【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第四章第8讲 解三角形的应用举例学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第四章第8讲 解三角形的应用举例学案

第8讲 解三角形的应用举例 ‎1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).‎ ‎2.方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②,B点的方位角为α).‎ ‎3.方向角 相对于某一正方向的角(如图③).‎ ‎(1)北偏东α:指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向.‎ ‎(2)东北方向:指北偏东45°.‎ ‎(3)其他方向角类似.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(  )‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.(  )‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(  )‎ ‎(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎ 在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角为70°,则∠BAC等于(  )‎ A.10°        B.50°‎ C.120° D.130°‎ 答案:D ‎ 若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的(  )‎ A.北偏东15° B.北偏西15°‎ C.北偏东10° D.北偏西10°‎ 解析:选B.如图所示,∠ACB=90°,‎ 又AC=BC,‎ 所以∠CBA=45°,‎ 而β=30°,‎ 所以α=90°-45°-30°=15°.‎ 所以点A在点B的北偏西15°.‎ ‎ 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km,参考数据:≈1.732)(  )‎ A.11.4 km B.6.6 km C.6.5 km D.5.6 km 解析:选B.因为AB=1 000×=(km).‎ 所以BC=·sin 30°=(km).‎ 所以航线离山顶h=×sin 75°=×sin(45°+30°)≈11.4(km).‎ 所以山高为18-11.4=6.6(km).‎ ‎ 如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为________.‎ 解析:由正弦定理得AB===50(m).‎ 答案:50 m ‎ (教材习题改编)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,且与它相距8 n mile,则此船的航速是_______________n mile/h.‎ 解析:设航速为v n mile/h,‎ 在△ABS中AB=v,BS=8,∠BSA=45°,由正弦定理得=,则v=32.‎ 答案:32‎ 测量距离问题(高频考点)‎ 研究测量距离问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.主要命题角度有:‎ ‎(1)两点都不可到达;‎ ‎(2)两点不相通的距离;‎ ‎(3)两点间可视但有一点不可到达.‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一 两点都不可到达 ‎ 如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出A,B的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠‎ ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在△ABC中,应用余弦定理计算出AB.‎ 若测得CD= km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A,B两点间的距离为________ km.‎ ‎【解析】 因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,‎ ‎∠ACD=60°,所以∠DAC=60°,‎ 所以AC=DC=(km).‎ 在△BCD中,∠DBC=45°,‎ 由正弦定理,得BC=·sin∠BDC=·sin 30°=.‎ 在△ABC中,由余弦定理,‎ 得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 45°=+-2×××=.‎ 所以AB=(km).‎ 所以A,B两点间的距离为 km.‎ ‎【答案】  ‎ 角度二 两点不相通的距离 ‎ 如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法为:先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离,即AB=.若测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,则A,B两点的距离为________m.‎ ‎【解析】 由题可得,在△ABC中,‎ AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos ∠ACB,‎ 所以AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000.‎ 所以AB=200 m.即A,B两点间的距离为200 m.‎ ‎【答案】 200 ‎ 角度三 两点间可视但有一点不可到达 ‎ 如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出A,B的距离,其方法为:在A所在的岸边选定一点C,可以测出A,C的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.‎ 若测出AC=60 m,A=75°,C=45°,则A,B两点间的距离为________m.‎ ‎【解析】 B=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得,=,‎ 所以AB===20(m),‎ 即A,B两点间的距离为20 m.‎ ‎【答案】 20 求距离问题的2个注意事项 ‎(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.  ‎ ‎[通关练习]‎ 如图,隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边先选取相距 km的C,D两点,同时,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.‎ 解:在△ACD中,‎ ‎∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,‎ 所以AC=CD= km.‎ 在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°.‎ 所以BC==.‎ 在△ABC中,由余弦定理,‎ 得AB2=()2+-2×××cos 75°=3+2+-=5,‎ 所以AB=(km),‎ 所以A,B之间的距离为 km.‎ 测量高度问题 ‎[典例引领]‎ ‎ 如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则树的高度为________m.‎ ‎【解析】 在△PAB中,∠PAB=30°,‎ ‎∠APB=15°,AB=60 m,‎ sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=×-×=,‎ 由正弦定理得=,‎ 所以PB==30(+),‎ 所以树的高度为PB·sin 45°=30(+)×=(30+30)(m).‎ ‎【答案】 30+30 求解高度问题应注意的3个问题 ‎(1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.