江苏专用高考数学总复习专题102双曲线
专题 10.2 双曲线
【三年高考】
1. 【2017 高考江苏】在平面直角坐标系 中 ，双曲线 的右准线与它的两条渐近
线分别交于点 ， ，其焦点是 ，则四边形 的面积是 ▲ ．
2. 【2016 高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的焦距是 ▲ .
【答案】
【解析】
试题分析： ．故答案应
填：
【考点】双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息
相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键， 揭示
焦点在 x 轴，实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距为 ，渐近线方程为 ，
离心率为 ．
2．【2012 江苏，理 8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 的离心率为 ，
则 m 的值为__________．
【答案】2
【解析】根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点 在 x 轴上，且 a2＝m，b2＝m2＋4，
故 c2＝m2＋m＋4，于是 ，解得 m＝2，经检验符合题意．
4.【2017 课标 II，理 9】若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆
所截得的弦长为 2，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
xOy
2
2 13
x y− =
P Q 1 2,F F 1 2F PF Q
2 2
17 3
x y− =
2 10
2 2 2 2 27, 3, 7 3 10, 10, 2 2 10a b c a b c c= = ∴ = + = + = ∴ = ∴ =
2 10
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2a 2b 2 22 2c a b= + by xa
= ±
2 2c a b
a a
+=
2 2
2 14
x y
m m
− =+ 5
2 2
2 2
2
4 ( 5)c m me a m
+ += = =
C:
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b >
( )2 22 4x y− + = C
3 2 2 3
3
【答案】A
【解析】
【考点】 双曲线的离心率 ；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取
值范围)，常见有两种方法：
①求出 a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式，
然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可
得 e(e 的取值范围)。
5. 【2017 天津，理 5】已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .
若经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【考点】 双曲线的标准方程
ce a
=
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F 2
F (0,4)P
2 2
14 4
x y− =
2 2
18 8
x y− =
2 2
14 8
x y− =
2 2
18 4
x y− =
B
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法
就是依据题目的条件列出关于 的方程，解方程组求出 ，另外求双曲线方程要注意巧
设双曲线（1）双曲线过两点可设为 ，（2）与 共渐近线的
双曲线可设为 ，（3）等轴双曲线可设为 等，均为待定
系数法求标准方程.
6.【2017 北京，理 9】若双曲线 的离心率为 ，则实数 m=_________.
【答案】2
【解析】
试题分析： ，所以 ，解得 .
【考点】双曲线的方程和几何性质
【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解
题时要注意 、 、 的关系 ，否则很容易出现错误．以及当焦点在 轴时，哪
些量表示 ，根据离心率的公式计算.
7.【2017 课标 1，理】已知双曲线 C： （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b
为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60°，则 C 的离心率为
________.
【答案】
【解析】试题分析：
, ,a b c ,a b
2 2 1( 0)mx ny mn− = >
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2 ( 0)x y
a b
λ λ− = ≠ 2 2 ( 0)x y λ λ− = ≠
2
2 1yx m
− = 3
2 21,a b m= = 1 31
c m
a
+= = 2m =
a b c 2 2 2c a b= + x
2 2,a b
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 3
3
【考点】双曲线的简单性质.
【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这
一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；②双曲线的
焦点到渐近线的距离是 ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是 .
8. 【2017 课标 3，理 5】已知双曲线 C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为
,且与椭圆 有公共焦点，则 C 的方程为
A． B． C． D．
b ab
c
2 2
2 2 1x y
a b
− =
5
2y x=
2 2
112 3
x y+ =
2 2
18 10
x y− =
2 2
14 5
x y− =
2 2
15 4
x y− =
2 2
14 3
x y− =
【答案】B
【解析】
试题分 析：双曲线 C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，
椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，
据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，
则双曲线 的方程为 .
故选 B.
【考点】 双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程.
【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即
先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的
值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程
为 ，再由 条件求出 λ 的值即可.
10.【2017 山东，理 14】在平面直角坐标系 中，双曲线 的右支与
焦点为 的抛物线 交于 两点，若 ，则该双曲线的渐近
线方程为 .
【答案】
2 2
2 2 1x y
a b
− = by xa
= ±
2 2 2 2 212, 3, 9,c 3a b c a b= = ∴ = − = = ( )3,0±
2 2 2
5
2
3
b
a
c a b
c
=
= −
=
2 24, 5a b= =
C
2
14 5
x y2
− =
( )2
2 2 0x y
a b
λ λ
2
− = ≠
xOy ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
F ( )2 2 0x px p= > ,A B 4AF BF OF+ =
2
2y x= ±
【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及 其几何性质.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.
