【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7节学案

【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7节学案

第7节 函数的图像 最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.利用描点法作函数的图像 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.‎ ‎2.利用图像变换法作函数的图像 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；‎ y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；‎ y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；‎ y＝ax(a>0，且a≠1)的图像y＝logax(a>0，且a≠1)的图像.‎ ‎(3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax).‎ y＝f(x)y＝Af(x).‎ ‎(4)翻转变换 y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；‎ y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.函数图像的变换问题，要遵循“只能对函数关系中的x，y变换”的原则.‎ ‎2.记住几个重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称.‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称.‎ ‎(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到.( )‎ ‎(2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称.( )‎ ‎(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同.( )‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.( )‎ 解析 (1)y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)，故(1)错.‎ ‎(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图像自身关于y轴对称，后者是两个函数的图像关于y轴对称，故(2)错.‎ ‎(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图像不同，故(3)错.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )‎ A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1‎ C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1‎ 解析 依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝‎ e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.‎ 答案 D ‎3.(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋的部分图像大致为( )‎ 解析 法一 易知g(x)＝x＋为奇函数，其图像关于原点对称.所以y＝1＋x＋的图像只需把g(x)的图像向上平移一个单位长度，选项D满足.‎ 法二 当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.‎ 答案 D ‎4.已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________.‎ 解析 当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0时，x∈(2，8].‎ 答案 (2，8]‎ ‎5.(2018·西安调研)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.‎ 解析 在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图像，如图所示.由图像知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.‎ 答案 (0，＋∞)‎ 考点一 作函数的图像 ‎【例1】 作出下列函数的图像：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝； (4)y＝x2－2|x|－1.‎ 解 (1)先作出y＝的图像，保留y＝图像中x≥0的部分，再作出y＝的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图像，如图①实线部分.‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②.‎ ‎(3)∵y＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④.‎ 规律方法 画函数图像的一般方法 ‎(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出.‎ ‎(2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.‎ ‎【训练1】 分别画出下列函数的图像：‎ ‎(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.‎ 解 (1)∵y＝|lg x|＝ ‎∴函数y＝|lg x|的图像，如图①.‎ ‎(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图像完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图像关于y轴对称，其图像如图②.‎ 考点二 函数图像的辨识 ‎【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图像大致为( )‎ ‎(2)(2017·全国Ⅰ卷)函数y＝的部分图像大致为( )‎ 解析 (1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，‎ 又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；‎ 设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.‎ 又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|‎ 在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.‎ ‎(2)令f(x)＝，定义域为{x|x≠2kπ，k∈ }，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在定义域内为奇函数，图像关于原点对称，B不正确；‎ 又f(1)＝>0，f(π)＝0，‎ ‎∴选项A，D不正确，只有选项C满足.‎ 答案 (1)D (2)C 规律方法 1.抓住函数的性质，定性分析：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从周期性，判断图像的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图像的对称性.‎ ‎2.抓住函数的特征，定量计算：‎ 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·汉中模拟)函数f(x)＝·sin x的图像大致形状为( )‎ ‎(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图像大致为( )‎ 解析 (1)∵f(x)＝·sin x，‎ ‎∴f(－x)＝·sin(－x)＝－sin x＝·sin x＝f(x)，且f(x)的定义域为R，‎ ‎∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D；‎ 当x＝2时，f(2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合.‎ ‎(2)当x∈时，f(x)＝tan x＋，图像不会是直线段，从而排除A，C；‎ 当x∈时，f ＝f ＝1＋，‎ f ＝2.∵2<1＋，‎ ‎∴f 0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.‎ 解析 (1)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图像，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，‎ ‎∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.‎ 答案 (1)C (2)(3，＋∞)‎ 规律方法 1.利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.‎ ‎2.利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像交点的 横坐标；不等式f(x)0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x ‎>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足.‎ 答案 A ‎2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )‎ 解析 小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.‎ 答案 C ‎3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图像与y＝ex的图像关于直线y＝x对称.而函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值是( )‎ A.－e B.－ C.e D. 解析 由题意知g(x)＝ln x，则f(x)＝ln(－x)，若f(m)＝－1，则ln(－m)＝－1，解得m＝－.‎ 答案 B ‎4.(2018·泰安模拟)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则y＝f′(x)的图像大致是( )‎ 解析 因为f(x)＝x2＋cos x，所以f′(x)＝x－sin x，f′(x)为奇函数，排除B，D；当x＝时，f′(x)＝－<0，排除C，∴A满足.‎ 答案 A ‎5.(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为( )‎ A.(－∞，1) B.(－∞，1]‎ C.(0，1) D.(－∞，＋∞)‎ 解析 x≤0时，f(x)＝2－x－1，00的部分是将x∈(－1，0]的部分周期性向右平移1个单位长度得到的，其部分图像如图所示.‎ 若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有两个不同交点，‎ 故a<1，即a的取值范围是(－∞，1).‎ 答案 A 二、填空题 ‎6.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.‎ 解析 当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).‎ 则得∴y＝x＋1.‎ 当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).‎ ‎∵图像过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.‎ 答案 f(x)＝ ‎7.(2018·合肥质检)对函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图像的一组奇对称点.若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图像上存在奇对称点，则实数a的取值范围是________.‎ 解析 依题意，知f(x)＝－f(－x)有非零解，由f(x)＝－f(－x)得，a＝‎ >1(x≠0)，所以当f(x)＝ex－a存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，＋∞).‎ 答案 (1，＋∞)‎ ‎8.函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.‎ 解析 f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝‎ sin 2x与y2＝x2图像的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图像如图所示：‎ 由图可知两函数图像有2个交点，则f(x)的零点个数为2.‎ 答案 2‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)＝ ‎(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图像；‎ ‎(2)写出f(x)的单调递增区间；‎ ‎(3)由图像指出当x取什么值时f(x)有最值.‎ 解 (1)函数f(x)的图像如图所示.‎ ‎(2)由图像可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5].‎ ‎(3)由图像知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，‎ 当x＝0时，f(0)＝3，当x＝5时，f(5)＝2，‎ 所以f(x)max＝f(0)＝3.‎ ‎10.已知函数f(x)＝2x，x∈R.‎ ‎(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？‎ ‎(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围.‎ 解 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图像如图所示.‎ 由图像看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解.‎ ‎(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，‎ 因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围是(－∞，0].‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2018·咸阳调研)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )‎ A. B.(－∞，)‎ C. D. 解析 由题意知，设x0∈(－∞，0)，‎ 使得f(x0)＝g(－x0)，‎ 即x＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，‎ ‎∴ex0－ln(－x0＋a)－＝0.‎ 令y1＝ex－，y2＝ln(－x＋a)，要使得函数图像的交点A在y轴左侧，如图，则 ln a<＝ln e，∴a

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