‎ ‎(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.‎ ‎(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎(2018·福州综合测试)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时14 s,则这辆汽车的速度约为______ m/s(精确到0.1).参考数据:≈1.414,≈2.236.‎ 解析:因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,所以∠BAD=60°,∠CAD=45°.设这辆汽车的速度为v m/s,则BC=14v,在Rt△ADB中,AB===200.在Rt△ADC中,AC===100.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,所以(14v)2=(100)2+2002-2×100×200×cos 135°,所以v=≈22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.‎ 答案:22.6‎ 测量角度问题 ‎[典例引领]‎ ‎ 如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为________.‎ ‎【解析】 如题图所示,在△ABC中,‎ AB=40,AC=20,∠BAC=120°.‎ 由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800⇒BC=20.‎ 由正弦定理得,=⇒‎ sin∠ACB=sin∠BAC=.‎ 由∠BAC=120°,‎ 知∠ACB为锐角,‎ 则cos∠ACB=.‎ 由θ=∠ACB+30°,‎ 得cos θ=cos(∠ACB+30°)‎ ‎=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=.‎ ‎【答案】  解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义;‎ ‎(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步;‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎(2018·惠州第三次调研)如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cos θ=________.‎ 解析:由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由内角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,根据正弦定理可得=,即DB=100sin 15°=100×sin(45°-30°)=25(-1),又=,即=,得到cos θ=-1.‎ 答案:-1‎ ‎ 利用解三角形知识解决实际问题的方法 ‎(1)要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个三角形模型;‎ ‎(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;‎ ‎(3)三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义.‎ ‎ 注意两个易错点 ‎(1)不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.‎ ‎(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易出现错误.    ‎ ‎1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(  )‎ A.北偏东10°       B.北偏西10°‎ C.南偏东80° D.南偏西80°‎ 解析:选D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2.已知A、B两地间的距离为10 km,B、C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为(  )‎ A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 解析:选D.如图所示,由余弦定理可得:‎ AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700,‎ 所以AC=10(km).‎ ‎3.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.75°‎ 解析:选B.依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理得 cos∠CAD====,‎ 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为(  )‎ A.8 km/h B.6 km/h C.2 km/h D.10 km/h 解析:选B.设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为v km/h,由题意知,sin θ==,从而cos θ=,所以由余弦定理得=+12-2××2×1×,解得v=6.‎ ‎5.一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是(  )‎ A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 解析:选A.设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.‎ ‎6.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15°方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向,则海轮的速度为________海里/分.‎ 解析:由已知得∠ACB=45°,∠B=60°,由正弦定理得=,所以AC===10,所以海轮航行的速度为=(海里/分).‎ 答案: ‎7. (2018·河南调研)如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为________米.‎ 解析:由题图知∠BAS=45°-30°=15°,∠ABS=45°-15°=30°,所以∠ASB=135°,在△ABS中,由正弦定理可得=,所以AB=1 000,所以BC==1 000.‎ 答案:1 000‎ ‎8.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.‎ 解析:如图,OM=AOtan 45°=30(m),‎ ON=AOtan 30°=×30=10(m),‎ 在△MON中,由余弦定理得,‎ MN= ==10(m).‎ 答案:10 ‎9.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.‎ ‎(1)求渔船甲的速度;‎ ‎(2)求sin α的值.‎ 解:(1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α.在△ABC中,‎ 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos 120°=784.解得BC=28.‎ 所以渔船甲的速度为=14海里/时.‎ ‎(2)在△ABC中,因为AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,‎ 由正弦定理,得=,‎ 即sin α===.‎ ‎10.在△ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.‎ 解:设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,‎ 所以a=3.‎ 又由正弦定理,得sin B==,‎ 由题设知0
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