对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方
程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.
因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为 的形式，当 ， ，
时为椭圆，当 时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
10．【2016 高考新课标 1 卷改编】已知方程 表示双曲线,且该双曲线两
焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析： 表示双曲线,则
∴ ,由双曲线性质知： ,其中 是半焦距
∴焦距 ,解得 ,∴ ．
考点：双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注
意双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错.
11．【2016 高考新课标 2 理数改编】已知 是双曲线 的左，右焦点，点
在 上， 与 轴垂直， ,则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为 垂直于 轴，所以 ，因为 ，
122 =+ ByAx 0>A 0>B BA ≠
0
2 23m n m− < < ( ) ( )2 2 2 23 4c m n m n m= + + − = c
2 2 2 4c m= ⋅ = 1m = 1 3n− < <
1 2,F F
2 2
2 2: 1x yE a b
− = M
E 1MF x 2 1
1sin 3MF F∠ = E
2
1MF x
2 2
1 2, 2b bMF MF aa a
= = + 2 1
1sin 3MF F∠ =
即 ，化简得 ，故双曲线离心率 .
考点：双曲线的性质.离心率.
【名师点睛】区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，
而在双曲线中 c2＝a2＋b2.双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0，1)．
12．【2016 高考天津理数】已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长
为半径长的
圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的
方程为 ．
【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 对 称 性 ， 不 妨 设 A 在 第 一 象 限 ， ， ∴
，
∴ ，故双曲线的方程为 ．
考点：双曲线渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：
(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定
焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
②若已知渐近线方程为 mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为 m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
13．【2016 高考山东理数】已知双曲线 E： （a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的四个
顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______.
2
1
2
2
1
32
b
MF a
bMF a a
= =
+
b a= 1 2be a
= + =
2
2
2
4 =1x y
b
−
22
24 =11
x y−
( , )A x y
2 2
2
2
4
4 4
4
2 24
xx y b
b by x y
b
= + = + ⇒ = = ⋅ +
2
2
16 124 2 2
b bxy bb
= ⋅ = ⇒ =+
2 2
14 12
x y− =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
【答案】2
【解析】
试题分析：假设点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，则 ， ，所以
， ，由 ， 得离心率 或 （舍
去），所以 E 的离心率为 2.
考点：双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况
的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一
般与特殊思想及基本运算能力等.
14.【2016 年高考北京理数】双曲线 （ ， ）的渐近线为正方形 OABC 的
边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则
_______________.
【答案】2
考点：双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对
渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程
的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.
因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为 的形式，当 ， ，
时为椭圆，当 时为双曲线.
15．【2015 高考福建，理 3】若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双
曲线 上，且 ，则 等于_______________.
2bA(c, )a
2bB(c, )a
−
22b| AB| a
= | BC | 2c= 2 AB 3 BC= 2 2 2c a b= + e 2= 1e 2
= −
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b >
a =
122 =+ ByAx 0>A 0>B BA ≠
0
x
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
− = > >
2 2
1( )x y m nm n
+ = 与 异号 ,m n
, ,a b c 2 2 2-a c b=
, , ,a b c e
2 2 1Ax By+ = ,A B
0ax bx± = ax bx λ± =
0λ ≠
【考点针对训练】
1.以抛物线 y2＝4x 的焦点为焦点，以直线 y＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．
【答案】
x2
1
2
－
y2
1
2
＝1．
【解析】由题意设双曲线的标准方程为 ，y2＝4x 的焦点为 ，则双曲线的焦
点为 ；y＝±x 为双曲线的渐近线，则 ，又因 ，所以 ，
故双曲线标准方程为
x2
1
2
－
y2
1
2
＝1．
2.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为 的右支上一点，且
，则 的面积等于___________．
【答案】48
【解析】由题意得 ，所以 ，根据双曲线的定义得
， 是等腰三角形， 边上的高为 ，所以
的面积等于 ．
【考点 2】双曲线的几何性质
【备考知识梳理】
1.双曲线的几何性质
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 (±c,0) (0，±c)
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( )1,0
( )1,0 1b
a
= 2 2 2a b c+ = 2 21 1,2 2a b= =
2 2
: 19 16
x yC − = 1 2,F F P C
2 1 2PF F F= 1 2PF F∆
101692|| 21 =+=FF 10|| 2 =PF
16610|| 1 =+=PF 1 2PF F∆ 1PF 6810 22 =− 1 2PF F∆
481662
1 =××
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
− = > >
焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2+b2)
范围 |x|≥a；y∈R x∈R；|y|≥a
顶点 实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0，±b) 实轴顶点(0，±a)，虚轴顶点(±b,0)
对称性 曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称
离心率
e＝
c
a∈(1，+ )，其中 c＝
渐近线
2.等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为
，离心率为 ，渐近线为 .
