2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

‎2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1．（3分）﹣9的相反数是（　　）‎ A．﹣9 B．﹣ C．9 D．‎ ‎2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6 ‎ C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2‎ ‎3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（　　）‎ 第30页（共30页）‎ A．60° B．75° C．70° D．65°‎ ‎6．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）‎ A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 ‎ C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3‎ ‎7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）‎ A．20% B．40% C．18% D．36%‎ ‎8．（3分）方程＝的解为（　　）‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝‎ ‎9．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）‎ A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）‎ ‎10．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（3分）将数6260000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎13．（3分）把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是　 　．‎ 第30页（共30页）‎ ‎14．（3分）不等式组的解集是　 　．‎ ‎15．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为　 　．‎ ‎17．（3分）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是　 　度．‎ ‎18．（3分）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　 　度．‎ ‎19．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为　 　．‎ ‎20．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　 　．‎ 三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）‎ ‎21．（7分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．‎ 第30页（共30页）‎ ‎22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；‎ ‎（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．‎ ‎23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）请通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．‎ ‎24．（8分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．‎ ‎（1）如图1，求证：AE＝CF；‎ ‎（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE 第30页（共30页）‎ ‎，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．‎ ‎25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；‎ ‎（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；‎ ‎（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？‎ ‎26．（10分）已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．‎ ‎（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；‎ ‎（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC＝，求RG的长．‎ ‎27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ 第30页（共30页）‎ ‎（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．‎ 第30页（共30页）‎ ‎2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1．（3分）﹣9的相反数是（　　）‎ A．﹣9 B．﹣ C．9 D．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．‎ ‎【解答】解：﹣9的相反数是9，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6 ‎ C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2‎ ‎【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；‎ ‎【解答】解：2a+2a＝4a，A错误；‎ a2•a3＝a5，B错误；‎ ‎（2a2）3＝8a6，C错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键．‎ ‎3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；‎ 第30页（共30页）‎ B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．‎ ‎4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形．‎ ‎【解答】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．‎ ‎5．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．60° B．75° C．70° D．65°‎ ‎【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．‎ ‎【解答】解：连接OA、OB，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∴∠OAP＝∠OBP＝90°，‎ ‎∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，‎ ‎∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．‎ ‎6．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）‎ A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 ‎ C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3‎ ‎【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．‎ ‎【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．‎ ‎7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）‎ A．20% B．40% C．18% D．36%‎ ‎【分析】设降价得百分率为x，根据降低率的公式a（1﹣x）2＝b建立方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：设降价的百分率为x 根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16‎ 第30页（共30页）‎ 解方程得，（舍）‎ ‎∴每次降价得百分率为20%‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1﹣x）2＝b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．