类似，考查了转化与化归的能力，计算量较大.可以看出往年的高考题就是最好的模拟试题！‎ ‎21． (本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数 （1） 求函数的单调区间；‎ （2） 当时，试讨论是否存在，使得 解析：. 令 当即时，，所以的单增区间为.‎ 当即时，有两个不等的根，‎ ‎，‎ 当当当所以的单增区间为和，单减区间为.‎ 综上所述，当，的单增区间为.当，的单增区间为和，单减区间为..‎ ‎（2）当时，，，.因为，所以所以，.‎ 由（1）知在单减，在单增.‎ 当即时，在单减，故不存在，使得 当即，在上单减，在上单增.‎ 当即此时在上单减，在上单增.故不存在，使得 当时，此时，所以，而，所以存在使得.‎ 时，存在，使得.‎ 当时，此时 ‎，所以，而，即 ‎，所以存在使得.‎ 综上所述： 当或时，不存在，使得，当 或时，存在，使得.‎ 点评：与2011广东高考的19题或2012的21题相比，你会觉得第（1）问其实并不难！难度较大的是本题的第（2）问，综合考查了分类讨论和转化与化归思想的能力，可以想象学生在短短的两小时内要考虑这么多，将是一个很大的挑战和考验！‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com