【规律方法技巧】
1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、
两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、
虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，
挖掘出它们之间的内在联系.
2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、
取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.
3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出 的等式或不等式，结合
化出关于 的式子，再利用 ，化成关于 的等式或不等式，从而解出 的
值或范围.离心率 与 的关系为： = .
4.双曲线 的渐近线方程为 ，可变形为 ，即
，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的 1 换为 0 得来的.
4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为 ，
是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.
5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[ ).
【考点针对训练】
∞ 2 2a b+
by xa
= ± ay xb
= ±
2 2 ( 0)x y λ λ− = ≠ 2 y x= ±
, ,a b c
2 2 2c b a= + ,a c ce a
= e e
e ,a b
2 2 2
2
2 2
c a be a a
+= =
2
21 b
a
+ ⇒ 2 1b ea
= −
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > by xa
= ± x y
a b
= ±
2 2
2 2 0x y
a b
− =
22b
a
,c a− +∞
1.双曲线 的离心率为 ▲ ．
【答案】
【解析】由题意得
2.双曲线 的焦点到渐近线的距离为 .
【答案】4
【解析】焦点 ，渐近线 ，即 ，则 ．
【考点 3】直线与双曲线的位置关系
【备考知识梳理】
设双曲线的方程为 ，直线 ，将直线方程与双曲线方
程联立，消去 y 得到关于 x 的方程 .
(1) 若 ≠0，当△＞0 时，直线与双曲线有两个交点.当△=0 时，直线与双曲线有且只有一个
公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0 时，直线与双曲线无公共点.
（2）当 =0 时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行.
【规律方法技巧】
1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆
交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，
这是进一步解题的基础．
2．直线 y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ 1＋k2|x1
－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝ 1＋
1
k2·|y1－y2|＝
1＋
1
k2· y1＋y22－4y1y2.
3．对中点弦问题常用点差法和参数法.
【考点针对训练】
1.如图，双曲线的中心在坐标原点 ， 分别是双曲线虚轴的上、下顶点， 是双曲线的
左顶点， 为双曲线的左焦点，直线 与 相交于点 ．若双曲线的离心率为 2，则
2 2
14 5
x y− =
3
2
2 2 2 34, 5 9 .2
ca b c e a
= = ⇒ = ⇒ = =
1169
22
=− yx
( )5,0±
4
3y x= ±
4 3 0x y− =
20 45d = =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 0Ax By C+ + =
2 0mx nx p+ + =
m
m
O , A C B
F AB FC D
的余弦值是 _____________.
【答案】
【解析】可设双曲线方程为 ，即得 ， ， ， ，
所以 直线方程为 ， 直线方程为 ，又 ，把 和 的
直线方程联立解得 ，又 ，所以 ，即 ，所
以有 ， ，则
， ，
，又
2.如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线
的左右两支分别交于点 、 ．若 为等边三角形，则双曲线的离心率为
BDF∠
7
14
2 2
2 2 1x y
a b
− = (0, )A b (0, )C b− ( ,0)B a− ( ,0)F c−
AB 1x y
a b
− + = FC 1x y
c b
− − = 2c
a
= AB FC
4( , )3 3
a bD − − 2 2 2b c a= − 3b a= 4 3( , )3 3
aD a− −
4 3 2 3( , ) ( , )3 3 3 3
a aDF c a a= − + = − 3( , )3 3
aDB a=
22 3 3 1( )3 3 3 3 9
a aDB DF a a a= × − + × =
2 22 3 7| | ( ) ( )3 3 3
aDF a a= − + =
2 23 2| | ( ) ( )3 3 3
aDB a a= + =
21
79cos 14| | | | 2 7
3 3
aDB DFBDF
DB DF a a
⋅= = =
⋅ ×
1F 2F )0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
1F l
A B 2ABF∆
_________________.
【答案】
【解析】根据双曲线的定义，可得 ，∵ 是等边三角形，即
，
∴ ，即 ，又∵ ，∴
，
∵ 中， ， ， ，∴
，即
，
解之得： ，由此可得双曲线的离心率为 ．
【两年模拟详解析】
1.【南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟】设双曲线 的一条渐近线
的倾斜角为 ，则该双曲线的离心率为 ▲ .