‎ ‎8．（3分）方程＝的解为（　　）‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝‎ ‎【分析】将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解；‎ ‎【解答】解：＝，‎ ‎，‎ ‎∴2x＝9x﹣3，‎ ‎∴x＝；‎ 将检验x＝是方程的根，‎ ‎∴方程的解为x＝；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．‎ ‎9．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）‎ A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）‎ ‎【分析】将点（﹣1，4）代入y＝，求出函数解析式即可解题；‎ ‎【解答】解：将点（﹣1，4）代入y＝，‎ ‎∴k＝﹣4，‎ ‎∴y＝，‎ ‎∴点（4，﹣1）在函数图象上，‎ 故选：A．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．‎ ‎10．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵在▱ABCD中，EM∥AD ‎∴易证四边形AMEN为平行四边形 ‎∴易证△BEM∽△BAD∽△END ‎∴＝＝，A项错误 ‎＝，B项错误 ‎＝＝，C项错误 ‎＝＝，D项正确 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．‎ 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（3分）将数6260000用科学记数法表示为　6.26×106　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：6260000用科学记数法可表示为6.26×106，‎ 故答案为：6.26×106．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 第30页（共30页）‎ 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠　．‎ ‎【分析】函数中分母不为零是函数y＝有意义的条件，因此2x﹣3≠0即可；‎ ‎【解答】解：函数y＝中分母2x﹣3≠0，‎ ‎∴x≠；‎ 故答案为x≠；‎ ‎【点评】本题考查函数自变量的取值范围；熟练掌握函数中自变量的取值范围的求法是解题的关键．‎ ‎13．（3分）把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是　a（a﹣3b）2　．‎ ‎【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．‎ ‎【解答】解：a3﹣6a2b+9ab2‎ ‎＝a（a2﹣6ab+9b2）‎ ‎＝a（a﹣3b）2．‎ 故答案为：a（a﹣3b）2．‎ ‎【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎14．（3分）不等式组的解集是　x≥3　．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式≤0，得：x≥3，‎ 解不等式3x+2≥1，得：x≥﹣，‎ ‎∴不等式组的解集为x≥3，‎ 故答案为：x≥3．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ 第30页（共30页）‎ ‎15．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是　8　．‎ ‎【分析】利用二次函数的性质解决问题．‎ ‎【解答】解：∵a＝﹣1＜0，‎ ‎∴y有最大值，‎ 当x＝6时，y有最大值8．‎ 故答案为8．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．‎ ‎16．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为　　．‎ ‎【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，‎ ‎∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°‎ ‎∴∠A'CB＝90°‎ ‎∴A'B＝＝‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．‎ ‎17．（3分）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是　110　度．‎ ‎【分析】直接利用弧长公式l＝即可求出n的值，计算即可．‎ ‎【解答】解：根据l＝＝＝11π，‎ 解得：n＝110，‎ 故答案为：110．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【点评】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键．‎ ‎18．（3分）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　60°或10　度．‎ ‎【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①如图1，当∠ADC＝90°时，‎ ‎∵∠B＝30°，‎ ‎∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；‎ ‎②如图2，当∠ACD＝90°时，‎ ‎∵∠A＝50°，∠B＝30°，‎ ‎∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，‎ ‎∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，‎ 综上，则∠BCD的度数为60°或10°；‎ 故答案为：60°或10；‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．‎ ‎19．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为　　．‎ ‎【分析】‎ 第30页（共30页）‎ 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：列表得：‎ ‎（1，6）‎ ‎（2，6）‎ ‎（3，6）‎ ‎（4，6）‎ ‎（5，6）‎ ‎（6，6）‎ ‎（1，5）‎ ‎（2，5）‎ ‎（3，5）‎ ‎（4，5）‎ ‎（5，5）‎ ‎（6，5）‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ ‎（5，4）‎ ‎（6，4）‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎（6，3）‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎（6，2）‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎（6，1）‎ 由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，‎ 所以两枚骰子点数相同的概率为＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．‎ ‎20．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　2　．‎ ‎【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形 ‎，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【解答】解：如图，连接AC交BD于点O ‎∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，‎ ‎∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形 ‎∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，‎ BO＝OD＝4‎ ‎∵CE∥AB ‎∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°‎ ‎∴∠DAO＝∠ACE＝30°‎ ‎∴AE＝CE＝6‎ ‎∴DE＝AD﹣AE＝2‎ ‎∵∠CED＝∠ADB＝60°‎ ‎∴△EDF是等边三角形 ‎∴DE＝EF＝DF＝2‎ ‎∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2‎ ‎∴OC＝＝2‎ ‎∴BC＝＝2‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．