上海市徐汇区高考数学一模试卷文科解析版

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文档介绍

上海市徐汇区高考数学一模试卷文科解析版

‎2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一.填空题:(本题满分56分,每小题4分)‎ ‎1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=﹣2,则抛物线的标准方程是      .‎ ‎ ‎ ‎2.方程的解是      .‎ ‎ ‎ ‎3.设,则数列{an}的各项和为      .‎ ‎ ‎ ‎4.函数的单调递增区间是      .‎ ‎ ‎ ‎5.若函数f(x)的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称,则f(x)的解析式为f(x)=      .‎ ‎ ‎ ‎6.函数f(x)=|4x﹣x2|﹣a有四个零点,则a的取值范围是      .‎ ‎ ‎ ‎7.设x、y∈R+且=1,则x+y的最小值为      .‎ ‎ ‎ ‎8.若三条直线ax+y+3=0,x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点,则行列式的值为      .‎ ‎ ‎ ‎9.在△ABC中,边BC=2,AB=,则角C的取值范围是      .‎ ‎ ‎ ‎10.已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上,,CD=2,则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是      .‎ ‎ ‎ ‎11.(x3+2x+1)(3x2+4)展开后各项系数的和等于      .‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=x2﹣1的定义域为D,值域为{0,1},则这样的集合D最多有      个.‎ ‎ ‎ ‎13.正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为      .‎ ‎ ‎ ‎14.设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,若x1是虚数,是实数,则S=1+=      .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二.选择题:(本题满分20分,每小题5分)‎ ‎15.已知向量与不平行,且,则下列结论中正确的是(  )‎ A.向量与垂直 B.向量与垂直 C.向量与垂直 D.向量与平行 ‎ ‎ ‎16.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎17.(文)设x、y均是实数,i是虚数单位,复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎18.设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意x1、x2∈D,当x1+x2=2a时,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心.研究函数f(x)=x+sinπx﹣3的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为(  )‎ A.﹣4031 B.4031 C.﹣8062 D.8062‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三.解答题:(本大题共5题,满分74分)‎ ‎19.三棱锥S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC=,SB=.‎ ‎(1)证明:SC⊥BC;‎ ‎(2)求三棱锥的体积VS﹣ABC.‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数f(x)=sin22x﹣sin2xcos2x.‎ ‎(1)化简函数f(x)的表达式,并求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若点A(x0,y0)是y=f(x)图象的对称中心,且,求点A的坐标.‎ ‎ ‎ ‎21.已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f(x)=log2.‎ ‎(1)求实数x的取值范围;‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值,并求此时x的值.‎ ‎ ‎ ‎22.数列{an}满足a1=5,且(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)求a2,a3,a4;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)令bn=,求数列{bn}的最大值与最小值.‎ ‎ ‎ ‎23.某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分,其中E(0,t)(0<t≤25);曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50(a>0)的一部分;CD⊥AD,且CD恰好等于圆E的半径.假定拟建体育馆的高OB=50(单位:米,下同).‎ ‎(1)若t=20、a=,求CD、AD的长度;‎ ‎(2)若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米,求a的取值范围;‎ ‎(3)若a=,求AD的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题:(本题满分56分,每小题4分)‎ ‎1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=﹣2,则抛物线的标准方程是 y2=8x .