【答案】
【解析】双曲线渐近线方程为 ，所以
7
1 2| | | | 2BF BF a− = 2ABF∆
2| | | |BF AB=
1 2| | | | 2BF BF a− = 1 1| | | | | | 2BF AB AF a− = = 2 1| | | | 2AF AF a− =
2 1| | | | 2 4AF AF a a= + =
1 2AF F∆ 1| | 2AF a= 2| | 4AF a= 0
1 2 120F AF∠ =
2 2 2 0
1 2 1 2 1 2| | | | | | 2 | || | cos120F F AF AF AF AF= + −
2 2 2 214 4 16 2 2 4 ( ) 282c a a a a a= + − × × × − =
7c a= 7ce a
= =
2
2
2 1( 0)x y aa
− = >
30°
2 3
3
xy a
= ± 1 2 3tan30 3 2 3a c ea
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
2.【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】双曲线 的焦点到相应准
线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题意得
3. 【2017 年第三次全国大联考江苏卷】直线 过双曲线
一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为
_____________．
【答案】
【解析】由题意得 ， ，所以 双曲线方程为
．
4.【2017 年第一次全国大联考江苏卷】在平面直角坐标系 中，与双曲线 有相
同渐近线，且位于 轴上的焦点到渐近线距离为 的双曲线的标准方程为____________．
【答案】
【解析】与双曲线 有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为 ，因为双
曲线焦点在 轴上，故 又焦点到渐近线距离为 ，所以 ，所求方程为
.
5. 【2017 年高考原创押题预测卷 01（江苏卷）】已知双曲线 与椭圆
有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 .
),( 0012
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
1 2+
210122 2
2
+=⇒=−−⇒=− eeeac
ac
: 2 10l y x= +
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2
15 20
x y− =
( 5,0), 5F c− = 2b
a
= 2 25, 20,a b= =
2 2
15 20
x y− =
xOy
2
2 13
x y− =
x 2
2 2
112 4
x y− =
2
2 13
x y− =
2
2
3
x y λ− =
x 0,λ > 2 4λ =
2 2
112 4
x y− =
2 2 1( )x ny n+ = ∈R
2 2
16 2
x y+ =
【答案】
6.【2017 年高考原创押题预测卷 03（江苏卷）】经过双曲线 的左焦
点 与圆 相切的直线，交双曲线的两 条渐近线于 两点，若 ，则
双曲线 的离心率为 ．
【答案】 或
【解析】由题意不妨设圆的切线过焦点 ，借助图形可得其斜率 ，方程为
与渐近线 联立可解得交点横坐标为 ；方程为 与渐
近线 联立可解得交点横坐标为 ，所以 ，
则由题设 ，即 也即 ，所以
，即 ，解之得 或 ，所以 或 ，故
答案为： 或 ．
7. 【泰州市 2016 届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系 中，双曲线 的
实轴长为 ．
【答案】
【解析】由双曲线方程得， ，则实轴长为
8．【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2
＝2px(p＞0) 的焦点为 F，双曲线 的两条渐近线分别与抛物线交于 A，
B 两点(A，B 异于坐标原点 O)．若直线 AB 恰好过点 F，则双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
3y x= ±
2 2
2 2: 1x yC a b
− = ( 0, 0)a b> >
F 2 2 2:O x y a+ = ,A B | | 3AB a=
C
2 2 3
3
1( ,0)F c− ak b
=
( )ay x cb
= + by xa
=
2
1 2 2
a cx b a
= − ( )ay x cb
= +
by xa
= −
2
2
ax c
= −
2 2
2
1 2 2 2 2 2
1 2| | | | | |
c a bx x a b a c b a c
− = + =− −
2
1 221 | | 3a x x ab
+ − = 1 2| | 3c x x ab
− =
2 2
2 2
2 3| |
c a b ab b a c
⋅ =−
2 2 24( 1) 3( 2)e e− = − 4 23 16 16 0e e− + = 2 4e = 2 4
3e = 2e = 2 3
3e =
2 2 3
3
xOy
2
2 12
x y− =
2 2
2a = 2 2 2a =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
xy 2±=
【解析】由题意得：一条渐近线过点 ，因此斜率为 ，双曲线的渐近线方程是
．
9.【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】设 F 是双曲线的一个焦点，点 P 在双曲线上，
且线段 PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】不妨设 ，则点 ，从而有
10．【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研（二）数学试题】若双曲线
过点 ，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．
【答案】
【解析】由题意得 ，因此双曲线的虚轴长为
11．【盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试】以双曲线 的右焦点
为圆心， 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .
【答案】
【解析】由题意得
12. 中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆： 都相切,则
双曲线 C 的离心率是_______________.