‎ 三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）‎ ‎21．（7分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．‎ ‎【分析】‎ 第30页（共30页）‎ 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得x的值，代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式＝[﹣]÷‎ ‎＝（﹣）•‎ ‎＝•‎ ‎＝，‎ 当x＝4tan45°+2cos30°＝4×1+2×＝4+时，‎ 原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．‎ ‎22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；‎ ‎（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．‎ ‎【分析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；‎ ‎（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；‎ ‎【解答】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；‎ ‎（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；‎ 第30页（共30页）‎ ‎【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方法是解题的关键．‎ ‎23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）请通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．‎ ‎【分析】（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；‎ ‎（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；‎ ‎（2）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名），‎ 第30页（共30页）‎ 答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；‎ ‎（2）60﹣（18+9+12+6）＝15（名），‎ 则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名，‎ 补全条形统计图，如图所示：‎ ‎（3）根据题意得：1500×＝225（名），‎ 答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．‎ ‎【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎24．（8分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．‎ ‎（1）如图1，求证：AE＝CF；‎ ‎（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．‎ ‎【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；‎ ‎（2）由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出BE＝AB，AE＝AD，得出△ABE的面积＝AB×AD＝矩形ABCD 第30页（共30页）‎ 的面积，由全等三角形的性质得出△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE的面积＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，‎ ‎∴∠ABE＝∠DF，‎ ‎∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，‎ ‎∴∠AEB＝∠CFD＝90°，‎ 在△ABE和△CDF中，，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（AAS），‎ ‎∴AE＝CF；‎ ‎（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠CBD＝∠ADB＝30°，‎ ‎∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ABE＝60°，‎ ‎∵AE⊥BD，‎ ‎∴∠BAE＝30°，‎ ‎∴BE＝AB，AE＝AD，‎ ‎∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，‎ ‎∵△ABE≌△CDF，‎ ‎∴△CDF的面积═矩形ABCD的面积；‎ 作EG⊥BC于G，如图所示：‎ ‎∵∠CBD＝30°，‎ ‎∴EG＝BE＝×AB＝AB，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面积，‎ 同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．‎ ‎25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；‎ ‎（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；‎ ‎（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？‎ ‎【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；‎ ‎（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；‎ ‎【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，‎ 根据题意得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；‎ ‎（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，‎ 根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，‎ ‎∴z≤25，‎ ‎∴最多可以购买25副围棋；‎ 第30页（共30页）‎ ‎【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．‎ ‎26．（10分）已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．‎ ‎（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；‎ ‎（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC＝，求RG的长．‎ ‎【分析】（1）利用“四边形内角和为360°”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；‎ ‎（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证AB＝MB，再根据“等角对等边”，证明MP＝ME；‎ ‎（3）由全等三角形性质和垂径定理可将HK：ME＝2：3转化为OQ：MQ＝4：3；可设Rt△OMQ两直角边为：OQ＝4k，MQ＝3k，再构造直角三角形利用BC＝，求出k的值；求得OP＝OR＝OG，得△PGR为直角三角形，应用勾股定理求RG．