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】先根据准线求出p的值,然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式,将p的值代入可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知: =2,∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为:y2=2px 将p代入可得y2=8x.‎ 故答案为:y2=8x.‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.方程的解是 x=2 .‎ ‎【考点】对数的运算性质.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】由方程可得 3x﹣5=4,即3x=32,由此求得方程的解.‎ ‎【解答】解:由方程可得 3x﹣5=4,即3x=32,解得x=2,‎ 故答案为 x=2.‎ ‎【点评】本题主要考查对数方程的解法,对数的运算性质应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.设,则数列{an}的各项和为  .‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】由已知可知=,从而可得数列{an}为公比的等比数列,要求等比数列的各项和,即求前n项和的极限,由求和公式先求前n项和,然后代入求解极限即可 ‎【解答】解:∵ =,‎ ‎∴=,‎ 则数列{an}是以为首项以为公比的等比数列 ‎∴=‎ 所以数列的各项和S==‎ 故答案为 ‎【点评】本题所涉及的知识:等比数列定义在判断等比数列中的应用,等比 数列的求和公式,等比数列的各项和与前n项和是不同的概念,要注意区别 ‎ ‎ ‎4.函数的单调递增区间是 [kπ﹣,kπ+],k∈Z .‎ ‎【考点】正弦函数的图象.‎ ‎【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.‎ ‎【分析】由条件利用正弦函数的单调性,得出结论.‎ ‎【解答】解:对于函数,令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,‎ 求得kπ﹣≤x≤kπ+,故函数的增区间为,‎ 故答案为:[kπ﹣,kπ+],k∈Z.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的单调性,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.若函数f(x)的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称,则f(x)的解析式为f(x)= y=﹣4﹣x .‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质;函数的图象.‎ ‎【专题】计算题;数形结合.‎ ‎【分析】先设f(x)上一点(x,y),求这个点关于x+y=0的对称点,则根据题意该对称点在函数y=log4x的图象上,满足函数y=log4x的解析式,从而可求出点(x,y)的轨迹方程 ‎【解答】解:设函数f(x)的图象上一点(x,y),则点(x,y)关于x+y=0的对称点(x',y')在对数函数y=log4x的图象 由题意知,解得x'=﹣y,y'=﹣x 又∵点(x',y')在对数函数y=log4x的图象 ‎∴﹣x=log4(﹣y)‎ ‎∴﹣y=4﹣x∴y=﹣4﹣x故答案为:y=﹣4﹣x ‎【点评】本题考查函数的图象与性质,求函数的解析式.解题的关键是会求点个关于直线的对称点.属简单题 ‎ ‎ ‎6.函数f(x)=|4x﹣x2|﹣a有四个零点,则a的取值范围是 (0,4) .‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系.‎ ‎【专题】函数的性质及应用.‎ ‎【分析】由题意可得,直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点,数形结合求得a的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=|4x﹣x2|﹣a有四个零点,故直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点,如图所示:‎ 结合图象可得0<a<4,‎ 故答案为 (0,4).‎ ‎【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用数形结合的思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.设x、y∈R+且=1,则x+y的最小值为 16 .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】将x、y∈R+且=1,代入x+y=(x+y)•(),展开后应用基本不等式即可.‎ ‎【解答】解:∵ =1,x、y∈R+,‎ ‎∴x+y=(x+y)•()==10+≥10+2=16(当且仅当,x=4,y=12时取“=”).‎ 故答案为:16.‎ ‎【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎8.若三条直线ax+y+3=0,x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点,则行列式的值为 1 .‎ ‎【考点】二阶矩阵;两条直线的交点坐标.‎ ‎【专题】计算题;方程思想;综合法;矩阵和变换.‎ ‎【分析】先由三条直线ax+y+3=0,x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点,求出a,再由二阶行列式展开法则能求出的值.‎ ‎【解答】解:联立,得x=﹣1,y=﹣1,‎ ‎∵三条直线ax+y+3=0,x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点,‎ ‎∴直线ax+y+3=0过点(﹣1,﹣1),∴﹣a﹣1+3=0,解得a=2,‎ ‎∴=a﹣1=2﹣1=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】本题考查二阶行列式的值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二阶行列式展开法则的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎9.