【答案】 或 2
),2( pp 2
2
=
p
p
xy 2±=
5
2 2
2 2 1, (c,0)x y Fa b
− = P( c, 2b)− ±
2 2 2
2 2 2
4 1 5 5.c b c ea b a
− = ⇒ = ⇒ =
2 2 1x my+ =
( )2 2− ，
4
12 4 1, 4m m+ = = − 2 2 4.× =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
F a
2
.2=⇒= eba
1)2( 22 =+− yx
2 3
3
13.已知 F2，F1 是双曲线 的上，下两个焦点，点 F2 关于渐近线的
对称点恰好落在以 F1 为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为______.
【答案】2
【解析】设点 F2 关于渐近线 的对称点为 ，由已知得 ，解得
，又以 F1 为圆心，|OF1|为半径的圆的方程为 ，把点 M 的坐标
代入上式得 ，又 ，所以 ，解得 .
14.设 分别是双曲线 的左、右焦点， 是 的右支上的点，
射线 平分 ,过原点 作 的平行线交 于点 ,若 ,则 的
离心率为____________.
【答案】
【解析】设 交 轴于点 ， ，则 ， ,由于
,得 ,即 ,则 ，所以
，
又 是 的角平分线，则有 ，代入整理得
，所以 的离心率为 .
【一年原创真预测】
2 2
2 2 1 ( 0, 0)y x a ba b
− = > >
ay xb
= ( , )M x y 2 2
y c a x
b
y c b
x a
+ = × − = −
2
2
2
abx c
ay cc
=
= −
2 2 2( )x y c c+ + =
2 2 4
2
2 2
4 4a b a cc c
+ = 2 2 2a b c+ = 2 2 2 4 44 ( ) 4a c a a c− + = 2ce a
= =
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > P C
PT 1 2F PF∠ O PT 1PF M 1 2
1| | | |3MP F F= C
3
2
PT x T 1| |PF m= 2| | 2PF m a= − 1 2
1 2| | | |3 3
cMP F F= =
/ /OM PT 1 1
1 1
| | | |
| | | |
F M FO
F P FT
=
1 2
2
3
| |
m c c
m F F
−
= 1| | 2
3
mcFT
m c
=
−
2 1| | 2 | | 2 2
3
mcF T c FT c
m c
= − = −
−
PT 1 2F PF∠ 1 1
2 2
| | | |
| | | |
F P FT
F P F T
=
4 32 3 2
cm a m c a
− = − ⇒ = C 3
2
1. 若双曲线 的焦点在 轴上，过点 作圆 的切线，切
点分别为 ，直线 恰好经过 点，则双曲线方程为 .
【答案】 ．
【解析】设 ，圆 的圆心为 ，则 是圆 与以 为直径的
圆的公共弦所在直线，以 为直径的圆的方程为 ，即
，两圆方程相减，即得 的方程为 ，则直线与坐标轴的交
点为 .又因为焦点在 轴上，则 ， ，所以双曲线方程为
.
【入选理由】本题考查求双曲线的方程，圆的方程，圆的公共弦，以及平面几何等基础知识，
意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，而此题巧妙地利用了平面
几何知识 ，避免了烦琐的运算，故选此题.
2.已知双曲线 一条渐近线的倾斜角的取值范围 ，则该双曲
线的离心率的取值范围是________________.
【答案】
【解析】因为一条渐近线的倾斜角的取值范围 ，所以
所以离心率取值
范围为 .
【入选理由】本题主要考查了双曲线的几何性质等基础知识，意在考查分析问题，解决问题
的能力，基本运算能力，推理能力，及转化思想．，是高考常考题型， 故选此题.
3. 点 为双曲线 的右焦点，点 为双曲线左支上一点，线段
与圆 相切于点 ，且 ，则双曲线的离心率等于__________.
2 2
2 2 1x y
a b
− =（a>0, b>0） x ( )2,1 2 2 4x y+ =
,A B AB ( ) ( ),0 , 0,a b
2 2
14 16
x y− =
)1,2(M 2 2 4x y+ = O AB 2 2 4x y+ = OM
OM 4
5)2
1()1( 22 =−+− yx
0222 =−−+ yxyx AB 42 =+ yx
( ) ( )4,0,0,2 x 2 4a = 2 16b =
2 2
14 16
x y− =
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
3,4
ππ
[ 2,2]
3,4
ππ
2 2 2 2
2 2 21 3 1 3 2 4 2 4 2 2,b b a b c c
a a a a a
+≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
[ 2,2]
( ,0)F c
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > P PF
2
2 2
4
bx y+ = Q 1= 2PQ PF
【答案】
【入选理由】本题考查双曲线方程、圆的方程、双曲线的简单几何性质、切线等基础知识，
意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力，试题形式新颖，故选此题.
5