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K ‎∴∠ODB＝∠OKC＝90°‎ ‎∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°‎ ‎∴∠DFK+∠EON＝180°‎ ‎∵∠DFK+∠HFB＝180°‎ ‎∴∠HFB＝∠EON ‎∵∠EON＝2∠EHN ‎∴∠HFB＝2∠EHN 第30页（共30页）‎ ‎（2）如图2，连接OB，‎ ‎∵OA⊥ME，‎ ‎∴∠AOM＝∠AOE ‎∵AB⊥OE ‎∴∠AOE＝∠BOE ‎∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，‎ 即：∠MOE＝∠AOB ‎∴ME＝AB ‎∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN ‎∴∠EHN＝2∠CHN ‎∴∠EHC＝∠CHN ‎∵CH⊥MN ‎∴∠HPN＝∠HNM ‎∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM ‎∴∠EPM＝∠HEM ‎∴MP＝ME ‎∴MP＝AB ‎（3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC，‎ 由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE ‎∴∠EOC＝∠CON ‎∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°‎ ‎∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°‎ ‎∵OA⊥ME，CH⊥MN ‎∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，‎ ‎∴∠AOM+∠OMQ＝90°‎ ‎∴∠CON＝∠OMQ ‎∵OC＝OA ‎∴△OCK≌△MOQ（AAS）‎ ‎∴CK＝OQ＝HK 第30页（共30页）‎ ‎∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3‎ ‎∴OQ：MQ＝4：3‎ ‎∴设OQ＝4k，MQ＝3k，‎ 则OM＝＝＝5k，AB＝ME＝6k 在Rt△OAC中，AC＝＝＝5k ‎∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°，‎ ‎∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，‎ ‎∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°‎ ‎∴AF＝BF＝AB•cos∠ABF＝6k•cos45°＝3k 在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2‎ 即：，解得：k1＝1，（不符合题意，舍去）‎ ‎∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5‎ ‎∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，‎ 在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，‎ ‎∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1‎ ‎∴RK＝HK＝4‎ ‎∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1‎ ‎∵∠CON＝∠OMQ ‎∴OC∥ME ‎∴∠PGO＝∠HEM ‎∵∠EPM＝∠HEM ‎∴∠PGO＝∠EPM ‎∴OG＝OP＝OR＝1‎ ‎∴∠PGR＝90°‎ 在Rt△HPK中，PH＝＝＝2‎ ‎∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN ‎∴△POG∽△PHN 第30页（共30页）‎ ‎∴，即，PG＝‎ ‎∴RG＝＝＝．‎ ‎【点评】本题是有关圆的几何综合题，难度较大，综合性很强；主要考查了垂径定理，圆周角与圆心角，同圆中圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形性质，全等三角形性质，勾股定理及解直角三角形等．‎ ‎27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P 第30页（共30页）‎ 的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．‎ ‎【分析】（1）由 y＝x+4，求出A（﹣3，0）B（0，4），所以C（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，解得k＝，b＝4，所以直线BC的解析式；‎ ‎（2）过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．由sin∠ACD＝，即，求出AD＝，设P（t，t+4），由cos∠BPG＝cos∠BAO，即，求出，由sin∠ABC＝，求得PN＝＝，BQ＝5+，所以S＝，即S＝；‎ ‎（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT交 OA于点S，易证AT∥BC，所以∠TAE＝∠FQB，△ATF≌△QBF，于是AF＝QF，TF＝BF，再证明△MBF≌△PTF，所以MF＝PF，BM＝PT，于是四边形AMPQ为平行四边形，由sin∠ABC＝sin∠MQR＝，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，tan∠QMR＝，所以MH＝23a，BQ 第30页（共30页）‎ ‎＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R作RK⊥x轴于点K．求得M（0，），设直线PM的解析式为y＝mx+n，解得，因此直线PM的解析式为y＝．‎ ‎【解答】解：（1）∵y＝x+4，‎ ‎∴A（﹣3，0）B（0，4），‎ ‎∵点C与点A关于y轴对称，‎ ‎∴C（3，0），‎ 设直线BC的解析式为y＝kx+b，‎ 将B（0，4），C（3，0）代入，‎ ‎，‎ 解得k＝，b＝4，‎ ‎∴直线BC的解析式；‎ ‎（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．‎ ‎∵OA＝OC＝3，OB＝4，‎ ‎∴AC＝6，AB＝BC＝5，‎ ‎∴sin∠ACD＝，‎ 第30页（共30页）‎ 即，‎ ‎∴AD＝，‎ ‎∵点P为直线y＝x+4上，‎ ‎∴设P（t，t+4），‎ ‎∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∵sin∠ABC＝，‎ ‎∴PN＝＝，‎ ‎∵AP＝BQ，‎ ‎∴BQ＝5+，‎ ‎∴S＝，‎ 即S＝；‎ ‎（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT交 OA于点S．‎ ‎∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，‎ ‎∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，‎ ‎∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∴PT⊥AE，PS＝ST，‎ ‎∴AP＝AT，∠TAE＝∠PAE＝∠ACB，‎ AT∥BC，‎ ‎∴∠TAE＝∠FQB，‎ ‎∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，‎ ‎∴△ATF≌△QBF，‎ ‎∴AF＝QF，TF＝BF，‎ ‎∵∠PSA＝∠BOA＝90°，‎ ‎∴PT∥BM，‎ ‎∴∠TBM＝∠PTB，‎ ‎∵∠BFM＝∠PFT，‎ ‎∴△MBF≌△PTF，‎ ‎∴MF＝PF，BM＝PT，‎ ‎∴四边形AMPQ为平行四边形，‎ ‎∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，‎ ‎∴∠MQR＝∠ABC，‎ 过点R作RH⊥MQ于点H，‎ ‎∵sin∠ABC＝sin∠MQR＝，‎ 设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，‎ ‎∵tan∠QMR＝，‎ ‎∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，‎ 过点R作RK⊥x轴于点K．‎ ‎∵点R的纵坐标为﹣，‎ ‎∴RK＝，‎ ‎∵sin∠BCO＝，‎ ‎∴CR＝，BR＝，‎ ‎∴，a＝，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∴BQ＝30a＝3，‎ ‎∴5+＝3，t＝，‎ ‎∴P（），‎ ‎∴，‎ ‎∵BM＝PT＝2PS＝，BO＝4，‎ ‎∴OM＝，‎ ‎∴M（0，），‎ 设直线PM的解析式为y＝mx+n，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴直线PM的解析式为y＝．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、三角形全等以及三角函数是解题的关键．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/1 7:42:46；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557‎ 第30页（共30页）‎