在△ABC中,边BC=2,AB=,则角C的取值范围是 (0,] .‎ ‎【考点】余弦定理的应用.‎ ‎【专题】综合题.‎ ‎【分析】利用余弦定理构建方程,利用判别式可得不等式,从而可求角C的取值范围.‎ ‎【解答】解:由题意,设AC=b,‎ ‎3=b2+4﹣4bcosC ‎∴b2﹣4bcosC+1=0‎ ‎∴△=16cos2C﹣4≥0‎ ‎∵AB<BC ‎∴C不可能是钝角 ‎∴‎ ‎∴角C的取值范围是(0,]‎ 故答案为:(0,]‎ ‎【点评】本题考查余弦定理的运用,考查解不等式,解题的关键是利用余弦定理构建方程,利用判别式得不等式.‎ ‎ ‎ ‎10.已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上,,CD=2,则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是  .‎ ‎【考点】球面距离及相关计算.‎ ‎【专题】计算题;方程思想;综合法;球.‎ ‎【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点,且OA=OB=OC=OD,进而在△A0B中,利用余弦定理求得cos∠AOB的值,则∠AOB可求,进而根据弧长的计算方法求得答案.‎ ‎【解答】解:球心到四个顶点距离相等,故球心O在CD中点,则OA=OB=OC=OD=1,‎ 再由AB=,在△A0B中,利用余弦定理cos∠AOB==﹣,‎ 则∠AOB=,则弧AB=•1=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等,考查了学生观察分析和基本的运算能力.‎ ‎ ‎ ‎11.(x3+2x+1)(3x2+4)展开后各项系数的和等于 28 .‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【专题】对应思想;转化法;二项式定理.‎ ‎【分析】根据题意,令x=1,代入多项式即可求出展开式中各项系数的和.‎ ‎【解答】解:(x3+2x+1)(3x2+4)展开后含有字母x,‎ 令x=1,则展开式中各项系数的和为:‎ ‎(13+2×1+1)(3×12+4)=28.‎ 故答案为:28.‎ ‎【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题,解题时应利用x=1进行计算,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=x2﹣1的定义域为D,值域为{0,1},则这样的集合D最多有 9 个.‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法;二次函数的性质.‎ ‎【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】根据值域中的几个函数值,结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值,再加以组合即可得到定义域D的各种情况.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=x2﹣1,‎ ‎∴f(±1)=0,f(±)=1,‎ 因此,定义域D有:{1, },{﹣1,﹣ },{﹣1, },{1,﹣ },{﹣1,1, },{﹣1,1,﹣ },‎ ‎{1,,﹣ },{﹣1,,﹣ },{﹣1,1,,﹣ }共9种情况.‎ 故答案为:9.‎ ‎【点评】本题给出二次函数的一个值域,要我们求函数的定义域最多有几个,着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为  .‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.‎ ‎【分析】称求出基本事件总数n=4×4=16,再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数,由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率.‎ ‎【解答】解:正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上,‎ 露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n=4×4=16,‎ 设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m,n,‎ 则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有:(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),共包含4个基本事件,‎ ‎∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎14.设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,若x1是虚数,是实数,则S=1+= ﹣2 .‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算.‎ ‎【专题】方程思想;转化思想;数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】设x1=s+ti(s,t∈R,t≠0).则x2=s﹣ti.则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2.利用=s3﹣3st2+(3s2t﹣t3)i是实数,可得3s2=t2.于是x1+x2=2s,x1x2=s2+t2. +1=0,取=ω,则ω2+ω+1=0,ω3=1.代入化简即可得出.‎ ‎【解答】解:设x1=s+ti(s,t∈R,t≠0).则x2=s﹣ti.‎ 则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2.‎ ‎∵==s3﹣3st2+(3s2t﹣t3)i是实数,‎ ‎∴3s2t﹣t3=0,‎ ‎∴3s2=t2.‎ ‎∴x1+x2=2s,x1x2=s2+t2.‎ ‎∴4s2==+2x1x2=x1x2,‎ ‎∴+1=0,‎ 取=ω,‎ 则ω2+ω+1=0,‎ ‎∴ω3=1.