2009年北京高级中学中等学校招生考试数学试题及答案

2009年北京高级中学中等学校招生考试数学试题及答案

‎2009年北京高级中学中等学校招生考试 数学试卷 学校 姓名 准考证号 ‎ 考 生 须 知 ‎1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2.在试着和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。‎ ‎3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。‎ ‎1. 7的相反数是 A. B. C. D.‎ ‎2. 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。将300670用科学记数法表示应为 A. B. C. D.‎ ‎3. 若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是 A.圆柱 B.正方体 ‎ C.球 D.圆锥 ‎ 主视图 左视图 俯视图 ‎4. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是。‎ A.10 B‎.9 ‎‎ ‎‎ ‎ C.8 D.6‎ ‎5. 某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是 A. B. C. D.‎ ‎6. 某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：‎ 这组数据的众数和中位数分别是 A B C D ‎7. 把分解因式，结果正确的是 A. B. C. D.‎ ‎8. 如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点， 且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥‎ AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9. 不等式的解集是 .‎ ‎10.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=，则∠ABD= °. ‎ ‎11. 若把代数式化为的形式，其中为常数，则= .‎ ‎12. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13. 计算：‎ ‎14. 解分式方程：‎ ‎15. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E 在 AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB=FC ‎16. 已知，求的值 ‎17. 如图，A、B两点在函数的图象上.‎ ‎（1）求的值及直线AB的解析式；‎ ‎（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。‎ ‎18. 列方程或方程组解应用题：‎ 北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，‎2008年10月11日到‎2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间，地面 公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？‎ 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）‎ ‎19. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=,∠C=,‎ AD=1,BC=4,E为AB中点，EF∥DC交BC于点F,求EF的长. ‎ ‎20. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.‎ ‎（1）求证：AE与⊙O相切；‎ ‎（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径. ‎ ‎21.在每年年初召开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况。以下是根据2004—2008年度报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分. ‎ 表1 2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位：亿元）‎ 年份 ‎2004‎ ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ 教育实际投入与预算的差值 ‎6.7‎ ‎5.7‎ ‎14.6‎ ‎7.3‎ 请根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）请在表1的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值；‎ ‎（2）求2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数；‎ ‎（3）已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元.在此基础上，如果2009年北京市财政教育实际投入按照（2）中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元？‎ ‎22. 阅读下列材料：‎ 小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.‎ 请你参考小明的做法解决下列问题：‎ ‎（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；‎ ‎（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）. ‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）‎ ‎23. 已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个公共点时，的取值范围. ‎ ‎24. 在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)‎ ‎（1）在图1中画图探究：‎ ‎①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；‎ ‎②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C‎1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.‎ ‎（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.‎ ‎25. 如图，在平面直角坐标系中，三个机战的坐标分别为，，，延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.‎ ‎（1）求D点的坐标；‎ ‎（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；‎ ‎（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）‎ ‎2009年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B A B C B D A 二、填空题 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎28‎ ‎（，且为整数）‎ 三、解答题 ‎13．解：‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎14．解：去分母，得．‎ 解得．‎ 经检验，是原方程的解．‎ E D B C E A ‎∴原方程的解是．‎ ‎15．证明：∵于点，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 又∵于点，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 在和中，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎16．解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 当时，‎ 原式．‎ ‎17．解：（1）由图象可知，函数（）的图象经过点，‎ 可得．‎ y x ‎6‎ B A O ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ 设直线的解析式为．‎ ‎∵，两点在函数的图象上，‎ ‎∴　　　　解得 ‎∴直线的解析式为．‎ ‎（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ．‎ ‎18．解法一：设轨道交通日均客运量为万人次，则地面公交日均客运量为万人次．‎ 依题意，得．‎ 解得．‎ ‎．‎ 答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1 343万人次．‎ 解法二：设轨道交通日均客运量为万人次，地面公交日均客运量为万人次．‎ 依题意，得 解得 答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1 343万人次．‎ 四、解答题 ‎19．解法一：‎ A D B E C F 图1‎ G 如图1，过点作于点．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 可得四边形为矩形．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 又∵为中点，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 在中，．‎ ‎∴．‎ 解法二：‎ 如图2，延长交的延长线于点．‎ A D B E C F 图2‎ G ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形为平行四边形，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ 设，则，．‎ ‎∴．‎ 解得．‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ O B G E C M A F ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎20．（1）证明：连结，则．‎ ‎∴．‎ ‎∵平分．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 在中，，是角平分线，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴与相切．‎ ‎（2）解：在中，，是角平分线，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ 设的半径为，则．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 解得．‎ ‎∴的半径为．‎ ‎21．解：（1）‎ 表1 2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位：亿元）‎ 年份 ‎2004‎ ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ 教育实际投入与预算的差值 ‎8‎ ‎6.7‎ ‎5.7‎ ‎14.6‎ ‎7.3‎ ‎（2）（亿元）．‎ 所以2004—2008年市财政教育实际投入与预算差值的平均数是亿元．‎ ‎（3）（亿元）．‎ 图3‎ D A B C A D G C B E Q H F M N P 图4‎ 估计2009年市财政教育实际投入可能达到亿元．‎ ‎22．解：‎ ‎（1）拼接成的平行四边形是（如图3）．‎ ‎（2）正确画出图形（如图4）‎ 平行四边形的面积为．‎ 五、解答题：‎ ‎23．解：（1）由题意得，．‎ ‎∴．‎ ‎∵为正整数，‎ ‎∴．‎ ‎（2）当时，方程有一个根为零；‎ 当时，方程无整数根；‎ 当时，方程有两个非零的整数根．‎ 综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．‎ A O x y ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ B 当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．‎ ‎（3）设二次函数的图象与轴交于 两点，则，．‎ 依题意翻折后的图象如图所示．‎ 当直线经过点时，可得；‎ 当直线经过点时，可得．‎ 由图象可知，符合题意的的取值范围为．‎ ‎24．解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．‎ 证明：如图1，设直线与直线的交点为．‎ ‎∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，‎ F D C B A E 图1‎ G2‎ G1‎ P1‎ H P2‎ ‎∴．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．‎ ‎（2）∵四边形是平行四边形，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 可得．‎ 由（1）可得四边形为正方形．‎ D G1‎ P1‎ H C B A E F 图2‎ ‎∴．‎ ‎①如图2，当点在线段的延长线上时，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ F G1‎ P1‎ C A B E D H 图3‎ ‎②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎③当点与点重合时，即时，不存在．‎ 综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．‎ ‎25．解：（1）∵，，‎ ‎∴．‎ 设与轴交于点．‎ 由可得．‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴，．‎ 同理可得．‎ ‎∴．‎ ‎∴点的坐标为．‎ ‎（2）由（1）可得点的坐标为．‎ y D E C B O A x ‎1‎ ‎1‎ H S M T G F 由，‎ 可得轴所在直线是线段的垂直平分线．‎ ‎∴点关于直线的对称点在轴上．‎ ‎∴与互相垂直平分．‎ ‎∴．‎ ‎∴四边形为菱形，且点为其对称中心．‎ 作直线．‎ 设与分别交于点、点．可证．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴直线将四边形分成周长相等的两个四边形．‎ 由点，点在直线上，‎ 可得直线的解析式为．‎ ‎（3）确定点位置的方法：过点作于点．则与轴的交点为所求的点．‎ 由，‎ 可得，‎ ‎∴．‎ 在中，．‎ ‎∴点的坐标为．（或点的位置为线段的中点）‎