‎ 则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32‎ ‎=0+ω+ω2+ω+ω2‎ ‎=﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二.选择题:(本题满分20分,每小题5分)‎ ‎15.已知向量与不平行,且,则下列结论中正确的是(  )‎ A.向量与垂直 B.向量与垂直 C.向量与垂直 D.向量与平行 ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【专题】对应思想;分析法;平面向量及应用.‎ ‎【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直.‎ ‎【解答】解:设的夹角为θ,则0<θ<π,∵()•()==0,∴()⊥(),故A正确;D错误.‎ ‎∵()•=﹣=﹣cosθ≠0,∴与不垂直;故B错误;‎ ‎∵==+cosθ≠0,∴与不垂直,故C错误;‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎16.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质.‎ ‎【专题】简易逻辑.‎ ‎【分析】根据不等式的性质,我们先判断“0<ab<1”⇒“”与“”⇒“0<ab<1”的真假,然后结合充要条件的定义即可得到答案.‎ ‎【解答】解:若“0<ab<1”‎ 当a,b均小于0时,‎ 即“0<ab<1”⇒“”为假命题 若“”‎ 当a<0时,ab>1‎ 即“”⇒“0<ab<1”为假命题 综上“0<ab<1”是“”的既不充分也不必要条件 故选D.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断,及不等式的性质,其中根据不等式的性质判断“0<ab<1”⇒“”与“”⇒“0<ab<1”的真假,是解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(文)设x、y均是实数,i是虚数单位,复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义.‎ ‎【专题】数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】由复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i的实部大于0,虚部不小于0,可得,利用线性规划的知识可得可行域即可.‎ ‎【解答】解:∵复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i的实部大于0,虚部不小于0,‎ ‎∴,‎ 由线性规划的知识可得:可行域为直线x=2y的右下方和直线的左下方,因此为A.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意x1、x2∈D,当x1+x2=2a时,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心.研究函数f(x)=x+sinπx﹣3的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为(  )‎ A.﹣4031 B.4031 C.﹣8062 D.8062‎ ‎【考点】函数的值;抽象函数及其应用.‎ ‎【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】利用函数对称中心的性质得到当x1+x2=2时,恒有f(x1)+f(x2)=﹣4,能此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=x+sinπx﹣3,‎ ‎∴当x=1时,f(1)=1+sinπ﹣3=﹣2,‎ ‎∴根据对称中心的定义,可得当x1+x2=2时,恒有f(x1)+f(x2)=﹣4,‎ ‎∴‎ ‎=2015[f()+f()]+f()‎ ‎=2015×(﹣4)﹣2‎ ‎=﹣8062.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.‎ ‎ ‎ 三.解答题:(本大题共5题,满分74分)‎ ‎19.三棱锥S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC=,SB=.‎ ‎(1)证明:SC⊥BC;‎ ‎(2)求三棱锥的体积VS﹣ABC.‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【专题】计算题;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】(1)因为SA⊥面ABC,AC为SC在面ABC内的射影,由三垂线定理可直接得证.‎ ‎(2)由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA,在直角三角形中求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A ‎∴SA⊥平面ABC,∴AC为SC在平面ABC内的射影,‎ 又∵BC⊥AC,由三重线定理得:SC⊥BC ‎(2)在△ABC中,AC⊥BC,AC=2,BC=,∴AB==,‎ ‎∵SA⊥AB,∴△SAB为Rt△,SB=,∴SA==2,‎ ‎∵SA⊥平面ABC,∴SA为棱锥的高,‎ ‎∴VS﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=.‎ ‎【点评】本题考查了三垂线定理的应用,考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力,计算能力;三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理,是证明异面直线垂直的常用方法.‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数f(x)=sin22x﹣sin2xcos2x.‎ ‎(1)化简函数f(x)的表达式,并求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若点A(x0,y0)是y=f(x)图象的对称中心,且,求点A的坐标.‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.‎ ‎【专题】函数思想;综合法;三角函数的图像与性质.‎ ‎【分析】(1)利用降次公式,二倍角公式,和角公式化简f(x)=,代入周期公式计算周期;‎ ‎(2)由对称中心的性质可知sin(4x0+)=0,结合x0∈[0,]求出x0,得到A点坐标.‎ ‎【解答】解:(1)=,所以f(x)的最小正周期.‎ ‎(2)∵点A(x0,y0)是y=f(x)图象的对称中心,∴sin(4x0+)=0,∴4x0+=kπ,x0=﹣.k∈Z.‎ ‎∵x0∈[0,],∴,解得k=1或k=2,∴x0=或x0=.‎ ‎∴点A的坐标为或.‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,正弦函数的图象与性质,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f(x)=log2.‎ ‎(1)求实数x的取值范围;‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值,并求此时x的值.‎ ‎【考点】对数的运算性质;函数的最值及其几何意义.‎ ‎【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】(1)将3x﹣2看作一个整体,因式分解结合指数的运算性质从而求出x的范围即可;(2)先将f(x)配方,结合二次函数的性质求出其最值即可.‎ ‎【解答】解:(1)由,‎ 得32x﹣4﹣10•3x﹣2+9≤0,‎ 即(3x﹣2﹣1)(3x﹣2﹣9)≤0,‎ ‎∴1≤3x﹣2≤9,2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎(2)因为 ‎=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当,即时,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当log2x=1或log2x=2,即x=2或x=4时,ymax=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎【点评】本题考察了对数以及指数的运算性质,考察二次函数的性质,是一道中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.数列{an}满足a1=5,且(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)求a2,a3,a4;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)令bn=,求数列{bn}的最大值与最小值.‎ ‎【考点】数列递推式;数列的求和.‎ ‎【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】(1)由a1=5,且(n≥2,n∈N*).分别令n=2,3,4,即可得出.‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn,利用递推关系可得:,得即,再利用等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎(3),变形利用单调性即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵a1=5,且(n≥2,n∈N*).‎ 分别令n=2,3,4,可得:‎ ‎.‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn,则,‎ ‎∴,得即,‎ ‎∴{an}从第二项起成等比数列,又a2=10,‎ ‎∴.‎ ‎(3),‎ 由,‎ 得,‎ 所以当n=3时,,‎ 当n=4时,‎ 但,‎ 综上所述,,(bn)max=b1=5.‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎23.某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分,其中E(0,t)(0<t≤25);曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50(a>0)的一部分;CD⊥AD,且CD恰好等于圆E的半径.假定拟建体育馆的高OB=50(单位:米,下同).‎ ‎(1)若t=20、a=,求CD、AD的长度;‎ ‎(2)若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米,求a的取值范围;‎ ‎(3)若a=,求AD的最大值.‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用.‎ ‎【专题】数形结合;综合法;直线与圆.‎ ‎【分析】(1)分别求出OD和AO的长,相加即可;(2)问题转化为恒成立,根据级别不等式的性质解出即可;‎ ‎(3)法一:根据三角函数知识解答;法二:根据圆的知识解答即可.‎ ‎【解答】解:(1)因为圆E的半径为OB﹣OE=50﹣t=30,‎ 所以CD=30.‎ 在中令y=30,得.‎ 在圆E:x2+(y﹣20)2=302,中令y=0,得,‎ 所以.‎ ‎(2)由圆E的半径为OB﹣OE=50﹣t,得CD=50﹣t.‎ 在y=﹣ax2+50中令y=50﹣t,得..‎ 由题意知,对t∈(0,25]恒成立,所以恒成立.‎ 当,即t=25时,取得最小值10,‎ 故,解得.‎ ‎(3)当时,.‎ 又圆E的方程为x2+(y﹣t)2=(50﹣t)2,‎ 令y=0,得,所以,从而.‎ 下求的最大值.‎ 方法一:令,‎ 则=,其中φ是锐角,且,‎ 从而当时,AD取得最大值.‎ 方法二:令,则题意相当于:已知x2+y2=25(x≥0,y≥0),‎ 求z=AD=5(2x+y)的最大值.‎ 当直线与圆弧x2+y2=25(x≥0,y≥0)相切时,z取得最大值.‎ 答:当t=5米时,AD的最大值为米.‎ ‎【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,考查三角函数问题,考查函数恒成立问题,是一道难题.‎ ‎ ‎
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